Трехфазные цепи при синусоидальных напряжениях и токах. Соединение трех фаз в звезду и треугольник.

 

Трехфазные электротехнические устройства

Объединение в одну цепь нескольких подобных по структуре цепей синусоидального тока одной частоты с независимыми источниками энергии широко применяется в технике. Объединяемые цепи синусои­дального тока принято называть фазами, а всю объединенную систему цепей - многофазной системой. Таким образом, в электротехнике тер­мин «фаза» применяется в двух различных смыслах: во-первых, это параметр периодического процесса, а во-вторых, - наименование со­ставной части многофазной системы цепей синусоидального тока. Наи­большее распространение получила трехфазная система.

Источником энергии в трехфазной системе служит трехфазный гене­ратор. Он отличается от однофазного генератора синусоидального тока тем, что в пазах его статора размещены не одна, а три электрически изолированные друг от друга обмотки - фазные обмотки генератора. Если ротор генератора двухполюсный, то оси фаз­ных обмоток генератора повернуты в пространстве относительно друг друга на угол 2π/3 (рис. 3.1). При вращении ротора в фазных обмот­ках статора индуктируются синусоидальные фазные ЭДС. Вследствие симметрии конструкции генератора максимальные Е_m и действую­щие Е_ф значения ЭДС во всех фазах одинаковые. Однако линии маг­нитного поля вращающегося ротора пересекают провода фазных об­моток не одновременно. Поэтому синусоидальные ЭДС обмоток сдви­нуты по фазе относительно друг друга на одну треть периода, чему соответствует пространственный угол 2π/3 между осями обмоток.

Если ротор генератора многополюсный, то каждой паре его полю­сов соответствуют на статоре три изолированные друг от друга катушки трехфазных обмоток. Размещенные вдоль окружности статора отдель­ные катушки, число которых равно числу пар полюсов, каждой фаз­ной обмотки соединяются между собой последовательно или парал­лельно.

Фазы трехфазного генератора принято обозначать первыми бук­вами латинского алфавита: А, В, С. Последовательность в обозначе­нии фаз генератора, т. е. чередования фаз, не может быть случайной, так как она определяется последовательностью изменений во вре­мени фазных ЭДС. Обозначения выбираются так, чтобы ЭДС фазы А достигала максимального значения на одну треть периода раньше, чем ЭДС фазы В, и на две трети периода раньше, чем ЭДС фазы С.

Такая последовательность чередования фаз называется нормальной или прямой. От последовательности фаз зависит направление враще­ния трехфазных двигателей. При прямой последовательности чередо­вания фаз мгновенные значения ЭДС трех фазных обмоток симметрич­ного генератора равны:

(3.1)

 

 

здесь с нулевой начальной фазой, как обычно, выбрана ЭДС фазы А.

На рис. 3.2 показаны график мгновенных значений фазных ЭДС и три вектора соответствующих им комплексных значений. Сумма трех векторов комплексных значений ЭДС равна нулю. Следовательно, алгебраическая сумма комплексных значений фазных ЭДС и алгебраи­ческая сумма мгновенных значений фазных ЭДС генератора равны нулю:

(3.2а)

(3.2б)

Комплексные значения ЭДС трехфазного симметричного генератора можно выразить через одинаковое для всех трех фаз действующее значение Е_Ф соответствующий комплексный множитель:

Комплексная величина называется фазным множителем трехфазной системы и обозначается буквой а. Умножение комплексного значения на а соответствует повороту изображаю­щего вектора на угол 2π/3 = 120° в положительном направлении, т. е. против направления движения стрелки часов. Таким образом,

; ; (3.3)

Для получения трехфазной системы необходимо определенным образом соединить фазы источника энергии и фазы приемника. Воз­можны два основных способа соединения в трехфазной системе - сое­динение источника энергии и приемника по схеме звезда и соединение источника энергии и приемника по схеме треугольник.

 

Соединение источника энергии и приемника по схеме звезда

 

Фазные обмотки трехфазного генератора можно соединить с тремя приемниками энергии шестью проводами и получить три неза­висимые фазные цепи. Необъединенная трехфазная система практически не применяется, но она важна для уяснения соотношений после объединения фазных цепей. Обратим внимание на стрелки, указываю­щие положительные направления фазных ЭДС. Эти положительные направления определяют «начала» (А, В, С) и «концы» (X, Y, Z) фаз­ных обмоток генератора.

 

Рис. 3.4

У "источника энергии и приемника, выполненных по схеме звезда (условное обозначение Y), все концы фазных обмоток генератора сое­диняются в общий узел N (рис. 3.4); такой же узел n образует соединение трех фаз приемника, а три обратных провода фаз системы объединяются в один общий нейтральный провод. Остальные три провода, соединяющие генератор с приемником, называются линейными. Узел, который образуют обмотки фаз генератора или фазы приемника, называется нейтралью или нейтральной точкой.

Пренебрегая сопротивлениями всех проводов, легко определить токи трех фаз приемника и генератора:

; ; (3.4)

и ток в нейтральном проводе

(3.5)

Приемник с одинаковыми сопротивлениями всех трех фаз

называется симметричным. При симметричном приемнике у токов всех фаз одинаковые действующие значения I_Ф и одинаковые сдвиги фаз φ относительно соответствующих фазных ЭДС (рис. 3.5), ток в нейтраль­ном проводе (3.5) равен нулю. Поэтому в случае симметрического при­емника, или, как говорят, при симметричной нагрузке генератора, нейтральный провод не нужен и не прокладывается. Примером такого приемника является трехфазный двигатель с соединением трехфаз­ных обмоток по схеме звезда.

В трехфазной системе напряжения , , между выводами каждой фазной обмотки генератора или каждой фазы приемника назы­ваются фазными напряжениями.

У симметричной трехфазной системы действующие значения фаз­ных напряжений одинаковы: .

Фазными токами называются токи в фазных обмотках генератора или в фазах приемника. Напряжения между линейными проходами называются линейными и линейными называются токи в линейных проводах.

Запишем уравнения по второму закону Кирхгофа для контура, обозначенного на рис. 3.4 пунктиром, и двух других аналогичных кон­туров и учтем, что

; ; (3.6)

Для линейных напряжений получим:

(3.7а)

(3.7б)

(3.7в)

где U_Л - действующее значение линейного напряжения.

Векторная диаграмма фазных и линейных напряжений при соеди­нении источника энергии и приемника по схеме звезда дана на рис. 3.5. Вектор линейного напряжения построен по (3.7а), т. е. получен как результат суммирования вектора и вектора который по длине равен вектору и противоположен ему по направлению. Аналогично построены и остальные два вектора линейных напря­жений.

При наличии нейтрального провода (рис. 3.4) условия (3.6) выпол­няются как при симметричном, так и при несимметричном приемнике, а при отсутствии нейтрального провода - только при симметричном. В обоих случаях векторы комплексных значений фазных и линейных напряжений образуют три одинаковых равнобедренных треугольника с углами 30° при основании. Из треугольников напряжений следует, что между действующими значениями линейных и фазных напряже­ний справедливо соотношение

(3.8)

Например, линейное напряжение U_Л = 380 В, а фазное U_Ф = 220 В или линейное U_Л = 220 В, а фазное U_Ф = 127 В.

При соединении источника энергии и приемника по схеме звезда линейные токи равны соответствующим фазным токам. В случае сим­метричного приемника действующие значения всех линейных и фазных токов одинаковые:

(3.9)

Каждый трёхфазный двигатель представляет собой симметричный приемник. Поэтому для подключения электродвигателей к источнику энергии применяют трехпроводные линии. Но для осветительной на­грузки (рис. 3.6) нейтральный провод необходим, поскольку нет осно­ваний рассчитывать на полную симметрию такого трехфазного прием­ника. В нейтральном проводе четырехпроводной осветительной магистрали запрещена установка предохранителей или выключателей, так как при отключении нейтрального провода фазные напряжения могут стать неравными. В результате в одних фазах (или фазе) может наблюдаться недокал, а в других фазах (или фазе) - перекал и быстрое перегорание ламп. Если при таком соединении перегорит один из магистральных предохранителей, то отключатся лампы только одной (соответствующей) фазы.

 

Соединение источника энергии и приемника по схеме треугольника

 

У трехфазной системы, выполненной по схеме треугольник (услов­ное обозначение Δ), нейтральный провод отсутствует. Для получения из фаз­ных, обмоток генератора схемы треугольник (рис. 3.7, б) соединим ко­нец X первой обмотки с началом В второй обмотки, конец Y второй обмотки с началом С третьей обмотки и конец Z третьей обмотки с на­чалом А первой обмотки. Так как алгебраическая сумма синусоидаль­ных фазных ЭДС генератора равна нулю (3.2), то никакого дополни­тельного (уравнительного) тока в обмотках генератора не возникнет. Если фазные ЭДС отличаются от синусоидальных, то алгебраическая сумма ЭДС может и не равняться нулю, вследствие чего возникнет дополнительный ток в обмотках генератора. Это одна из причин отказа от соединения обмоток генера­торов по схеме треугольник.

Рис. 3.7

После объединения обмоток генератора напряжения между началом и концом каждой фазы не изменятся, т. е. эти фазные напряжения оди­наковы для несвязанной и связанной (рис. 3.7, б) систем. Поэтому и токи в фазах приемника, т. е. фазные токи, , , в связанной системе такие же, как в несвязанной. Токи в каждом из трех объединенных линейных проводов, т. е. линейные токи, равны разностям соответствующих фазных токов (первый закон Кирхгофа для узлов приемника):

(3.10)

Линейные напряжения равны соответствующим фазным напряжениям, их комплексные значения:

; ; (3.11)

По закону Ома комплексные значения фазных токов:

; ; (3.12)

причем у симметричного приемника

(3.13)

и у всех фазных токов одинаковые действующие значения I_Ф и одина­ковые сдвиги фаз φ относительно соответствующих ЭДС или фазных напряжений.

Векторная диаграмма напряжений и токов показана на рис. 3.8. Из треугольников токов следует, что в симметричной трехфазной си­стеме для действующих значений линейных и фазных токов справед­ливо соотношение

(3.14)

Как следует из (3.11), действующие значения линейных и фазных напряжений равны друг другу и при несимметричном приемнике:

(3.15)

Преимуществом соединения источника энергии и приемника по схеме треугольник по сравнению с соединением по схеме звезда без нейтрального провода является взаимная независимость фазных то­ков. На рис. 3.9 показана осветительная установка, выполненная по схеме треугольник. Если при таком соединении перегорит один из магистральных предохранителей (например, в линейном проводе В), то лампы в двух фазах (АВ и ВС) окажутся следовательно включен­ными и при одинаковой мощности ламп напряжение на лампах каждой из этих фаз будет равно только половине линейного (номинального) напряжения; напряжение на лампах третьей фазы {СА) останется нор­мальным.

Рассмотренные выше методы анализа соединений одноименных фаз источника энергии и приемника по схемам звезда и треугольник можно распространить и на трехфазную цепь, у которой схемы соеди­нения фаз источника энергии и фаз приемника различные.

 

Мощность трехфазного тока

 

Активная мощность, отдаваемая трехфазным генератором и по­требляемая трехфазным потребителем, определяется суммой ак­тивных мощностей каждой фазы потребителя:

(16.25)

Аналогичное определение можно отнести и к реактивной мощ­ности трехфазного тока, т. е.

(16.26)

Полная, мощность трехфазного потребителя равна

(16.27)

Очевидно, что при равномерной нагрузке фаз ( и ) активная мощность трехфазного тока равна утроенному значению активной мощности каждой фазы

(16.28)

Однако на практике удобней оперировать линейными величи­нами, так как доступными являются линейные провода, а не об­мотки генератора или двигателя.

При соединении потребителя звездой при равномерной нагруз­ке фаз

, а

Тогда

При соединении потребителей треугольником при равномерной нагрузке фаз

, а

Тогда

Таким образом, при равномерной нагрузке фаз при соединении потребителей звездой и треугольником мощности трехфазного тока определяются выражениями:

активная мощность (16.29)

реактивная мощность (16.30)

полная, мощность (16.31)

или при неравномерной нагрузке по (16.27)

При неравномерной нагрузке фаз полная, или кажущаяся, мощность трехфазного тока может быть определена суммой полных мощностей каждой фазы, выраженной в комплексной фор­ме, а именно

(16.32)

Равномерную нагрузку в трехфазных цепях обеспечивают элек­трические двигатели трехфазного тока, обмотки которых могут быть соединены или звездой, или треугольником.