Арифметика в обратном и дополнительном кодах

 

Рассмотренные арифметические операции над двоичными числами могут быть сведены к выполнению лишь двух операций; сложения и сдвига. Для этой цели в ЭВМ применяются специальные коды: прямой, обратный и дополнительный.

Для обозначения знака числа, участвующего в операции, в этих кодах выделяется специальный знаковый разряд, в котором записывается 0 для положительного числа и 1 — для отрицательного. Знаковый разряд всегда располагается слева от цифровых разрядов, представляющих данное число.

Прямой код х_пр двоичного числа х содержит цифровые разряды этого числа, слева от которых записывается знаковый разряд. Например, для числа х = + 1011 прямой код будет х_пр = 0.1011, а для числа х = – 1011 прямой код х_пр = 1.1011.

Использование обратного и дополнительного кодов позволяет свести операцию вычитания (алгебраического сложения) чисел к простому арифметическому сложению. Записи положительных чисел в обратном и дополнительном кодах совпадают с их соответствующими записями в прямом коде. Для рассмотренного ранее примера х = + 1011 имеем:

 

х_пр = х_обр = х_доп = 0.1011.

 

Отрицательные числа в этих кодах представляются по-разному.

Обратный код х_обр отрицательного числа x получается из прямого кода путем замены значений цифровых разрядов на противоположные. В знаковом разряде, как в прямом коде отрицательного числа, записывается 1. Например, если

 

x = – 1011, то х_пр = 1.1011; х_обр = 1.0100.

 

Дополнительный код х_доп отрицательного числа x образуется из его обратного кода х_обр путем прибавления 1 к младшему цифровому разряду. Для предыдущего примера: х_обр = 1.0100; х_доп = 1.0101.

В процессе прибавления 1 к младшему разряду могут возникнуть переносы из данного разряда в следующий. Если эта 1 переноса достигает знакового разряда и вызывает соответствующий перенос из него, то при использовании дополнительного кода последний перенос отбрасывается, а при использовании обратного кода единица знакового переноса суммируется с младшим разрядом полученной суммы. Результат вычислений получается в том коде, в каком были представлены слагаемые. Например,

 

десятичный код:	обратный код:	дополнительный код:
–		+	0.1100	+	0.1100
	1.1010	1.1011
		1 0.0110	1 0.0111
	0.0111	0.0111

 

В процессе выполнения расчетов на ЭВМ может образоваться как «положительный», так и «отрицательный» нуль, причем только в дополнительном коде он имеет единственное представление. Действительно,

 

в прямом коде:
(+ 0)пр = 0.00...00;	(– 0)пр = 1.00...00;
в обратном коде:
(+ 0)обр = 0.00...00;	(– 0)обр = 1.11...11;
в дополнительном коде:
(+ 0)доп = 0.00...00;	(– 0)доп = 0.00...00.

 

По этой причине, в частности, для представления отрицательных чисел в ЭВМ обычно используется дополнительный код. Поскольку дополнительный код положительного числа совпадает с прямым кодом, то положительные числа участвуют в операциях по сути дела в прямом коде. Как уже отмечалось, использование дополнительных кодов для отрицательных чисел позволяет свести операцию вычитания (или алгебраического сложения) к простому арифметическому суммированию кодов, включая их знаковые разряды. Если в результате суммирования получается положительное число (0 в знаковом разряде), то оно представлено в прямом коде, а если отрицательное число (1 в знаковом разряде), то — в дополнительном коде.

 

Упражнения

 

Выполнить арифметические операции со следующими десятичными числами, используя метод дополнительного кода:

а) 7 + 1; б) 31 + 26; в) 8 – 5; г) 89 – 46; д) 1 – 6; е) 20 – 60;

ж) – 3 – 4; з) – 13 – 41; и) 7 – 2; к) 113 – 50; л) 3 – 8; м) 12 – 63.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

 

Любая, даже самая примитивная ЭВМ — сложнейшее техническое устройство. Но даже такое сложное устройство, как и все в природе и в технике, состоит их простейших элементов. Все устройства ЭВМ состоят из десятков и сотен тысяч элементарных логических схем, так называемых вентилей, объединяемых по правилам и законам (аксиомам) алгебры логики в схемы и модули.

Автором алгебры логики является английский математик Джордж Буль. Занимаясь исследованием законов мышления, он применил в логике систему формальных обозначений и правил, близкую к математической. Впоследствии эту систему назвали логической алгеброй или булевой алгеброй. Правила этой системы применимы к самым разнообразным объектам и их группам (множествам, по терминологии автора). Основное назначение системы Буля состояло в том, чтобы кодировать логические высказывания и сводить структуры умозаключений к простым выражениям, близким по форме к математическим формулировкам. Результатом формального расчета логического выражения является одна из двух логических констант: истина или ложь.

Значение логической алгебры долгое время игнорировалось, поскольку ее приемы и методы не содержали практической пользы для науки и техники того времени. Однако, когда появилась принципиальная возможность создания средств вычислительной техники на электронной базе, операции введенные Булем, оказались весьма полезны. Они изначально ориентированы на работу только с двумя понятиями: истинности и ложности высказывания. Нетрудно понять, как они пригодились для работы с двоичным кодом, который в современных компьютерах тоже представляется всего двумя сигналами: 0 и 1.

Под высказыванием понимается повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается. В соответствии с такой двоичной природой высказываний условились называть их логическими двоичными переменными и обозначать «1» в случае истинности и «0» в случае ложности. Примерами логических переменных являются высказывания: X = «5 – это четное число», Y = «Квадрат – это геометрическая фигура». На основании этих высказываний можно записать X = 0, Y = 1, так как высказывание X ложно, а высказывание Y истинно.

Высказывания могут быть простыми и сложными: простые содержат одно законченное утверждение, сложные образуются из двух или большего числа простых высказываний, связанных между собой некоторыми логическими связями. Формализация и преобразование связей между логическими переменными осуществляются в соответствии с правилами алгебры логики.

Высказывания строятся над множеством {B, Ø, Ù, Ú, 0, 1}, где B — непустое множество, над элементами которого определены три операции: Ø — отрицание (НЕ), Ù — конъюнкция (И), Ú — дизъюнкция (ИЛИ), а также две константы — логический ноль 0 и логическая единица 1.

Отрицание (инверсия). В русском языке логической операции отрицание соответствует частица НЕ (в некоторых высказываниях применяется оборот «неверно, что…»). Отрицание — унарная (одноместная) операция. Записывается в виде: Ø X или .

Конъюнкция (логическое умножение). В русском языке она выражается союзом И. В математической логике используются знаки Ù, & или ´. Конъюнкция — бинарная (двухместная) операция. Записывается в виде: X Ù Y, X & Y или X ´ Y. Значение такого выражения будет Ложь, если значение хотя бы одного из операндов ложно.

Дизъюнкция (логическое сложение). В русском языке она выражается союзом ИЛИ. В математической логике используются знаки Ú или +. Дизъюнкция — бинарная операция. Записывается в виде: X Ú Y или X + Y. Значение такого выражения будет Истина, если значение хотя бы одного из операндов истинно.

Простейшим и наиболее широко применяемым примером такой алгебраической системы является множество B, состоящее всего из двух элементов: B = {0 (Ложь), 1 (Истина)}. Легко показать, что на данном множестве B можно задать четыре унарные и шестнадцать бинарных отношений, представленных в таблице, однако все они могут быть получены через суперпозицию трёх выбранных операций.

 

Функции и их обозначение	Аргументы	Название функции
X	Y	X	Y	X	Y	X	Y
f1 (XÙY)					Конъюнкция (логическое И)
f2 (XÚY)					Дизъюнкция (логическое ИЛИ)
f3 (XºY)					Эквивалентность
f4 (XÅY)					Сумма по модулю 2
f5 (XÌY)					Импликация от y к x
f6 (XÉY)					Импликация от x к y
f7 (X¯Y)					Стрелка Пирса («антидизъюнкция»)
f8 (X½Y)					Штрих Шеффера («антиконъюнкция»)
f9 (XDY)					Инверсия импликации f5
f10 (YDX)					Инверсия импликации f6
f11 ()					Отрицание Х
f12 ()					Отрицание Y
f13 (X)					Переменная Х
f14 (Y)					Переменная Y
f15 (1)					Константа 1
f16 (0)					Константа 0

 

Логическая функция (логическое выражение) — формула, содержащая только логические величины и знаки логических операций. Результатом вычисления логической функции является Истина или Ложь.

Не вся система Буля (как и не все предложенные им логические операции) были использованы при создании электронных вычислительных машин. Наибольший практический интерес представляют функции отрицания, логического умножения и логического сложения.

Логическое отрицание НЕ переменной X есть логическая функция F, которая истинна только тогда, когда переменная X имеет значение Ложь, и наоборот.

В алгебре логики любые функции удобно изображать в виде таблицы соответствия всех возможных комбинаций входных логических переменных и выходной логической функции. Для функции логического отрицания НЕ эта таблица имеет вид:

 

X	F

 

Графически эта функция обозначается кружком на входе или выходе логического символа (рис. 1).

 

 

Рис. 1. Графическое изображение функции логического отрицания НЕ

 

Логическое умножение И двух переменных X и Y есть логическая функция F, которая истинна тогда и только тогда, когда одновременно истинны входные переменные. Для функции логического умножения И таблица истинности имеет вид:

 

X	Y	F

 

Графическое изображение функции логического умножения И представлено на рис. 2.

 

Рис. 2. Графическое изображение функции И

 

Логическое сложение ИЛИ двух переменных X и Y есть логическая функция F, которая истинна, когда хотя бы одна из входных переменных истинна. Для функции логического сложения ИЛИ таблица соответствия имеет вид:

 

X	Y	F

 

На рис. 3 представлено графическое изображение функции логического сложения ИЛИ.

 

 

Рис. 3. Условно-графическое изображение функции логической суммы

 

Три рассмотренные функции позволяют реализовать любую логическую зависимость, они лежат в основе базовых схемотехнических элементов.

Базисом называется совокупность элементов, с помощью которых схемотехнически можно реализовать устройство любой сложности. То есть, базис — это те элементы, при помощи которых можно сделать любое устройство (речь идет о цифровой технике). Из указанных простейших базовых логических элементов собирают, конструируют сложные логические схемы ЭВМ. Например, сумматоры, шифраторы, дешифраторы и др. Большие интегральные схемы (БИС) и сверхбольшие (СБИС) интегральные схемы также содержат в своем составе (на кристалле кремния площадью в несколько квадратных сантиметров) десятки тысяч вентилей.

Это возможно еще и потому, что базовый набор логических схем (инвертор, конъюнктор, дизъюнктор) является функционально полным (любую логическую функцию можно представить через эти базовые вентили), представление логических констант в них одинаково (одинаковы электрические сигналы, представляющие 1 и 0) и различные схемы можно «соединять» и «вкладывать» друг в друга (осуществлять композицию и суперпозицию схем). На их основе можно сделать все вышеперечисленные элементы. Таким способом конструируются более сложные узлы ЭВМ — ячейки памяти, регистры, шифраторы, дешифраторы, а также сложнейшие интегральные схемы.

Кроме того, широкое распространение получили в реализации современных логических схем функции И-НЕ, ИЛИ-НЕ, исключающее ИЛИ.

«И-НЕ» — это схема И и схема НЕ, сложенные вместе. Операция, которую производит такой элемент, называется инверсией логического умножения или отрицанием логического умножения, или инверсией конъюнкции, а также штрих Шеффера. В виде формулы операция И-НЕ записывается так: F = X | Y.

Таблица истинности для этой функции представлена в следующем виде:

 

X	Y	F

 

Графическое изображение функции И-НЕ представлено на рис. 4.

 

 

Рис. 4. Графическое представление функции И-НЕ

 

Операция, выполняемая элементом ИЛИ-НЕ, называется инверсией логического сложения или инверсией дизъюнкции и еще словосочетанием «стрелка Пирса». В виде формулы эта функция записывается так: F = X↓Y.

Значения этой функции при различных X и Y могут быть представлены в таблице истинности:

 

X	Y	F

 

На рис. 5 представлено графическое изображение инверсии логического сложения.

 

 

 

Рис. 5. Графическое изображение функции ИЛИ-НЕ

 

Операция, выполняемая таким элементом как «ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ», обозначается плюсиком в кружочке, т. е. вот таким символом Å. В виде уравнения функция записывается так: F = XÅY. Читается это, как «либо икс, либо игрек». Таблица истинности элемента ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ следующая:

 

X	Y	F

 

Элемент ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ может быть представлен следующее схемой (рис. 6).

 

 

Рис. 6. Графическая реализация ИСКЛЮЧАЮЩЕГО ИЛИ

 

При преобразовании логических выражений следует учитывать приоритет выполнения логических операций. В порядке убывания старшинства, логические операции расположены в следующем порядке: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция. Кроме того, на порядок выполнения операций влияют скобки, которые можно использовать в логических выражениях.

Табличный способ определения истинности сложного выражения имеет ограниченное значение, так как при увеличении количества логических переменных приходится перебирать слишком много вариантов. В таких случаях используют правила и законы алгебры логики, которые позволяют значительно упростить логические уравнения и функции.

Аналогично обычной алгебре, в булевой действительны свойства перестановки, сочетательности и распределительности:

 

a + b = b + a;

a ´ b = b ´ a;

a + (b + c) = (a + b) + c;

a ´ (b ´ c) = (a ´ b) ´ c;

a ´ (b + c) = a ´ b + a ´ c.

 

Помимо этих есть и другие, свойственные только алгебре логики, законы:

 

— Законы одинарных элементов:

a ´ 1 = a;

a + 1 = 1;

a ´ 0 = 0;

a + 0 = a;

 

— Законы отрицания (правила де Моргана):

 

— Распределительность дизъюнкции:

a + (b ´ c) = (a ´ b) + (a ´ c);

 

— Правила поглощения:

a + (a ´ b) = a;

a ´ (a + b) = a.

 

Таким образом, зная свойства цифровых устройств и основы булевой алгебры, недостающий элемент легко заменяется другими. Причем схемотехническая часть может быть любой, главное, чтобы выполнялось условие совпадения таблиц истинности. Подобным образом менять можно почти все, суть в том, чтобы максимально упростить схемотехнику при сохранении ее простоты и легкоповторяемости.

 

 

Упражнения

 

1.Чему равно количество различных комбинаций переменных для таблицы истинности логической функции а)F (a,b,c); б) F (k,l,m,n). Ответ представить в восьмеричной системе счисления.

2. Составить таблицы истинности для следующих логических функций:

а) ØXÚØYÚØZ;

б) XÙØYÙØZ;

в) ØXÙØYÙZ;

г) ØXÚYÚØZ.

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ

 

Двоичная система счисления

1. а) 1; б) 5; в) 8; г) 11; д) 15; е) 7; ж) 128; з) 16; и) 51; к) 100; л) 31; м) 255.

2. а) 10111; б) 100111; в) 110111; г) 110000.

3. 11001100.

4. 238.