Непозиционные СС. (Римская СС.)

В качестве цифр в ней используются латинские буквы:

I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000)

Для записи числа в РСС существуют определенные правила:

Правила записи чисел в римской СС:

1. Если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются (VI-6).

2. Если меньшая перед большей, то она вычитается. (XL-40; 50-10=40) и не может повторяться второй раз (XXL – нельзя) (китайская маркировка размеров одежды вообще не может быть отнесена ни к какой системе счисления).

3. цифры M, C, X, I могут повторяться в записи не более трех раз подряд.

4. цифры D, L, V используются в записи числа только один раз.

Самое большое число в РСС 3999 = MMMCMXCIX

Например, число 2005 можно записать как ММV, где M-1000, V-5.

Почему данная СС называется непозиционной? Число три в РСС записывается как – III, т.е. состоит из трех цифр I, каждая из которых, независимо от места ее положения в записи числа = 1. В позиционных же СС каждое число занимает определенную позицию (единицы, десятки, сотни, тысячи и т.д.). (Например, 333)

Позиционные СС.

Первая ПСС была придумана еще в древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация была 60-ричной, то есть в ней использовалось 60 цифр (1 час – 60 минут, 1 минута – 60 секунд). Мы используем ее до сих пор при измерении времени. В 19 веке получила свое распространение 12-ричная СС (12 часов, 12 месяцев). До сих пор мы часто употребляем дюжину.

Наиболее распространенные сегодня СС.

Название СС	Основание	Алфавит СС
Десятичная		0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Двоичная		0, 1
Восьмеричная		0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
шестнадцатеричная		0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15

Десятичная СС.

Рассмотрим в качестве примера десятичное число 555. Цифра 5 встречается в нем 3 раза, причем первая с права означает 5 единиц, вторая – 5 десятков и третья 5 сотен. Позиция цифры в числе называется разрядом.

Разряд – позиция цифры в числе. Разряд числа возрастает справа налево от младших разрядов к старшим.

В СС₁₀ существует две формы представления числа:

1. Свернутая форма числа – 555.

2. Развернутая форма, где каждой цифре числа присваивается разряд с права на лево.

Развернутое число в позиционной системе записывается в виде суммы числового ряда степеней основания.

Развернутая форма. – 555 = 5*10² + 5*10¹ + 5*10⁰

Развернутую форму числа можно применить к любой СС.

Если число будет содержать дробную часть, то развернутая форма будет выглядеть следующим образом:

55,55 = 5*10¹+5*10⁰+5*10 ^-1+5*10 ^–2

Проверка (50 + 5 + 0,5+ 0,05 = 55,55)

В общем случае запись любого 10-го числа А₁₀ выглядит так:

А₁₀ = а _{n -1} * 10 ^{n -1} + … + а₀ * 10⁰ + а _-1 * 10 ^-1 + … + а _m * 10 ^{- m}

Двоичная СС.

101 = 1 * 2² + 0 * 2¹ + 1 * 2⁰

А₂ = а _{n -1} * 2^{n -1} + … + а₀ * 2⁰ + а _-1 * 2 ^-1 + … + а _m * 2 ^{- m}

Позиционная СС с произвольным основанием

А_q = а _{n -1} * q ^{n -1} + … + а₀ * q⁰ + а _-1 * q ^-1 + … + а _m * q ^{- m}

Перевод числа из СС₂, СС₈ и СС₁₆ в СС₁₀.

Разряд числа возрастает справа на лево

Из 2 >10:

1011₂ = 1³0²1¹1⁰₂=1*2³+0*2²+1*2¹+1*2⁰=8+0+2+1= 11₁₀

1111001₂ = 1⁶1⁵1⁴1³0²0¹1⁰₂ = 1*2⁶+1*2⁵+1*2⁴+1*2³+0*2²+0*2¹+1*2⁰ = 64+32+16+8+0+1 = 121₁₀

0001001₂ = 0⁶0⁵0⁴1³0²0¹1⁰₂ = 0*2⁶ + 0*2⁵ +0*2⁴ +1*2³ +0*2² +0*2¹ +1*2⁰ = 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1= 9₁₀

Из 8 >10:

245₈ = 2²4¹5⁰₈ =2*8²+4*8¹+5*8⁰=128+32+5= 165₁₀

555₈ = 5²5¹5⁰₈ =5*8²+5*8¹+5*8⁰ = 320+40+5= 365₁₀

1024₈ = 1³0²2¹4⁰₈ = 1*8³+0*8²+2*8¹+4*8⁰ = 512+0+16+4= 532₁₀

Из 16 >10:

9АВ₁₆ = 9²10¹11⁰= 9*16²+10+16¹+11*16⁰=2304+160+11= 2475₁₀

1A₁₆ = 1¹10⁰ = 1*16¹+10*16⁰ = 16+10= 26₁₀

BF₁₆ = 11¹15⁰ = 11*16¹ + 15*16⁰ = 176 + 15 = 191₁₀

Перевод числа из СС₁₀ в СС₈, СС₁₆ и СС₂.

Целое десятичное число переводится в любую СС делением на основание СС в которую переводится число до тех пор, пока не получиться частное меньшее делителя, то есть меньше 2. Результат составляется из остатков от деления, записанных с права на лево.

Из 10 > 2

1) 5 2) 250 3) 1024

5| 2 4 |2| 2 1 2| 1 Ответ: с права на лево 1012

250| 2 250 |125| 2 0 124 |62| 2 1 62 |31| 2 0 30| 15| 2 1 14| 7| 2 1 6| 3| 2 1 2| 1 Ответ: с права на лево 111110102

1024| 2 1024 |512| 2 0 512 |256| 2 0 256 |128| 2 0 128 |64| 2 0 64 |32| 2 0 32 |16| 2 0 16 |8| 2 0 8 |4| 2 0 4 |2| 2 0 2 |1 Ответ: 100000000002

Из 10 > 8

1) 5 2) 250 3) 1024

5| 8 Ответ: с права на лево 58

250| 8 248 |31| 8 2 24 |3 Ответ: с права на лево 3728

1024| 8 1024 |128| 8 0 128 |16| 8 0 16 |2 Ответ: 20008

Из 10 > 16

1) 5 2) 250 3) 1024

5| 16 5 Ответ: с права на лево 516

250| 16 240 |15| 16 Ответ: с права на лево FA16

1024| 16 1024 |64| 16 0 64 |4 Ответ: 40016

Алгоритм перевода правильных десятичных дробей в 2, 8, 16 - ю СС.

Для того чтобы перевести правильную десятичную дробь в любую систему используем умножение на основание системы.

Правила перевода

a. Последовательно выполнять умножение исходной десятичной дроби и получаемых дробных частей произведений на основание системы (на 2, 8, 16) до тех пор пока не получится нулевая дробная часть или не будет достигнута требуемая точность вычислений.

b. Записать полученные целые части произведения в прямой последовательности. От первого к последнему.

10 Þ 2 Точность вычисления: Вычислить до трех знаков после запятой:

1) 0,25₁₀ 2) 0,75₁₀ 3) 0,696₁₀

0,2510*2 = (0),5 0,5*2 = (1),0 Ответ: 0,2510=0,012

0,7510*2 = (1),5 0,5*2 = (1),0 Ответ: 0,7510 = 0,112

0,69610 *2 = (1),392 0,392*2 = (0),784 0,784 * 2=(1),568 Ответ: 0,69610=0,1012

10 Þ 8 Вычислить до трех знаков после запятой:

1) 0,25₁₀ 2) 0,75₁₀ 3) 0,696₁₀

0,2510*8 = (2),0     Ответ: 0,2510=0,28

0,7510 * 8 = (6),0 Ответ: 0,7510 = 0,68

0,69610 * 8 = (5),568 0,568 * 8 = (4),544 0,544*8 = (4), 352 Ответ: 0,69610 = 0,5448

10 Þ 16 Вычислить до трех знаков после запятой:

1) 0,25₁₀ 2) 0,75₁₀ 3) 0,696₁₀

0,2510*16 = (4),0     Ответ: 0,2510 = 0,416

0,7510*16 = (12),0     Ответ: 0,7510 = 0,С16

0,69610 * 16 = (11),136 0,136 * 16 = (2),17 6 ® 0,176 * 16 = (2),816 Ответ: 0,69610 =0,B22

Самостоятельно: 0,125₁₀ = 0,001₂ = 0,1₈ = 0,2₁₆

Перевод десятичных чисел с целой и дробной частями

Перевод производиться в два этапа.

1. Сначала переводится целая часть;

2. Потом переводится дробная часть.

Переведем число 12,05₁₀ в двоичную систему

12| 2 1100 12 |6| 2 0 6 |3| 2 0 2 |1	0,05*2 = (0),1 0,000011 0,1*2 = (0),2 0,2*2 = (0),4 0,4*2 = (0),8 0,8* = (1),6 0,6*2 = (1),2
Ответ: 12,0510 = 1100,000011

Проверка: 1100,000011 = 1³1²0¹0⁰,0^-10^-20^-30^-41^-51^-6 = 2³+2²+2^-5+2^-6 =4+8+0,03125+0,015625 = 12,05

Переведем число 25,5₁₀ в двоичную систему

25| 2 11001 24 |12| 2 1 12 |6| 2 0 6 |3| 2 0 2 |1	0,5*2 = (1),0 0,1
Ответ: 25,510 = 11001,1

Проверка: 11001,1 = 1⁴1³0²0¹1⁰,1^-1 = 2¹+2³+2⁰+2^-1 = 16+8+1+0,5 = 25,5

 

Двоичная арифметика

Все операции над числами в 2-ой СС, точно также как и в 10-ой, проводятся поразрядно.

Изначально рассмотрим пример простого десятичного сложения.

+589 248	Суммируем единицы 9+8=17. Разряд единиц переполнен, поэтому 7 оставляем в разряде единиц и переносим в разряд десятков 1, затем суммируем десятки – 8+4+1 = 13 десятков, 3 оставляем в разряде десятков, а 1 вновь переносим теперь уже в разряд сотен и т.д. 5+2+1=8.
Двоичное сложение Таким же образом при сложении чисел двоичной системы, при переполнении разряда мы переносим в старший разряд 1.
+                 Основные правила сложения двоичной системы:	+ 011010 10111	+ 11111 10110
Двоичное умножение Основные правила умножения *	*101 11 101	*011010 0110 000000
Основные правила вычитания двоичной системы: 0-0=0; 1-1=0; 1-0 = 1; 10-01=01
Вычитание аналогично десятичной системе. Если в уменьшаемом числе цифра разряда меньше чем цифра разряда вычитаемого, необходимо делать заем (занимать) единички из старшего разряда.
11 11 -11001 1111	11 11 11 - 1010011 11001	Единичка из второго разряда равна 11 из первого разряда, так как 1+1=10

Преимущества 2-ой СС с технической точки зрения организации работы ПК бесспорны. Однако может возникнуть вопрос о том, зачем нужны другие СС. Чтобы ответить на него возьмем любое десятичное число и переведем его в другие СС с основаниями кратными двойке:

255₁₀ = 11111111₂ = 3333₄ = 377₈ = FF₁₆

Хорошо видно, что чем меньше основание СС, тем больше разрядов требуется для его записи, т.е. тем самым мы проигрываем в компактности записи чисел и их наглядности. Поэтому, наряду с 2-ой и 10-ой СС, в вычислительной технике применяют также запись чисел в 8-ой и 16-ой СС. Поскольку их основания кратны двойке, то они органично связаны с 2-ой СС и преобразуются в эту СС наиболее быстро и просто (по сути, они являются компактными видами записи двоичных чисел). Все другие СС-я представляют для вычислительной техники чисто теоретический интерес.

Естественно, при работе с ПК Вам предстоит встретиться не только с 2-ой и 10-ой СС, но и с 8-ой и 16-ой. Поэтому необходимо знать, как осуществляется перевод числа из 2-ой СС в 8-ю и 16-ю СС.

Перевод числа из СС₂ в СС_8.

Для перевода числа из СС₂ в СС_8, число разбивается на триады справа на лево. Если в последней триаде не хватает цифр, то она дополняется нулями. Результат записывается с лева на право.

Триада, т.е. для кодирования одной 8-ой цифры используется три 2-х числа.

Пример: 100110111002 Ü триады 0104.0113.0112.1001 2 = 23348 2 3 3 4 Þ ответ	11110110012 Ü триады 0014.1113.0112.0011 2 = 17318 1 7 3 1 Þ ответ
0010011012 Ü триады 0013.0012.1011 2 = 1158 1 1 5 Þ ответ	111111102 Ü триады 0113.1112.1101 2 = 3768 3 7 6 Þ ответ

Перевод числа из СС₂ в СС_16.

Для кодирования одной 16-ой цифры требуется четыре двоичных числа, которые называются тетрадами.

A

B

C

D

E

F

 

Пример: 100110111002 Ü тетрады 01003.11012.11001 2 = 4DC16 4 D C Þ ответ	11110110012 Ü триады 001131101210011 2 = 3D98 3 D 9 Þ ответ
0010011012 Ü тетрады 00003.01002.11011 2 = 04D8 0 4 D Þ ответ	111111102 Ü тетрады 11112.11101 2 = FE8 F E Þ ответ