Тема 2.4. Геометрические характеристики плоских сечений

Тема 2.4. Геометрические характеристики плоских сечений

Иметь представление о физическом смысле и порядке опре­деления осевых, центробежных и полярных моментов инерции, о главных центральных осях и главных центральных моментах инерции.

Знать формулы моментов инерции простейших сечений, спо­собы вычисления моментов инерции при параллельном переносе осей.

При растяжении, сжатии, смятии и сдвиге деталь сопротивля­ется деформации всем сечением одинаково. Здесь геометрической ха­рактеристикой сечения является площадь.

При кручении и изгибе сечение сопротивляется деформации не одинаково, при расчетах напряжений появляются другие геометри­ческие характеристики сечения, влияющие на сопротивления сече­ния деформированию.

Статический момент площади сечения

Рассмотрим произвольное сечение (рис. 25.1).

Если разбить сечение на бесконечно малые площадки dA и умножить каждую площадку на расстояние до оси координат и проинтегрировать полученное выраже­ние, получим статический момент площади сечения:

Для симметричного сечения статические моменты каждой по­ловины площади равны по величине и имеют разный знак. Следова­тельно, статический момент относительно оси симметрии равен нулю.

Статический момент используется при определении положения

Тема 2.4. Геометрические характеристики плоских сечений 209

центра тяжести сечения:

Формулы для определения положения центра тяжести можно за­писать в виде

Центробежный момент инерции

Центробежным моментом инерции сечения называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок на обе координаты:

Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Центробежный момент инерции от­носительно осей, проходящих через центр тяжести сечения, равен нулю.

Оси, относительно которых центробежный момент равен нулю, называются главными. Главные оси, проходящие через центр тяже­сти, называют главными центральными осями сечения.

Осевые моменты инерции

Осевым моментом инерции сечения относительно некоторой оси, лежащей в этой же плоскости, называется взятая по всей пло­щади сумма произведений элементарных площадок на квадрат их расстояния до этой оси:

1) осевой момент инерции сечения относительно оси Ох

210 Лекция 25

Осевые моменты инерции круга и кольца

Используя известную связь между осевыми и полярными момен­тами инерции, получим:

Главные оси и главные моменты инерции

Главные оси — это оси, относительно которых осевые момен­ты инерции принимают экстремальные значения: минимальный и максимальный.

Главные центральные моменты инерции рассчитываются отно­сительно главных осей, проходящих через центр тяжести.

Примеры решения задач

Пример 1. Определить величину осевых моментов инерции плоской фигуры относительно осей Ох и Оу (рис. 25.5).

Тема 2.4. Геометрические характеристики плоских сечений 213

Решение

1. Определим осевой момент инерции относительно оси Ох. Ис­пользуем формулы для главных центральных моментов. Предста­вим момент инерции сечения как разность моментов инерции круга и прямоугольника.

bh³

Для прямоугольника J_X02 = ——.

12

Для прямоугольника ось Ох не проходит через ЦТ.

Момент инерции прямоугольника относительно оси Ох:

где А — площадь сечения; а — расстояние между осями Ох и Ox0.

Момент инерции сечения

2. Осевой момент инерции относительно оси Оу:

Момент инерции сечения

214 Лекция 25

Пример 2. Найти главный центральный момент инерции сече­ния относительно оси Ох (рис. 25.6).

Решение

1. Сечение составлено из стандарт­ных профилей, главные центральные моменты инерции которых приводятся в таблицах ГОСТ, см. Приложение 1.

Для двутавра № 14 по ГОСТ 8239-89 Jo_x1 = 572 см⁴.

Для швеллера № 16 по ГОСТ 8240-89 Jox₂ = 757 см⁴.

Площадь А2 = 18,1 см², Joy₂ = 63,3 см⁴.

2. Определяем координату центра тяжести швеллера относительно оси Ох. В заданном сечении швеллер повернут и поднят.
При этом главные центральные оси поменялись местами.

y2 = (h1/2) + d2 — zo₂; по ГОСТ находим h1 = 14 см; d 2 = 5 мм; z o = 1,8 см.

3. Момент инерции сечения равен сумме моментов инерции
швеллеров и двутавра относительно оси Ох. Используем формулу
моментов инерции относительно параллельных осей:

В данном случае J ´q_X2 = J ´qу₂ = 63,3 см⁴;

y2 = (14/2) + 0,5 — 1,8 = 5,7 см (расстояние между осями координат Ох' и Ох);

Контрольные вопросы и задания

1. Диаметр сплошного вала увеличили в 2 раза. Во сколько раз
увеличатся осевые моменты инерции?

2. Осевые моменты сечения равны соответственно J_x = 2,5 мм⁴ и Jy = 6,5 мм. Определите полярный момент сечения.

3. Осевой момент инерции кольца относительно оси Ох J_x = 4 см⁴. Определите величину J_p.

Тема 2.4. Геометрические характеристики плоских сечений 215

 

4. В каком случае J_x наименьшее (рис. 25.7)?

5. Какая из приведенных формул для определения J_x подойдет
для сечения, изображенного на рис. 25.8?

6. Момент инерции швеллера № 10 относительно главной центральной оси J_Xo = 174см⁴; площадь поперечного сечения 10,9 см².

Определите осевой момент инерции относительно оси, проходя­щей через основание швеллера (рис. 25.9).

7. Сравнить полярные моменты инерции двух сечений, имею­щих практически одинаковые площади (рис. 25.10).

8. Сравнить осевые моменты инерции относительно оси Ох пря­моугольника и квадрата, имеющих одинаковые площади (рис. 25.11).

 

 

Тема 2.4. Геометрические характеристики плоских сечений

Иметь представление о физическом смысле и порядке опре­деления осевых, центробежных и полярных моментов инерции, о главных центральных осях и главных центральных моментах инерции.

Знать формулы моментов инерции простейших сечений, спо­собы вычисления моментов инерции при параллельном переносе осей.

При растяжении, сжатии, смятии и сдвиге деталь сопротивля­ется деформации всем сечением одинаково. Здесь геометрической ха­рактеристикой сечения является площадь.

При кручении и изгибе сечение сопротивляется деформации не одинаково, при расчетах напряжений появляются другие геометри­ческие характеристики сечения, влияющие на сопротивления сече­ния деформированию.

Статический момент площади сечения

Рассмотрим произвольное сечение (рис. 25.1).

Если разбить сечение на бесконечно малые площадки dA и умножить каждую площадку на расстояние до оси координат и проинтегрировать полученное выраже­ние, получим статический момент площади сечения:

Для симметричного сечения статические моменты каждой по­ловины площади равны по величине и имеют разный знак. Следова­тельно, статический момент относительно оси симметрии равен нулю.

Статический момент используется при определении положения

Тема 2.4. Геометрические характеристики плоских сечений 209

центра тяжести сечения:

Формулы для определения положения центра тяжести можно за­писать в виде

Центробежный момент инерции

Центробежным моментом инерции сечения называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок на обе координаты:

Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Центробежный момент инерции от­носительно осей, проходящих через центр тяжести сечения, равен нулю.

Оси, относительно которых центробежный момент равен нулю, называются главными. Главные оси, проходящие через центр тяже­сти, называют главными центральными осями сечения.

Осевые моменты инерции

Осевым моментом инерции сечения относительно некоторой оси, лежащей в этой же плоскости, называется взятая по всей пло­щади сумма произведений элементарных площадок на квадрат их расстояния до этой оси:

1) осевой момент инерции сечения относительно оси Ох

210 Лекция 25