Принципы частотной и фазовой (угловой) модуляции

При фазовой и частотной модуляции сигнал имеет постоянную амплитуду и может быть записан в следующем виде:

S _ФМ(ЧМ)(t) = U∙ cos(φ (t)). (9.1)

В отсутствие модуляции аргумент гармонического колебания мгновенная (полная) фаза φ (t) = ω ₀ t изменяется с постоянной скоростью ω ₀, т.е. является линейной функцией времени. И фазовая, и частотная модуляция предполагают зависимость изменения фазы φ (t) от информационного сигнала s _c(t). Эта общность позволяет объединить оба вида модуляции одним названием – угловая модуляция.

При угловой модуляции линейность изменения φ (t) нарушается и в каждый момент времени t скорость изменения φ (t) определяется мгновенной частотой ω (t), причем:

.

Фазовая модуляция – процесс изменения мгновенной фазы несущего колебания пропорционально изменению непрерывного информационного сигнала:

φ (t) = ω ₀ t + ∆ φ (t) = ω ₀ t + a∙s _c(t) (9.2)

Таким образом

S _ФМ(t) = U_m∙ cos[ ω ₀ t + a∙s _c(t)]. (9.3)

Максимальное отклонение фазы называется индексом модуляции:

. (9.4)

Если модуляция осуществляется гармоническим колебанием (тональная модуляция) s _c(t) = U_{m Ω}∙cosΩ t с частотой Ω, то

S _ФМ(t) = U_m∙ cos(ω ₀ t + a∙ U_{m Ω} ∙cosΩ t) = U_m∙ cos(ω ₀ t + m _ФМ∙cosΩ t).

Заметим, что индекс модуляции m _ФМ = a∙ U_{m Ω} пропорционален амплитуде модулирующего колебания.

На рис. 9.1 показано, как изменяются мгновенная частота и фаза при тональной фазовой модуляции.

Информационный однотональный сигнал s _c(t) = U_{m Ω}∙cosΩ t (рис. 9.1 а) модулирует несущее колебание s _н(t) (рис. 9.1 б), при этом закон изменения мгновенной фазы несущего колебания φ (t) = ω ₀ t + a∙s _c(t) повторяет закон изменения s _c(t) «косинус» (рис. 9.1 в), т.е. на линейное изменение фазы (пунктир на рисунке) накладывается переменное приращение ∆ φ (t) = a∙s _c(t), а закон изменения мгновенной частоты несущего колебания ω (t) (рис. 9.1 г) определяется производной:

 

Рис. 9.1. Временные диаграммы процесса формирования ФМ сигналов

 

Фазомодулированное колебание (рис. 9.1 д) построено на основании графика ω (t); в моменты времени t = 2 Т и t = 10 Т сигнал S _ФМ(t) имеет минимальную, а в момент t = 6 Т максимальную мгновенную частоту.

Частотная модуляция – процесс изменения мгновенной частоты несущего колебания в соответствии с изменением информационного сигнала:

ω (t) = ω ₀ + a∙s _c(t).

Рассмотрим наиболее простой способ однотональной частотной модуляции.

На рис. 9.2 изображены временные диаграммы изменения мгновенной частоты и фазы для однотональной частотной модуляции.

Информационный однотональный сигнал s _c(t) = U_{m Ω}∙cosΩ t (рис. 9.2 а) модулирует несущее колебание s _н(t) (рис. 9.2 б), при этом закон изменения мгновенной частоты несущего колебания ω (t) = ω ₀ + U_m∙a∙ cosΩ t повторяет закон изменения s _c(t) (рис. 9.2 в). Здесь a∙U_{m Ω} = ∆ ω_m – девиация частоты, пропорциональная амплитуде модулирующего колебания U_{m Ω}. Девиацией частоты называется максимальное отклонение частоты от среднего значения ω ₀:

. (9.5)

Отношение девиации частоты ∆ ω_m к частоте модулирующего колебания Ω называется индексом частотной модуляции:

m _ЧМ = ∆ ω_m /Ω. (9.6)

В моменты времени t = 0, t = 8 Т мгновенная частота максимальна, в момент t = 4 Т – минимальна. Закон изменения мгновенной фазы несущего колебания φ (t) (рис. 9.2 г) определяется интегрированием

.

 

Рис. 9.2. Временные диаграммы процесса формирования ЧМ сигналов

 

Учитывая связь частоты и фазы, выражение для частотномодулированного сигнала запишется следующим образом:

. (9.7)

Для тональной частотной модуляции формула (2.14) принимает вид

S _ЧМ(t) = U_m∙ cos(ω₀t + m _ЧМ∙ sinΩ t). (9.8)

Сравнение выражений (9.3) и (9.7) показывает, что при ФМ приращение фазы пропорционально модулирующему колебанию s _c(t), а при ЧМ – интегралу от s _c(t). Если сначала проинтегрировать s _c(t), а затем этим колебанием модулировать несущую по фазе, то получится ЧМ сигнал. Такой способ формирования ЧМ сигнала имеет практическое применение. Подобным же образом, если продифференцировать s _c(t) и это колебание использовать для модуляции частоты, то получим ФМ сигнал.