Свойства вероятностей. Теорема сложения

 

Рассмотрим произвольное пространство элементарных событий W. Из аксиоматики теории вероятностей следует ряд свойств вероятностей, которые мы приведем, предполагая при этом, что все рассматриваемые события принадлежат s-алгебре событий и обладают определенными вероятностями.

1. Если события A₁, A₂,..., A_m образуют полную группу событий , то сумма их вероятностей равна единице: .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как события , , образуют полную группу событий, то и . Согласно аксиоме 3, . Следовательно, .

2. Вероятность события , противоположного событию , равна , то есть или .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как , а события и несовместны, то, согласно аксиоме 3, . Откуда .

3. Если событие A влечет за собой событие B (A Ì B), то P(A) £ P(B).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Представим событие B в виде объединения двух несовместных событий (рис. 1.3).

Рис. 1.3

 

Тогда в силу аксиомы 3 получим , так как .

4. Пусть {A_n} n=1, 2, …,n, A_n Î F, монотонно убывающая последовательность событий, A_n É A_n+1, n ³ 1, . Тогда

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как события несовместны и их объединение равно , то, согласно аксиоме 3,

.

Так как ряд, стоящий справа, сходится к , то существует предел последовательности его частичных сумм:

.

С другой стороны,

.

Поэтому .

Учитывая, что и , получаем , что и требовалось доказать.

5. Пусть{A_n}, n=1,2,…, A_n Î F, монотонно возрастающая последовательность событий, A_n Ì A_n+1, n ³ 1, . Тогда .

Д о к а з а т е л ь с т в о. События несовместны и их объединение равно :

.

Согласно аксиоме 3, . Ряд, стоящий справа, сходится и поэтому . А так как , то .

Свойство доказано.

Теорема 1.1 (теорема сложения). Если события совместны, то вероятность их объединения выражается формулой

. (1.5)

 

Эта теорема является обобщением аксиомы 3 Колмогорова для произвольных событий .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем теорему 1.1 вначале для любых двух событий и , то есть докажем, что вероятность объединения любых двух событий равна сумме их вероятностей минус вероятность их совместного появления:

. (1.6)

Действительно, для любых двух событий A и B справедливы соотношения , , где события и , а также события и несовместны. Отсюда по аксиоме 3 Колмогорова можно записать: .

Определив из второго равенства и подставив в первое равенство, получим формулу (1.6), что и требовалось доказать. Если события и несовместны, то и и формула (1.6) примет вид , то есть вид аксиомы 3 для двух событий.

Предположим далее, что теорема 1.1 верна для произвольных событий A₁, A₂, …, A_m-1,

т.е. . Обозначив , получим, в силу, доказанного, что . Подставляя известные значения и , получим формулу (1.5). Теорема доказана.

 

Пример 1.15. Из партии, содержащей 20 изделий первого сорта и 5 изделий высшего, товаровед отбирает наудачу 4 изделия. Найти вероятность того, что среди них хотя бы 3 изделия – высшего сорта.

Решение. Пространство элементарных исходов этого эксперимента состоит из элементарных событий , где = {наудачу отобрано 4 изделия}. Число способов выбора 4 изделий определяется числом сочетаний из 25 элементов по 4: .

Пусть событие A = {среди 4 отобранных изделий хотя бы 3 изделия высшего сорта}. Это событие произойдет, если произойдет хотя бы одно из следующих событий: A₁ – среди отобранных изделий точно 3 изделия высшего сорта; A₂ – среди отобранных изделий точно 4 изделия высшего сорта.

Поэтому и события A₁ и A₂ несовместны. Следовательно, . Вероятности событий A₁ и A₂ определяются по формуле (1.2):

;

.

Тогда

.

Ответ: вероятность того, что из отобранных наугад 4 изделий окажется хотя бы 3 изделия высшего сорта составляет: = 0,0794.

 

Пример 1.16. В книжном магазине отослали покупателям по заданным адресам три различные книги, по рассеянности случайным образом надписав бандероли. Найти вероятность того, что хотя бы одна книга попала по назначению.

Решение. Пусть событие = {на i -й бандероли правильный адрес}, i =1,2,3. События - совместны. Поэтому

и, следовательно, вычисляя следующие вероятности:

;

;

,

получим, что вероятность события , состоящего в том, что хотя бы одна книга попала по назначению, равна

.

Искомую вероятность можно вычислить и иначе. Так как событие A = ={хотя бы одна книга попала по назначению} – противоположно событию

= {ни одна книга не попала по назначению}, то

.

Ответ: вероятность того, что хотя бы одна книга попала заказавшему ее покупателю, равна .

 

Вопросы для самопроверки

1. Чему равна вероятность событий, образующих полную группу событий?

2. Чему равна вероятность суммы двух событий?

3. Как вычисляется вероятность события противоположного событию А?

4. Чему равна вероятность события А, которое влечет за собой событие В?

5. Чему равна вероятность суммы двух несовместных событий?

6. Сформулируйте теорему о вероятности суммы совместных (несовместных) событий.

7. Если события образуют монотонно возрастающую, (убывающую, ) последовательность, то чему равен предел вероятности: ?

8. Как составить диаграмму Венна для совместных событий и ?