Спинтензорное представление метрик

Вернемся к рассмотрению метрики

ds ^{(+ – – –)2} = dx ₀² – dx ₁² – dx ₂² – dx ₃² с сигнатурой (+ – – –). (14.1)

Для краткости опустим в данном выражении знаки дифференциалов и запишем квадратичную форму (14.1) в виде

s ² = x ₀²– x ₁² – x ₂² – x ₃². (14.2)

Как известно, квадратичная форма (14.2) является детерминантом эрмитовой 2´2-матрицы

(14.3)

В том, что данная матрица является эрмитовой, легко убедиться прямым вычислением

(14.4)

В теории спиноров матрицы вида (14.4) называют смешанными эрмитовыми спинтензорами второго ранга [11, 16].

Представим 2´2-матрицу (эрмитов спинтензор) (14.4) в развернутом виде

где (14.5)

– набор матриц Паули.

В теории спиноров А ₄-матрицам вида (14.5) ставятся в однозначное соответствие кватернионы типа

, (14.6)

при изоморфизме

(14.7)

Аналогично, каждая квадратичная форма: (14.8)

s (+ + + +)2 = x 02 + x 12 + x 22 + x 32 s (– – – +)2 = – x 02 – x 12 – x 22 + x 32 s (+ – – +)2 = x 02 – x 12 – x 22 + x 32 s (+– – –)2 = x 02 – x 12 – x 22 – x 32 s (– – + –)2 = – x 02 – x 12 + x 22 – x 32 s (– + – –)2 = – x 02 + x 12 – x 22 – x 32 s (+ – + –)2 = x 02 – x 12 + x 22 – x 32 s (+ + – –)2 = x 02 + x 12 – x 22 – x 32

s (– – – –)2 = – x 02 – x 12 – x22 – x32 s (+ + + –)2 = x 02 + x 12 + x 22 – x32 s (– + + –)2 = – x 02 + x 12 + x 22 – x 32 s (– + + +)2 = – x 02 + x 12 + x 22 + x 32 s (+ + – +)2 = x 02 + x 12 – x 22 + x 32 s (+ – + +)2 = x 02 – x 12+ x 22 + x 32 s (– + – +)2 = – x 02 + x 12 – x 22 + x 32 s (– – + +)2 = – x 02 – x 12 + x 22 + x 32

 

может быть представлена в виде спинтензора или А ₄-матрицы:

 

Таблица 14.1

 

Каждой А ₄-матрице из табл. 14.1 ставится в соответствие «цветной» кватернион типа (8.17), где в качестве мнимых единиц используются объекты

(14.9)

– спиновые матрицы Паули - Кэли, которые являются образующими алгебры Клиффорда

(14.10)

В табл. 14.1 приведены только частные случаи спинтензорных представлений квадратичных форм. Например, детерминанты всех тридцати пяти 2´2-матриц (эрмитовых спинтензоров):

(14.11)

 

 

равны одной и той же квадратичной форме

Точно так же разветвляются (вырождаются) спинтензорные представления всех 16-и квадратичных форм, приведенных в табл. 14.1. В следующих статьях Алсигны будет показано, что любая дискретная вырожденность (т. е. скрытая многозначность) исходного идеального состояния l_{m ¸ n} - вакуума при отклонении от идеальности приводит к расщеплению (квантованию) на дискретное множество неодинаковых состояний ее поперечных и продольных слоев.

Шестнадцать типов А ₄-матриц эквивалентны 16-и «цветным» кватернионам (8.17). Для наглядности все сорта «цветных» А ₄-матриц сведены в табл. 14.2.

Таблица 14.2

 

Метрика	А 4-матрица	Стигнатура
x 02+ x 12+ x 22+ x 32		{+ + + +}
x 02– x 12– x 22 + x 32		{+ – – +}
x 02+ x 12+ x 22 – x 32		{+ + + –}
x 02+ x 12– x 22– x 32		{+ + – –}
– x 02+ x 12+ x 22– x 32		{– + + –}
x 02– x 12– x 22– x 32		{+ – – –}
x 02+ x 12– x 22 + x 32		{+ + – +}
x 02– x 12 + x 22 + x 32		{+ – + +}
– x 02– x 12– x 22+ x 32		{– – – +}
– x 02– x 12+ x 22 – x 32		{– – + –}
– x 02+ x 12+ x 22+ x 32		{– + + +}
x 02– x 12+ x 22– x 32		{+ – + –}
x 02 + x 12– x 22 + x 32		{– – + +}
x 02 – x 12+ x 22 + x 32		{– + – +}
– x 02+ x 12– x 22+ x 32		{– + – +}
– x 02 – x 12– x 22– x 32		{– – – –}

 

Алгебра сигнатур связывает сбалансированную относительно нуля суперпозицию аффинных протяженностей с 16-ю всевозможными стигнатурами:

ds _S = (– dx ₀ – dx ₁ – dx ₂ – dx ₃) + (dx ₀ + dx ₁ + dx ₂ + dx ₃) +

+ (dx ₀ + dx ₁ + dx ₂ – dx ₃) + (– dx ₀ – dx ₁ – dx ₂ + dx ₃) +

+ (– dx ₀ + dx ₁ + dx ₂ – dx ₃) + (dx ₀ – dx ₁ – dx ₂ + dx ₃) +

+ (dx ₀ + dx ₁ – dx ₂ + dx ₃) + (– dx ₀ – dx ₁ + dx ₂ – dx ₃) + (14.12)

+ (– dx ₀ – dx ₁ + dx ₂ + dx ₃) + (dx ₀ + dx ₁ – dx ₂ – dx ₃) +

+ (dx ₀ – dx ₁ + dx ₂ + dx ₃) + (– dx ₀ + dx ₁ – dx ₂ – dx ₃) +

+ (– dx ₀ + dx ₁ – dx ₂ + dx ₃) + (dx ₀ – dx ₁ + dx ₂ – dx ₃) +

+ (dx ₀ – dx ₁ – dx ₂ – dx ₃) + (– dx ₀ + dx ₁ + dx ₂ + dx ₃) = 0,

с одним из вариантов суперпозиции 16-и А ₄-матриц:

+

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+ +

+

(14.13)

Выражение (14.11) равно нулевой 2´2-матрице, т.е. отвечающей требованию соблюдения «вакуумного баланса».

Приведенный здесь спинтензорный математический аппарат удобен для решения ряда задач, связанных с многослойными внутри-вакуумными вращательными процессами.

י ה ה ו

Спинтензорные свойства l_{m ¸ n} - вакуумной протяженности связаны с вращательными (циклическими) процессами, которые Определены в Мироздании Раскрытием Имени ВСЕВЫШНЕГО

≡ ≡

Зог‘ар говорит: – «За гранью всего того, что может быть сказано, и того, о чем невозможно и не следует говорить, над всем тем, что Создано Б-ГОМ, и тем, что само принадлежит Б-ЖЕСТВЕННОМУ, находится Абсолютное ЕДИНСТВО, не имеющее ни частей, ни концов, ни уровней, ни пределов. Сокрытость Сокрытого, Тайна Беспредельности, Узел в Свернутом, замкнувшийся в Кольцо...».

Рассмотрим два примера с использованием спинтензоров.

Пример № 14.1 Пусть заданы матица-столбец и эрмитовосопряженная ей матрица - строка

, (14.14)

которые описывают состояние спинора.

Проекции спина на оси координат для случая, когда метрическое пространство имеет сигнатуру (+ – – –) могут быть определены с помощью спинтензора (14.4)

(14.15)

Пример № 14.2 Пусть прямая волна описывается выражением

, (14.16)

а обратная ей волна

, (14.17)

где a₊ и a_– – амплитуды прямой и обратной волны. В общем случае это комплексные числа:

содержащие информацию о фазах волн φ₊ и φ_–.

Взаимно противоположные волны (14.16) и (14.17) можно представить в виде двухкомпонентного спинора:

, (14.18)

и эрмитовосопряженного ему спинора

. (14.19)

Условие нормировки в данном случае выражается равенством

(14.20)

Для нахождения проекций спина (круговой поляризации) луча света на оси координат воспользуемся спинтензором

(14.21)

который связан с 3-мерным элементом длины

 

(14.22)

Полагая в выражении (14.21) x ₁ = x ₂ = x ₃ = 1, рассмотрим проекции спина на оси координат

(14.23)

Подставляя в это выражение спиноры (14.16) и (14.17), получим три следующие проекции спина на соответствующие координатные оси x ₁ = x, x ₂ = y, x ₃ = z:

(14.24)

 

(14.25)

 

(14.26)

В случае φ₊= φ_–= 0 формулы (14.24) – (14.26) приобретают следующий упрощенный вид:

,

, (14.27)

.

В случае равенства амплитуд прямой и обратной волн a₊ = a _– вместо уравнений (14.27) получим следующие усредненные проекции спина

,

, (14.29)

.

Проекция спина (вращающегося вектора напряженности электрического поля) на направление распространения луча света Z неизменна и равна нулю. При этом его проекция на плоскость XY, перпендикулярную направлению распространения данного луча, вращается вокруг оси Z с угловой скоростью w = 4 p с / l. Таким образом, спинорное представление распространения сопряженной пары волн приводит к описанию круговой поляризации без привлечения дополнительных гипотез.