Спектральное представление непериодических сигналов

Для спектрального представления непериодических (импульсных) сигналов s (t), заданных на конечном интервале (t ₁, t ₂) (рис. 3.3), непосредственно воспользоваться рядом Фурье нельзя. Для гармонического разложения сигнала мысленно дополняют его такими же импульсными сигналами до периодического с некоторым интервалом Т (рис. 3.3).

 

Рис. 3.3. Импульсный сигнал s (t) и его периодическое продолжение s _пер(t + kT)

 

Для того чтобы вне искусственно введенного интервала исходный сигнал был равен нулю, необходимо увеличить период повторения импульсов.

В пределе, при увеличении периода ∞ → Т все импульсы уйдут право и влево в бесконечность и периодическая последовательность вновь станет одиночным импульсом.

Для вычисления спектра удобна симметричная комплексная форма ряда Фурье, но в нем вместо суммы будет интеграл с бесконечными пределами (преобразование Фурье):

. (3.3)

При таком предельном переходе основная частота сигнала Ω = 2 π / T стремится к нулю, бесконечно увеличивается число спектральных составляющих, частоты соседних гармоник k Ω и (k + 1)Ω становятся неразличимыми, а спектр будет сплошным.

Функция G (j Ω) называется спектральной плотностью сигнала х (t).

Функции G (j Ω) и s (t) представляют собой две математические модели одного и того же физического процесса: одна из них отражает частотный состав сигнала, а другая описывает изменение сигнала с течением времени.

Спектральная плотность сигнала определяется с использованием прямого преобразования Фурье:

(3.4)

Таким образом, формулы (3.3) и (3.4) называются соответственно обратным и прямым преобразованиями Фурье Они показывают взаимосвязь между сигналом s (t) и его комплексной спектральной плотностью G (j Ω).

Для одиночного прямоугольного импульса с амплитудой А и длительностью t на рис. 3.4 получим спектр S (j Ω) на рис. 3.5:

.

Это выражение с учетом формулы Эйлера можно переписать в виде

. (3.5)

 

 

Рис. 3.4. Одиночный прямоугольный Рис. 3.5. Спектр

импульс прямоугольного импульса

 

Спектр непериодического сигнала сплошной, бесконечный, ширина спектра определяется длительностью сигнала и, приближённо, равна Δ F _э ≈2p/t.

 

3.3. Основные свойства преобразования Фурье:

Свойствами преобразований Фурье определяется взаимное соответствие трансформации сигналов и их спектров.

1. Линейность. Преобразование Фурье относится к числу линейных интегральных операций, т.е. спектр суммы сигналов равен сумме спектров этих сигналов.

(3.6)

Пример суммирования сигналов и его отображения в суммирования спектров приведен на рис. 3.6:

 

Рис. 3.6. Сигналы и их спектры. s ₀(k) = s ₁(k)+ s ₂(k) S ₁(ω)+ S ₂(ω) = S ₀(ω).

2. Свойства четности преобразования определяются косинусными (четными, действительными) и синусными (нечетными, мнимыми) частями разложения и подобием прямого и обратного преобразований.

На рис. 3.7. приведены примеры, поясняющие свойства четности преобразования. Сигнал s ₁(k) является четным, s ₁(k) = s ₁(- k), и имеет только вещественный четный спектр (мнимая часть спектральной функции представлена нулевыми значениями). Сигнал s ₂(k)= - s ₂(- k) нечетный и имеет мнимый нечетный спектр, а нулевыми значениями представлена его действительная часть. Сигнал s ₃(k) образован суммой сигналов s ₁(k) и s ₂(k). Соответственно, спектральная функция сигнала представлена и действительной четной частью (принадлежащей s ₁(k)), и мнимой нечетной частью (принадлежащей s ₂(k)). При обратном преобразовании Фурье раздельно действительной и мнимой части спектра S ₃(ω), равно как и любых других комплексных спектров, будут раздельно восстановлены четная и нечетная части исходного сигнала.

Заметим, что произвольный исходный сигнал может быть задан в одностороннем варианте (в интервале 0 – Т), но четная и нечетная части этого сигнала занимают интервал от - Т до Т, при этом на левой половине числовой оси (от - Т до 0) эти два сигнала компенсируют друг друга, давая нулевые значения.

Сигнал s (t), спектр S (ω). При этом если:

s (t) – четный, то S (ω) – вещественный, четный;

s (t) – нечетный, то S (ω) – мнимый, нечетный

s (t) – произвольный, то S (ω) – действительная часть – четная,

а мнимая часть – нечетная.

 

Рис. 3.7. Свойства четности преобразования

3. Изменение аргумента функции (сжатие или расширение сигнала) приводит к обратному изменению аргумента ее Фурье-образа и обратно пропорциональному изменению его модуля. Действительно, если s (t) S (ω), то при изменении длительности сигнала с сохранением его формы (растяжении сигнала по временной оси), т.е. для сигнала с новым аргументом s (x) = s (a ∙ t) при x = a ∙ t, получаем:

(3.7')

Выражение (3.7') действительно при а > 0. При а < 0 происходит зеркальный поворот сигнала относительно вертикальной оси, а замена переменной t = x / a вызывает перестановку пределов интегрирования и, соответственно, изменение знака спектра:

s (a ∙t) -(1/ a) S (ω / a). (3.7'')

Обобщенная формула изменения аргумента:

s (a ∙ t) -(1/| a |) S (ω / a), a ≠ 0 (3.7)

Если под аргументом функции и ее спектра понимать определенные физические единицы, например, время - частота, то отсюда следует: чем короче по своей длительности сигнал, тем шире по частоте его спектр, и наоборот. Это можно наглядно видеть на рис. 3.6. для сигналов s ₁(k) и s ₂(k) и их спектров S ₁(ω) и S ₂(ω).

От изменения аргумента функций следует отличать изменение масштаба представления функций. Изменение масштаба аргументов изменяет только оцифровку числовых осей отображения сигналов и их спектров, но не изменяет самих сигналов и спектров. Так, при масштабе оси времен t = 1 секунда, масштаб оси частот f = 1/ t = 1 герц, а при t = 1 мксек f = 1/ t = 1 МГц (t = a ∙ t, f = 1/ a ∙ t, a = 10^-6).

4. Теорема запаздывания. Запаздывание (сдвиг, смещение) сигнала по аргументу функции на интервал t _o приводит к изменению фазочастотной функции спектра (фазового угла всех гармоник) на величину - ωt _o без изменения модуля (амплитудной функции) спектра. Применяя замену переменной t - t _o = x, получаем:

(3.8)

Совершенно очевидно, что амплитуды гармоник сигнала при его сдвиге изменяться не должны. С учетом того, что |exp(- jωt _o)| = 1, это следует и из (3.8):

| S (ω) exp(- jωt _o)| = | S (ω)|.

Фазовый спектр сдвигается на - ωt _o с линейной зависимостью от частоты:

S (ω) exp(- jωt _o) = R (ω) exp[ j (j (ω)] exp(- jωt _o) = R (ω) exp[ j (j (ω) - ωt _o)]. (3.9)

 

 

Рис. 3.8. Изменение спектра сигнала при его сдвиге.

 

Пример двух одинаковых сигналов, сдвинутых относительно друг друга на t _o = 1, и соответствующих данным сигналам спектров приведен на рис. 3.8.

5. Преобразование производной (дифференцирование сигнала):

(3.10)

Таким образом, дифференцирование сигнала отображается в спектральной области простым умножением спектра сигнала на оператор дифференцирования сигнала в частотной области jω, что эквивалентно дифференцированию каждой гармоники спектра. Умножение на jω приводит к обогащению спектра производной сигнала высокочастотными составляющими (по сравнению с исходным сигналом) и уничтожает составляющие с нулевой частотой.

 

 

Рис. 3.9. Спектры сигнала и его производной

 

Пример сигнала, его производной и соответствующих им спектров приведен на рис. 3.9. По изменению аргумента спектра (для четного исходного сигнала он был нулевым) можно видеть, что для всех гармоник спектра появляется сдвиг фаз на π /2 (90⁰) для положительных частот, и на - π /2 (-90⁰) для отрицательных частот.

В общем случае, для кратных производных:

dⁿ [ y (t)]/ dtⁿ = (jω) ⁿ Y (ω). (3.11)

6. Преобразование интеграла сигнала в частотной области при известном спектре сигнала может быть получено из следующих простых соображений. Если имеет место s (t) = d [ y (t)]/ dtjω Y (ω) = S (ω), то должна выполняться и обратная операция: . Отсюда следует:

(3.12)

 

Рис. 3.10. Сигналы и амплитудные спектры сигналов

Оператор интегрирования в частотной области(1/ jω) при ω > 1 ослабляет в амплитудном спектре высокие частоты и при ω < 1 усиливает низкие. Фазовый спектр сигнала смещается на -90⁰ для положительных частот и на 90⁰ для отрицательных. Пример модуля спектра сигнала и его интегральной функции приведены на рис. 3.10.

Формула (3.12) справедлива для сигналов с нулевой постоянной составляющей. При интегрировании сигналов с определенным значением постоянной составляющей С = const в правой части выражения (3.12) появляется дополнительное слагаемое преобразования Фурье постоянной составляющей C, которое представляет собой, как будет показано ниже, дельта-функцию на нулевой частоте с весовым коэффициентом, равным значению С:

y (t) Y (ω) = (1/ jω) S (ω) + C · d (ω _o).

7. Преобразование свертки сигналов y (t) = s (t) _* h (t):

.

По теореме запаздывания (3.8):

.

Отсюда:

s (t) _* h (t) S (ω) ∙ H (ω). (3.13)

Пример выполнения свертки в частотной области приведен на рис. 3.11.

 

 

Рис. 3.11. Сигналы и амплитудные спектры сигналов

 

Отметим, что частотное представление H (ω) импульсного отклика h (t) линейной системы (или соответствующей линейной операции) имеет смысл частотной передаточной функции системы и позволяет определить сигнал на выходе системы (в частотной форме представления) при задании произвольного сигнала (в частотной форме) на ее входе. По существу, функция H (ω) представляет собой распределение по частоте коэффициента пропускания частотных составляющих сигнала с входа на выход системы (операции).

Таким образом, свертка функций в координатной форме отображается в частотном представлении произведением Фурье-образов этих функций.

Это положение имеет фундаментальное значение в практике обработки данных.

Любая линейная система обработки данных (информационных сигналов) реализует определенную операцию трансформации сигнала, т.е. выполняет операцию свертки входного сигнала s (t) с оператором системы h (t). С использованием преобразования свертки эта операция может производиться как с динамической, так и с частотной формой представления сигналов. При этом обработка данных, представленных в цифровой форме, производится, как правило, в частотной области, т.к. может быть на несколько порядков выше по производительности, чем во временной области. Она представляет собой последовательность следующих операций.

1) Перевод сигнала в частотную область: s (t) S (ω).

2) Умножение спектра сигнала на передаточную функцию системы:

Y (ω) = H (ω)· S (ω).

Передаточная функция системы определяется аналогичным преобразованием h (τ) H (ω) или задается непосредственно в частотном представлении, что позволяет задавать передаточные функции сколь угодно сложной формы, в том числе с разрывами и скачками, для которых во временной области потребуются операторы h (τ) с бесконечной импульсной характеристикой.

3) Перевод спектра обработанного сигнала во временную область:

Y (ω) y (t).

8. Преобразование произведения сигналов y (t) = s (t)· h (t):

Произведение функций в координатной форме отображается в частотном представлении сверткой Фурье-образов этих функций, с нормировочным множителем (1/2π), учитывающим несимметричность прямого и обратного преобразования Фурье функций s (t) и h (t) при использовании угловых частот.

(3.14)

9. Спектральная плотность (прямое преобразование Фурье)

a) гармонической функции s (t) = cos(ω ₀ t)

;

б) радиоимпульса (свойство смещения спектра) позволяет рассчитать спектральную плотность сигнала s (t), умноженного на гармоническое колебание s ₁(t) = s (t)cos(ω ₀ t + φ ₀).

,

где G_A (j Ω) – спектральная плотность огибающей A (t).

Следовательно возникает расщепление спектра G (j Ω) на две части максимумы которых возникают на частотах (+ ω ₀) и (– ω ₀).

в) δ-функции s (t) = δ(t):

G (j Ω) = 1

Спектры мощности.

Временная функция мощности сигнала в общей форме определяется выражением:

w (t) = s (t) s ^*(t) = | s (t)|².

Спектральная плотность мощности, соответственно, равна преобразованию Фурье произведения s (t)· s ^*(t), которое отобразится в спектральном представлении сверткой Фурье-образов этих функций:

(3.15)

Но для всех текущих значений частоты f интеграл в правой части этого выражения равен произведению S (f)· S ^*(f), так как для всех значений сдвига v ≠ 0 в силу ортогональности гармоник S (f) и S ^*(f - v) значения их произведения равны нулю. Отсюда:

W (f) = S (f) _* S ^*(f) = | S (f)|². (3.16)

Спектр мощности – вещественная неотрицательная четная функция, которую очень часто называют энергетическим спектром. Спектр мощности, как квадрат модуля спектра сигнала, не содержит фазовой информации о частотных составляющих, а, следовательно, восстановление сигнала по спектру мощности невозможно. Это означает также, что сигналы с различными фазовыми характеристиками могут иметь одинаковые спектры мощности. В частности, сдвиг сигнала не отражается на его спектре мощности.

Для функций мощности взаимодействия сигналов в частотной области соответственно имеем частотные спектры мощности взаимодействия сигналов:

W_xy (f) = X (f) Y *(f),

W_yx (f) = Y (f) X *(f),

W_{x y}(f) = W * _yx (f).

Функции мощности взаимодействия сигналов комплексные, даже если обе функции x (t) и y (t) вещественны, при этом Re[ W_xy (f)] – четная функция, а Im[ W_xy (f)] – нечетная. Отсюда полная энергия взаимодействия сигналов при интегрировании функций мощности взаимодействия определяется только реальной частью спектра:

,

и всегда является вещественным числом.

11. Равенство Парсеваля. Полная энергия спектра сигнала:

(3.17)

Так как координатное и частотное представление по существу только разные математические отображения одного и того же сигнала, то равной должна быть и энергия сигнала в двух представлениях, откуда следует равенство Парсеваля:

,

т.е. энергия сигнала равна интегралу модуля его частотного спектра – сумме энергий всех частотных составляющих сигнала. Аналогично для энергии взаимодействия сигналов:

Из равенства Парсеваля следует инвариантность скалярного произведения сигналов и нормы относительно преобразования Фурье:

(x (t), y (t)) = (X (f), Y (f)), || x (t)||² = || X (f)||².

Не следует забывать, что при представлении спектров в круговых частотах (по ω) в правой части приведенных равенств должен стоять множитель 1/2 π.