Собственные векторы и собственные значения

 

Рассмотрим линейное преобразование

(4.1)

с заданной матрицей . Будем искать такой ненулевой вектор , который в результате заданного преобразования меняет длину, но не меняет своё направление, т.е. или, в матричной форме,

. (4.2)

Тогда, подставив (4.1) в (4.2), имеем матричное уравнение

. (4.3)

Далее всякий столбец вида , составленный из координат вектора , будем называть вектором.

Определение 4.1. Ненулевой вектор называется собственным вектором матрицы , если выполнено равенство (4.3):

,

где – некоторое число. При этом называется собственным значением матрицы .

Для нахождения собственного вектора решим уравнение (4.3).

 

Так как , где – единичная матрица, играющая роль единицы в матричном исчислении, то (4.3) можно записать в виде . Тогда

или

. (4.4)

Получили однородную систему линейных уравнений относительно неизвестных координат собственного вектора с квадратной матрицей . Матрица имеет вид матрицы , у которой из элементов главной диагонали вычли число

Необходимым и достаточным условием существования ненулевого решения такой системы является равенство нулю определителя матрицы этой системы, то есть

. (4.5)

Если вычислить определитель этой матрицы, то он будет зависеть от и представлять собой многочлен степени относительно . Его называют характеристическим многочленом, а равенство (4.5) – характеристическим уравнением. Решая уравнение (4.5), находят собственные значения . Для матрицы второго порядка характеристическое уравнение имеет вид

или

или

,

то есть вид квадратного уравнения относительно неизвестного собственного значения .

Пример 4.1. Зададимся матрицей преобразования и найдем собственный вектор , удовлетворяющий условию . Для этого решим однородную систему вида (4.4)

. (4.6)

Тогда

(4.7)

Эта система имеет ненулевое решение, если ее определитель равен нулю, т.е. . Вычислим характеристический многочлен

и для нахождения собственных значений приравняем его к нулю. Получим характеристическое уравнение вида

,

решив которое, найдём собственные значения

.

Найдем собственный вектор, соответствующий собственному значению . Подставим собственное значение в (4.6)

.

Система (4.7) примет вид уравнения

,

откуда

(4.8)

Пусть . В силу (4.8) . Тогда собственный вектор имеет вид .

При уравнение (4.6) имеет вид , а, следовательно, можно записать, что Решение получается в базисной форме: и, полагая , найдем собственный вектор

Геометрический смысл собственного вектора заданного преобразования заключается в том, что он указывает направление, которое в результате преобразования не меняется и вдоль которого пространство испытывает растяжение в раз.

 

Модель торгового баланса

Пусть две фирмы (страны) участвуют в торговле. Первая добывает нефть – млн. денежных единиц (бюджет), а вторая газ – млн. денежных единиц. Каждая фирма часть продукта оставляет себе для внутренних нужд, а другую часть продает. Нефтяная фирма третью часть оставляет себе, а две трети продает. Газодобывающая фирма половину продает, а половину оставляет себе. Представим условие задачи в виде таблицы.

Обозначим через выручку i -ой фирмы. Тогда:

(5.1)

Для того чтобы торговля была взаимовыгодной, необходимо потребовать, чтобы выручка была не меньше затрат, то есть для всех значений .

Торговый баланс означает, что фирмы получают прибыль в одинаковой пропорции. Таким образом, условие бездефицитной торговли можно записать следующим образом:

или

(5.2)

Подставим (5.1) в (5.2) и получим систему уравнений

Запишем эту систему в матричном виде:

, (5.3)

где , .

Наша задача – найти баланс экономической торговли. А именно: если фирмы имеют бюджеты соответственно, то каковы должны быть соотношения между этими бюджетами, чтобы торговля была взаимовыгодной, без дефицита торгового баланса для каждой фирмы. То есть нужно решить матричное уравнение (5.2), а именно: найти собственное значение и собственный вектор .

.

Тогда

 

Значение отрицательное и не имеет экономического смысла. Для собственного значения найдем собственный вектор.

.

Положим , где . Тогда

В частности, это означает, что сбалансированность торговли этих двух фирм может быть достигнута только в том случае, когда их ресурсы находятся в отношении .

 

Квадратичные формы

 

Рассмотрим вектор -мерного арифметического пространства .

Определение 6.1. Квадратичной формой относительно переменных называется однородный многочлен второй степени относительно этих переменных.

Условимся обозначать квадратичную форму через .

Пример 6.1. Квадратичной формой является выражение

.

Квадратичная форма состоит из слагаемых двух типов – квадрат переменной с некоторым коэффициентом и парные произведения «разноимённых» переменных.

Пример 6.2. Выражение не является квадратичной формой.

Пример 6.3. Пример квадратичной формы

В квадратичной форме коэффициенты при и можно сделать одинаковыми. Для этого достаточно сложить изначальные коэффициенты при этих слагаемых и разделить на два, как это было показано в предыдущем примере.

Тогда квадратичная форма может быть представлена в виде двойной суммы

, (6.1)

где .

Коэффициенты квадратичной формы (6.1) образуют матрицу

, (6.2)

которая называется матрицей квадратичной формы, если только выполнено равенство , для всех

Элементы матрицы (6.2) симметричны относительно главной диагонали. Такая матрица называется симметрической, поскольку

Отметим, что квадратичная форма может быть записана в матричном виде , где , а - матрица (6.2).

Квадратичная матрица из примера 6.3 имеет вид

.

Любая симметрическая квадратная матрица задаёт квадратичную форму единственным образом. Например, квадратичная форма, соответствующая матрице

 

,

имеет вид

Определение 6.2. Рангом квадратичной формы называется ранг матрицы квадратичной формы.

Определение 6.3. Квадратичная форма называется положительно определённой, если при любых значениях координат вектора выполняется неравенство .

Определение 6.4. Квадратичная форма называется отрицательно определённой, если при любых значениях координат вектора выполняется неравенство .

Пример 6.4. Квадратичная форма с матрицей

является положительно определённой, так как сумма квадратов всегда является положительным числом для ненулевого вектора .

Пример 6.5. Выражение , которому соответствует матрица , определяет отрицательно определённую квадратичную форму, поскольку имеет место .

Определение 6.5. Если квадратичная форма при некоторых двух различных значениях векторов и имеет различные знаки (например, , а ), то квадратичная форма называется знакопеременной.

Квадратичные формы положительные и отрицательные объединяются названием знакопостоянных.

Любая квадратичная форма может быть приведена к сумме квадратов. Это может осуществляться разными способами. Самый простой – выделение полных квадратов. Проиллюстрируем его примером.

Пример 6.6. Привести к сумме квадратов квадратичную форму

(6.3)

Решение. Объединим все члены, содержащие переменную , и дополним их до полного квадрата:

Выделенный полный квадрат сохраним без изменения. Среди оставшихся членов объединим слагаемые, содержащие , и дополним их до полного квадрата:

(6.4)

Очевидно, что квадратичная форма, определённая выражением (6.4) и представляющая собой сумму квадратов, является положительно определённой.

Существует критерий, позволяющий определить вид квадратичной формы и определить её знак, без приведения к сумме квадратов. Для описания критерия нам понадобится ввести понятие главных миноров матрицы. Главными минорами условимся называть миноры, стоящие на главной диагонали. То есть, для матрицы

главными минорами будут являться определители

, , , …, .

Главный минор -го порядка – это определитель матрицы .

 

Критерий Сильвестра

Квадратичная форма является положительной тогда и только тогда, когда все главные миноры соответствующей ей матрицы положительны.

Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определённой необходимо и достаточно, чтобы главные миноры чётного порядка были положительными, а нечётного порядка – отрицательными.

При любой другой комбинации знаков главных миноров знак квадратичной формы не определён.

Пример 6.7. Дана квадратичная форма

Определить тип квадратичной формы, используя критерий Сильвестра.

Решение. Выпишем матрицу квадратичной формы

,

и вычислим главные миноры матрицы

,

Главные миноры положительны, значит, согласно критерию Сильвестра, квадратичная форма является положительно определённой.

Пример 6.8. Определить тип квадратичной формы

Решение. Матрица квадратичной формы имеет вид

.

Вычислим главные миноры этой матрицы, для того чтобы определить их знаки.

, ,

.

Поскольку знаки последовательно меняются начиная с минуса, то квадратичная форма отрицательно определена.

Пример 6.9. Определить знак квадратичной формы

Решение. Вычислим главные миноры матрицы

:

, , .

Такое поведение знаков главных миноров говорит о том, что знак квадратичной формы определить невозможно.

Пример 6.10. Пользуясь критерием Сильвестра, доказать, что квадратичная форма (27.3) является положительно определённой.

Решение. Матрицу квадратичной формы можно представить в виде

.

Вычислим главные миноры:

, , .

Значит, согласно критерию Сильвестра соответствующая квадратичная форма положительно определена, как и было показано в примере 27.6 с помощью метода выделения полных квадратов.