Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Топ:
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2017-09-27 | 268 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
(несобственные интегралы первого рода)
Пусть функция f (x) определена на полуоси и интегрируема по любому отрезку [ a, b ], принадлежащему этой полуоси. Предел интеграла при называется несобственным интегралом функции f (x) от a до и обозначается .
Итак, по определению, . Если этот предел существует и конечен, интеграл называется сходящимся; если предел не существует или бесконечен, интеграл называется расходящимся.
Пример 1.
;
этот предел не существует; следовательно, исследуемый интеграл расходится.
Пример 2. ; следовательно, интеграл сходится и равен .
Аналогично интегралу с бесконечным верхним пределом интегрирования определяется интеграл в пределах от до b: и в пределах от до : . В последнем случае f (x) определена на всей числовой оси, интегрируема по любому отрезку; c - произвольная (собственная) точка числовой оси; интеграл называется сходящимся, если существуют и конечны оба входящих в определение предела. Существование конечных пределов и их сумма не зависят от выбора точки c.
Пример 3.
. Интеграл сходится.
Пример 4. следовательно, интеграл сходится и равен .
Формула Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла.
Символом будем обозначать ; символом - соответственно, ; тогда можно записать
, , ,
подразумевая в каждом из этих случаев существование и конечность соответствующих пределов.
Теперь решения примеров выглядят более просто: - интеграл сходится; - интеграл расходится.
Для несобственных интегралов применимы формулы интегрирования по частям и замены переменной:
при замене переменной несобственный интеграл может преобразовываться в собственный.
Несобственные интегралы от неограниченных функций
|
(несобственные интегралы второго рода)
Пусть функция f (x) определена на полуинтервале (a, b ], интегрируема по любому отрезку , и имеет бесконечный предел при . Несобственным интегралом от f (x) по отрезку [ a, b ] называется предел . Если этот предел конечен, говорят, что интеграл сходится; если предел не существует или бесконечен, говорят, что интеграл расходится.
Пример 5. - интеграл расходится;
Пример 6.
- интеграл сходится.
Применение формулы Ньютона-Лейбница.
Если для функции f (x) на полуинтервале (a, b ] существует первообразная F (x), то
, и сходимость интеграла определяется наличием или отсутствием конечного предела . Будем писать просто , имея в виду, что если соответствующий предел конечен, то интеграл сходится, в противном случае - расходится.
Пример 7. интеграл сходится.
Пример 8. ; интеграл расходится.
Задание для самостоятельной работы
Вычислите несобственные интегралы:
1. 2. 3. 4. 5.
6. 7. 8.
Рекомендуемая литература: 11.1 [с. 271-282], 1.2 [с. 205-212], 2.2 [с. 247-250].
Самостоятельная работа №8
Тема: Частные производные функций нескольких действительных переменных
Цель: закрепление и систематизация знаний по теме «Приложения частных производных».
Время выполнения: 6 часов
Теоретический материал
В природе иногда встречаются процессы, в которых исследуемая величина является функцией двух, трех и т. д. других величин. Так, в термодинамике температура идеального газа T зависит от давления p и объема V. Если каждому набору аргументов …, ставится в соответствие число то говорят, что задана функция n переменных
y = f (x 1, x 2, …, xn). |
Число A называется пределом функции f (x 1, x 2, …, xn) по подмножеству M области определения функции при (x 1; x 2; …; xn) → (a 1; a 2; …; an), если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что на пересечении δ-окрестности точки A (кроме, быть может, самой точки A) с подмножеством M для всех x = (x 1; x 2; …; xn) выполняется неравенство
| f (x) – A | < ε. |
В этом случае пишут
|
Пусть функция двух переменных f (x, y) определена в некоторой окрестности точки (x 0; y 0). Пределом функции f (x, y) в точке (x 0; y 0) по направлению l = (cos α, sin α) называется число
где L – луч, выходящий из точки (x 0; y 0) в направлении l.
Пусть функция f (x 1, x 2, …, xn) определена в окрестности точки a = (a 1; a 2; …; an). Рассмотрим функцию одной переменной f (x 1, a 2, …, an). Она может иметь производную по своей переменной x 1. Такая производная по определению называется частной производной в точке
Аналогично определяются частные производные функции f по другим переменным. Поскольку при вычислении частных производных все переменные, кроме одной, фиксируются, правила вычисления частной производной точно такие же, как и обычной производной.
Задание для самостоятельной работы
Подготовить сообщение на тему «Приложения частных производных».
Рекомендуемая литература: 1.2 [с. 438-439], 2.2 [с. 151-166].
Самостоятельная работа №9
Тема: Вычисление двойных интегралов
Цель: формирование умений изменять порядок интегрирования, вычислять двойные интегралы в декартовых координатах.
Время выполнения: 7 часов (для 09.02.03, 09.02.04), 8 часов для (09.02.01)
Теоретический материал
Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутренний интеграл, считая х постоянным, затем берем внешний интеграл, т. е - результат первого интегрирования интегрируем по х в пределах от а до b.
Здесь, при вычислении внутреннего интеграла, считаем у постоянным.
Пример 1. Поменять порядок интегрирования:
Решение:
Изобразим область интегрирования.
Итак, х изменяется от 0 до 1, т.е. от прямой х=0 до прямой х=1, а у изменяется от 0 до х, т.е. от прямой у=0 до прямой у=х. Получим:
Рис.8. Область интегрирования .
Интеграл
взят в направлении вдоль оси Оу, изменив направление вдоль оси Ох мы получим:
Объем тела
где - уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.
Площадь плоской фигуры
Масса плоской фигуры
Масса плоской фигуры D с переменной плотностью находится по формуле
|
|
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!