Раздел 7. Устойчивость сжатых стержней

Центрально сжатый длинный стержень (стойка) может при определенной величине внешней сжимающей силы утратить прямолинейную форму равновесия, т.е. изогнуться. Предельное значение силы, при которой прямолинейная форма равновесия стойки становится неустойчивой, называется критической силой.

Достижение нагрузками критических значений весьма опасно, т.к. потеря устойчивости обычно происходит внезапно и при низких значениях напряжений, когда прочность конструкции при нормальной форме равновесия не вызывает сомнений. При потере устойчивости резко возрастают деформации, появляется изгибающий момент, который вызывает дополнительные напряжения, и конструкция может внезапно разрушиться.

Для вычисления критической силы [F], т.е. наибольшей силы, которую выдержит центрально-сжатая стойка, используется следующий алгоритм расчета:

 

, (7.1)

 

где А — площадь поперечного сечения стойки, см2;

[σ] — допускаемое напряжение материала стойки при потере устойчивости, которое всегда принимается несколько меньшим, чем при простом сжатии, кН/см2;

φ — коэффициент продольного изгиба, устанавливающий связь между несущей способностью стойки при простом сжатии и устойчивостью в зависимости от её гибкости λ.

Коэффициент продольного изгиба φ находится в интервале крайних значений

 

, (7.2)

Если φ=1,0, то это случай простого сжатия, когда потеря устойчивости невозможна в принципе (сжатие коротких, толстых деталей).

Если φ=0, то это случай сжатия очень длинного тонкого стержня, который в принципе не может воспринимать сжимающих усилий.

Коэффициент продольного изгиба φ является нормативным и приводится в справочной литературе в зависимости от гибкости стойки λ и её материала. В приложении А приведены значения φ для обычных конструкционных сталей, чугуна и древесины.

Для определения коэффициента продольного изгиба φ, при решении конкретных задач необходимо предварительно вычислить гибкость стержня λ:

 

, (7.3)

 

где l — длина стойки, см;

μ — коэффициент приведения длины, зависящий от условий закрепления концов стойки (рис 7.1).

 

I	II	III	IV
μ=2,0	μ=1,0	μ=0,7	μ=0,5

 

Рисунок 7.1 – Схемы закрепления концов сжатой стойки:

I – один конец закреплен жестко, второй свободен; II – оба конца закреплены шарнирно; III – один конец закреплен жестко, второй шарнирно;

IV – оба конца закреплены жестко

 

Величина μ• l — называется приведенной (расчетной длиной) стойки, при этом коэффициент приведения длины μ показывает, во сколько раз следует увеличить или уменьшить длину шарнирно закрепленной с обоих концов стойки, чтобы критическая сила для неё была равно критической силе стойки в данных условиях закрепления (схемы I, III, IV).

Значение i в формуле (7.3), т.н. радиус инерции поперечного сечения стойки (см), равный

 

, (7.4)

 

где J – момент инерции поперечного сечения стойки, см⁴;

А - площадь поперечного сечения стойки, см².

Радиус инерции i является геометрической характеристикой поперечного сечения и для стандартных профилей, выпускаемых по сортаменту, приводится как известная величина. Для составных профилей радиус инерции i вычисляется по формуле (7.4).

Из выражения (7.1) можно выразить площадь поперечного сечения стойки А, которая гарантирует её работу до достижения величины критической силы, вызывающей потерю устойчивости:

 

, (7.5)

где F – заданная внешняя нагрузка, кН;

φ – коэффициент продольного изгиба;

[σ] – допускаемое напряжение при простом сжатии, задается условиями задачи;

Величина φ•[σ] может рассматриваться как допускаемое напряжение в случае потери устойчивости, т.е. предельные допускаемые напряжения при простом сжатии снижаются в случае возможной потери устойчивости.

Т.к. в условии устойчивости работы стойки (7.5) нам не известны ни площадь поперечного сечения А, ни коэффициент продольного изгиба φ, то одной из этих величин необходимо задаться. При практических расчетах на устойчивость предварительно задаются значением φ, а затем расчет ведется методом последовательных приближений.

 

Практическая работа №7

Стальная стойка длиной l, концы которой закреплены по одной из схем (рис. 7.1), сжимается силой F. Определить размеры профиля, выпускаемого по сортаменту ТУ 36-2287-80, обеспечивающего устойчивую работу стойки. [σ]=16 кН/см². Данные своего варианта взять из табл. 7.1.

Таблица 7.1 – Исходные данные для выполнения практической работы № 7

Исходные данные	Варианты
Схема	I	II	III	IV	I	II	III	IV	I	II
l, м	2,4	3,2	3,6	6,0	2,8	3,6	3,2	6,4	3,4	3,8
F, кН
Исходные данные	Варианты
Схема	III	IV	I	II	III	IV	I	II	III	IV
l, м	4,0	6,8	1,8	4,2	5,2	8,0	2,2	4,6	5,6	8,5
F, кН
Исходные данные	Варианты
Схема	I	II	III	IV	I	II	III	IV	I	II
l, м	1,6	4,8	4,2	7,2	3,5	5,4	6,0	9,0	3,8	6,0
F, кН

Пример выполнения работы №7.

Дано: Схема закрепления концов стойки – III, l =5,2 м; F=340 кН; [σ]=16 кН/см² (рис. 7.2). Сортамент профилей приведен в приложении Б.

Рисунок 7.2 – Поперечное сечение профиля по ТУ 36-2287-80

 

Решение. 1. В первом приближении задаемся коэффициентом продольного изгиба φ=0,5. Тогда площадь поперечного сечения стойки определится по формуле (7.5).

 

 

2. Определяем по сортаменту размеры профиля №12 200х160х7, площадь которого А=47,2 см², а минимальный момент инерции относительно оси Y равен J_y=1925 см⁴, при этом радиус инерции является величиной известной и не требует в нашем случае вычислений i_у=6,39 см.

3. Определяем гибкость стержня по формуле (7.3). Для схемы крепления концов III μ=0,7.

 

 

4. Для этой гибкости по Приложению Б находим коэффициент продольного изгиба φ=0,81, который значительно отличается от первоначально принятого φ=0,5.

5. Производим следующее приближение, принимая в этом случае

 

 

φ=0,5•(0,50+0,81)≈0,66

 

 

6. Выполняем те же вычисления, что и в первом приближении:

 

 

По сортаменту Приложения В выбираем профиль №8 180х140х6. Его площадь поперечного сечения А=36 см², радиус инерции i _у=5,61 см.

Вычисляем гибкость

 

 

По Приложению Б находим φ=0,77, что больше взятого нами во втором приближении φ=0,66.

7. Производим третье приближение, выполняя все аналогичные вычисления

 

φ=0,5•(0,66+0,77)≈0,72

 

 

 

Выбираем профиль №7 180х140х5 с параметрами А=30,4 см², i _у=5,66 см.

 

 

и находим φ=0,77, что не существенно отличается от взятого нами φ=0,72 (допускается отличие в пределах ±10%).

8. Определяем напряжение в стержне и сравниваем с допускаемым

 

 

Отклонение напряжения от допускаемого составляет

 

 

т.е. имеем недогрузку в 8,7%.

9. С целью экономии материала проверим возможность работы профиля с ближайшей меньшей площадью. По сортаменту это профиль №5 160х120х5, А=26,4 см², i _у=4,84 см. Производим необходимые вычисления.

 

φ=0,71

 

 

 

т.е. имеем перегрузку в 11%, что недопустимо. При выборе профиля допускается перегрузка не более 5%.

10. Окончательно выбираем для нашей стойки профиль №7 180х140х5.

 

Контрольные вопросы к разделу № 7

1. Что называется критической силой?

2. Что такое гибкость стержня и от чего она зависит?

3. Как определяется коэффициент продольного изгиба?

4. Как записывается условие прочности для сжатой стойки?

5. Каковы наиболее рациональные формы поперечных сечений сжатых стержней?