Построение доверительных интервалов

Доверительным интервалом для параметра θ называется интер­вал]Θ—ε;Θ+ε[, который с заданной доверительной вероятностью p=1-α накрывает этот параметр. Построим доверительные интерва­лы для параметров нормального распределения. Это распределение имеет два параметра: m - математическое ожидание и - среднеквадратическое отклонение. В том случае, если точечные оценки парамет­ров m и получены на основании выборки, доверительный интервал для математического ожидания строится с использованием квантилей распределения Стьюдента для уровня значимости α /2 и числа степе­ней свободы n-1 следующим образом:

Доверительный интервал для среднеквадратического отклоне­ния σ строится следующим образом:

где и — квантилираспределения ,соответствующие числу степеней свободы γ = n—1 и уровням значимости α/2 и 1-α/2. Коэффициенты и приведены в прил.

 

Рассмотрим пример вычисления доверительных интервалов для параметров нормального распределения по материалам вариационных рядов диаметров и высот. Используя средние арифметические двухсот измеренных диаметров и высот, вычисленные ранее и, а также среднеквадратические отклонения и исходя из предполо­жения, что диаметры деревьев подчиняются закону нормального рас­пределения, найдем доверительные интервалы, накрывающие пара­метры m и с доверительной вероятностью 0,95. В таблице квантилей распределения Стьюдента 3 в приложении находим = 1,972. Тогда доверительный интервал для среднего арифметического значе­ния с учетом выражения будет

диаметры

, или ;

 

высоты

, или .

 

Для того чтобы вычислить границы доверительных интервалов для среднеквадратического отклонения, найдем по табл. 4 прил. ко­эффициенты = 0,912 и = 1,11 для уровня значимости α = 0,05. Используя точечные оценки среднеквадратических отклонений для данных по диаметрам и высотам и с учетом выражения, получаем доверительные интервал для среднего квадратического от­клонения:

, или - диаметры;

, или - высоты.

 

Анализ распределения случайных величин

Любая случайная величина подчинена какому-либо, как прави­ло, неизвестному закону распределения. Одной из задач биометрии и является определение закона распределения анализируемой случай­ной величины.

Нормальное распределение

Нормальное распределение имеет важное значение в биометрии. На практике очень часто исследуемые случайные величины следуют этому закону. Для того чтобы узнать, подчиняется случайная величи­на закону нормального распределения или нет, надо вычислить теоре­тические частоты вариационного ряда исходя из предположения о нормальном распределении анализируемого параметра и сравнить их с эмпирическими частотами.

Закон распределения случайной величины может быть описан с помощью функции, определяемой соотношением

и называемой функцией распределения величины X.

Разность F(b)-F(a) представляет собой вероятность того, что случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу а X <b, т. е. если а и b являются нижней и верхней границами ин­тервала вариационного ряда, то вероятность попадания изучаемой случайной величины в данный интервал можно вычислить так:

P_a,b=P(a X<b)=F(b)-F(a) (1)

Зная эту величину, нетрудно вычислить теоретическое число наблюдений для данного интервала f_a,b=n-P_a,b.

Функция нормального распределения F(x) имеет вид

(2)

С учетом функции нормального распределения (2) выражение (1) можно переписать следующим образом:

(3)

Интегралы, входящие в это выражение, нельзя выразить через элементарные функции, но их можно вычислить через специальную функцию:

,

которая является интегральной функцией нормального распределения с параметрами т = 0 и σ = 1. Для этого следует перейти к нормиро­ванной случайной величине:

.

 

Преобразовав неравенство а Х<b соответствующим обра­зом, получим

.

 

Эти два неравенства равносильны, следовательно, их вероятно­сти равны между собой:

. (4)

Используя (3) и (4), получим

(5)

С помощью (5) и данных табл. 2 прил. мы можем вычислить теоретические частоты вариационного ряда, предполагая, что исследуемая случайная величина распределена по нормальному закону.

Выполним эту работу для вариационных рядов по диаметру и высоте. С учетом того, что оценкой параметров нормального распределения методом моментов являются среднеквадратическое отклонение и среднее арифметическое, вычислим нормированные нижнюю и верхнюю границы интервалов следующим образом:

Таблица 10 ─ Вычисление теоретических частот для функции нормального распределения (диаметры).

xi		tiн	tiв	Ф(tiн)	Ф(tiв)	Рi		∆ -
12,7		-∞	-2,17		0,015	0,015	3,	-3,0
15,6		-2,17	-1,79	0,015	0,037	0,022	4,4	-1,4
18,5		-1,79	-1,42	0,037	0,078	0,041	8,2	-1,2
21,4		-1,42	-1,04	0,078	0,149	0,071	14,2	3,8
24,3		-1,04	-0,66	0,149	0,255	0,106	21,2	5,8
27,2		-0,66	-0,29	0,255	0,386	0,131	26,2	5,8
30,1		-0,29	0,09	0,386	0,536	0,15	30,0	1,0
33,0		0,09	0,47	0,536	0,681	0,145	29,0	-10,0
35,9		0,47	0,84	0,681	0,8	0,119	23,8	0,2
38,8		0,84	1,22	0,8	0,889	0,089	17,8	0,2
41,7		1,22	1,6	0,889	0,945	0,056	11,2	-5,2
44,6		1,6	1,98	0,945	0,976	0,031	6,2	-2,2
47,5		1,98	2,35	0,976	0,991	0,015	3,0	4,0
50,4		2,35	2,73	0,991	0,997	0,006	1,2	2,8
53,3		2,73	+∞	0,997	1,000	0,003	0,6	-0,6
Сумма

В отличие от анализируемого вариационного ряда, нормальное распределение определено на интервале от -∞ до +∞. Для того чтобы области определения эмпирического и нормального распределения сделать одинаковыми, добавим дополнительные интервалы перед первым интервалом с границами от -∞ до нижней границы первого интервала и после последнего интервала с границами от верхней гра­ницы последнего интервала до + ∞. Эмпирические частоты этих до­полнительных интервалов будут равны нулю, так как в исходных данных нет ни одного наблюдения, которое было бы меньше нижней границы первого интервала или больше верхней границы последнего интервала. Значения функции нормированного нормального распре­деления для нижней и верхней границ интервалов можно найти с помощью табл. 2, используя в качестве аргументов значения и соответственно. В этой таблице значения функции распределе­ния даны только для положительных аргументов. Если надо найти функцию распределения для отрицательного аргумента, следует вос­пользоваться соотношением Ф(-х)=1-Ф(х), которое справедливо, так как нормальное распределение является симметричным.

Вероятности для интервалов вариационного ряда легко вычис­лить как разность значений функции распределения для верхней и нижней границ:

Теперь можно найти теоретические частоты ряда:

Аналогичным образом можно вычислить теоретические частоты для вариационного ряда высот (табл. 13.).

Последние колонки табл. 12 и 13, представляющие собой раз­ность между эмпирическими и теоретическими частотами, дают нам информацию о близости теоретического (в данном случае нормально­го) и эмпирического распределений. Однако по данным отклонениям достаточно трудно принять решение о согласованности эмпирического и теоретического распределений. Более наглядную картину можно увидеть, изобразив эти распределения графически (рис. 8 и 9). Однако такие сравнения распределений будут субъективными. Для того что­бы дать объективную оценку согласованности эмпирических и теоре­тических распределений, необходимо воспользоваться специальными методиками проверки статистических гипотез.