Аналитический метод решения задач линейного программирования

АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Основным аналитическим методом решения задач линейного про­граммирования является симплексный метод. Так называется метод последовательного решения задачи или улучшения плана.

Симплексный метод заключается в определении опорного решения (плана) среди решений системы линейных ограничений-неравенств, за­тем поэтапным переходом к оптимальному решению.

Вычислительным процессом симплексного метода являются моди­фицированные жордановы исключения, позволяющие решать задачу линейного программирования в табличной форме.

Пусть основная задача линейного программирования записана в виде:

Z = c₁x₁ + c₂x₂ + …+ c_nx_n → max (4.1)

a_i1x₁ + a_i2x₂ + … + a_inx_n ≤ b_i, i = (1,m) (4.2)

где m > n и x_k ≥ 0, k = (1,n) (4.3)

Введем зависимые переменные согласно условиям y_i ≥ 0 и ограниче­ния (4.2) перепишем в виде:

y_i = - a_i1x₁ – a_i2x₂ - … - a_inx_n + b_i ≥ 0, i = (1,m) (4.4)

Исходную задачу (4.1) и (4.4) представим в табличной форме (4.5):

(4.5)

Один шаг модифицированного исключения с разрешающим элемен­том a_rs означает переход к новой таблице (4.6), которая получается из табл. (4.5) по правилам:

1. зависимая переменная у_r и независимая x_s меняются местами, т.е. превращаются зависимые переменные в независимые;

2. разрешающий элемент a_rs заменяем на обратную величину (1/ a_rs);

3. остальные (кроме разрешающего) элементы разрешающей строки де­лятся на разрешающий элемент a_rs;

4. остальные элементы разрешающего столбца делятся на отрицатель­ное значение разрешающего элемента, т.е. (-a_rs);

5. элементы b_jk (i ≠r,s≠ к), т.е. элементы матрицы (4.6), не принадлежа­щие разрешающим столбцу и строке, вычисляются по формуле:

или по правилу так называемого «прямоугольника»

(4.6)

Решение задачи линейного программирования состоит из двух этапов:

1. нахождение опорного решения, условием которого является отсут­ствие отрицательных свободных членов, т.е. чтобы все элементы табл. (4.6), расположенные в столбце под 1 были неотрицательными.

2. Определение оптимального решения (плана), задачи, т.е. отыскание экстремальных значений целевой функции (max или min).

Условием оптимальности при определении максимального значения целевой функции является отсутствие отрицательных коэффициентов в Z — строке, табл. (4.6), кроме свободного члена Q.

Пример 4.1

(4.7)

 

(4.8)

 

Найти опорное решение задачи линейного программирования:

Решение

1. Вводим зависимые переменные и перепишем ограничения (4.8) в виде:

 

(4.9)

 

Целевую функцию (4.7) запишем в виде: Z = - (-4х₁ + 2х₂ - 3 х₃) + 5.

2. Составляем симплексную табл. (4.10):

(4.10)

 

Исходное решение не является опорным, так как в столбце свободных членов имеется два отрицательных элемента (-2 во второй строке и -3 в четвертой строке) в табл. 4.10.

3. Так как по условию задачи на переменную х3 ограничений на знак нет, то ее можно исключить из таблицы. Исключаем свободную перемен­ную лг₃, выполняя шаг модифицированного жорданова исключения с разрешающим элементом а₄₃ = 1 для табл. (4.10), причем ограничений на выбор разрешающего элемента нет. Этот элемент выбираем в столбце под свободной переменной и отмечаем его квадратиком.

Из табл. (4.11) выписываем выражение для х3

(4.11)

x₃ = 2x₁ + x₂ – y₄ – 3 (4.12)

 

и вычеркиваем четвертую строку в этой таблице, записывая таблицу в виде:

(4.13)

 

4. Отыскиваем опорное решение, исключая отрицательный свободный член в табл. (4.13). Выполняем шаг модифицированного жорданова исключения с разрешающим элементом a_rs. Для выбора разрешающе­го элемента поступаем следующим образом: во второй строке отри­цательный свободный член равен -8, а коэффициент в первом столб­це равен -5 и принимаем его за разрешающий столбец. В качестве
разрешающей строки выбирали минимальное отношение из неотри­цательных отношений свободных членов с соответствующим коэф­фициентом первого столбца, т.е.

Меньшее из них , но в случае вырождения следует разрешающим элементом принимать число в знаменателе, если оно положительное. Следовательно, выбираем и проведем шаг модифицированного жорданова исключения, который приводит к решению задачи в виде табл. (4.14).

 

 

(4.14)

Выписываем решения задачи из табл. (4.14). Переменные, расположен­ные на верху таблицы, равны нулю, т.е. у₂ = х₂ = у₄ = 0, а значения переменных; расположенных в левом столбце таблицы, равны , , , Z = 12.

. Значение свободной х₃ определяем из соотношения (4.12):

Итак, план (решение) задачи является опорным, так как все свобод­ные члены табл. (4.12) положительны (элементы столбца, расположенные под 1).

Проверка значения целевой функции:

 

 

Ответ:

Пример 4.2

Для заданной целевой функции

(4.15)

при линейных ограничениях:

(4.16)

и условиях:

(4.17)

определить опорное решение.

Решение

1. Вводим зависимые переменные и запишем условие задачи (4.15)-(4.17) в виде

4.18)

(4.19)

2. Составляем симплексную таблицу, размещая на верху таблицы неза­висимые переменные «-х_к», а в левом столбце — зависимые переменные y_i и целевую функцию Z. Коэффициенты при переменных находятся в соответствующих строках и столбцах таблицы. Свободные члены урав­нений записываем в последнем столбце под «1». Табл. № 1 имеет вид:

Номера таблицы будем указывать в левом верхнем углу симплексной таблицы. Исходное решение задачи (первоначальный план) не является опорным, так как при (все переменные, расположенные на верху таблицы, равны нулю) Значение не удовлетворяет условию задачи.

Исключаем свободную переменную х₂, выполняя шаг модифициро­ванного жорданова исключения с разрешающим элементом а₃₂ = -2, (при этом ограничений на его выбор нет).

Получим табл. № 2:

Выписываем выражение для х₂

и вычеркиваем третью строку в табл. № 2.

Решение задачи остается неопорным, так как в первой строке свобод­ный член равен -1, а коэффициенты этой строки являются положитель­ными. Следовательно, система ограничений несовместна.

Пример 4.3

Для реализации трех видов товаров предприятие располагает тремя видами ресурсов b₁ = 180, b₂ = 50 и b₃ = 40. Для продажи первой группы товаров на одну тысячу рублей товарооборота расходуется ресурсов пер­вого вида в количестве а₁₁ = 3 единицы, ресурсов второго вида а₂₁ = 2 еди­ницы и третьего а₃₁ = 2 единицы. Для продажи второй и третьей групп товаров на 1 тысячу рублей товарооборота расходуется соответственно:

a_2l = 6 единиц, a_l3 = 4 единицы, а₂₂ = 1 единицу, a₂₃ = 2 единицы, а₃₂ =3 еди­ницы, а₃₃ = 1 единицу.

Прибыль, полученная от продажи трех групп товаров на единицу то­варооборота, составляет: с₁ = 6, с₂ = 5 и с₃ = 5.

Определить максимальную прибыль предприятия.

Математическая модель задачи имеет вид:

(4.20)

 

при ограничениях-неравенствах:

(4.21)

 

и условиях:

(4.22)

 

Решение

1. Вводим зависимые переменные y_i ≥ 0 удовлетворяющие условиям:

и перепишем ограничения (4.16) и целевую функцию Z (4.20) в виде:

(4.23)

 

(4.24)

2. Составляем симплексную табл. №1, включая в нее независимые пере­менные -x₁ -x₂,,-х₃, на верху таблицы, зависимые переменные y₁,y_2,у₃ и целевую функцию Z, записывая в левом столбце таблицы с соот­ветствующими знаками у коэффициентов - a_ik. Ограничения на знак в таблицу не включаем.

Первоначальный план (исходное решение) является опорным, так как при х₁ = х₂ = х₃ = 0 (все переменные, расположенные на верху таблицы, равны нулю) и зависимые переменные у₁ = 180, у₂ = 50, у_ъ = 40 удов­летворяют условиям у_i ≥ 0.

3. Определяем оптимальное (максимальное) решение задачи линейного программирования. Находим разрешающий элемент a_rs. В качестве разрешающего выбираем столбец, содержащий наиболь­ший отрицательный по абсолютной величине коэффициент Z-строки, равный «-6». В табл. № 1 указано вертикальной стрелкой. Разрешающую строку определяем из условия min

Такой строкой будет третья (указана горизонтальной стрелкой). Сле­довательно a_rs = а₃₁ = 2.

Выполним шаг модифицированного жорданова исключения с раз­решающим элементом а₃₁ = 2, отмечено квадратиком. Получим табл. №2 в виде:

Разрешающий элемент а₃₁ = 2, заменяем обратной величиной, рав­ной 1/2. Все остальные элементы разрешающего столбца делим на «-2», получаем

Остальные элементы разрешающей строки делим на 2 и получаем:

Все элементы табл. №2 получаем, вычисляя по правилу «прямо­угольника».

Вычисления элементов таблицы запишем по строкам:

 

Решение, представленное табл. № 2, не является оптимальным, так как в Z-строке имеется отрицательный коэффициент, равный -2. Выпол­ним шаг модифицированного жорданова исключения с разрешающим элементом а₂₃ = 1 (третий столбец — разрешающий, а строка определена из условия min

и получим табл. № 3 в виде:

Вычисления для заполнения табл. № 3 выполняем, начиная с разре­шающих строки и столбца, а затем определяем элементы столбца сво­бодных членов и Z-строки. Так как свободные члены и коэффициенты Z-строки неотрицательны, то решение является оптимальным. Осталь­ные элементы симплекс-таблицы можно не вычислять.

Решение задачи выписываем из табл. № 3:

у₃ = х₂ = у₂ = 0, так как все переменные, расположенные на верху табли­цы равны нулю. Тогда переменные, находящиеся в левом столбце таблицы равны соответствующим значениям свободных членов (элементы в столбце под «1»), то есть

 

Проверка.

Ответ:

Пример 4.4

Для заданной целевой линейной функции

(4.25)

Найти максимальное значение при линейных ограничениях-неравен­ствах:

(4.26)

и условиях:

(4.27)

Решение

1. Введем зависимые переменные, удовлетворяющие условиям у_i > 0, и перепишем систему ограничений (4.26) и целевую функцию (4.25) в виде:

(4.28)

(4.29)

2. Составляем симплексную табл. № 1, включая в нее зависимые y_j не­зависимые переменные -х_к (4.28) и целевую функцию Z (4.29). Огра­ничения на знак переменных х_к в таблицу не включаем. Номера таб­лиц будем указывать в левом верхнем углу:

Исходный (первоначальный) план является неопорным, так как в третьей строке у_з = -5 (свободный член, т.е. элемент табл. № 1 в столб­це под 1 величина отрицательная).

Полученное решение представлено табл. № 2:

3. Определяем опорное решение, выполняя шаг модифицированного жорданова исключения с разрешающим элементом а₃₃ = -1 выбран­ным в соответствии с правилами, изложенными выше, т.е. в качест­ве разрешающего столбца берем коэффициент в третьей строке (свободный член равен -5) под переменной х₃, а разрешающей будет строка с наименьшим положительным отношением свободных чле­нов к соответствующим коэффициентам разрешающего столбца, т.е.

Решение задачи, представленное табл. № 2, показывает, что план яв­ляется опорным, но неоптимальным, так как в Z-строке все коэффи­циенты отрицательные.

4. Определяем оптимальное решение, выполняя шаг модифицирован­ного жорданова исключения с разрешающим элементом а₂₁ = 1. В ка­честве разрешающего столбца берем наибольший по модулю отрица­тельный коэффициент — 16, т.е. столбец под переменной х₁ (отмечен­ный вертикальной стрелкой), а разрешающей будет строка с единст­венным положительным коэффициентом равным 1. Следовательно, a₂₁ = 1, а решение будет представлено табл. № 3:

Решение задачи, представленное табл. № 3, является оптимальным, так как все коэффициенты Z-строки — положительные величины. Выписываем решения задачи из табл. № 3:

Проверка зависимых переменных и целевой функции:

Пример 4.5

Определить значения независимых переменных х_к, доставляющие целевой функции максимальное значение

(4.30)

удовлетворяющие линейным ограничениям-неравенствам:

(4.31)

и условиям:

(4.32)

 

 

Решение

1. Введем зависимые переменные y_t > 0 и ограничения (4.31) перепишем в виде:

2. Составляем симплексную табл. № 1, включая в нее зависимые, неза­висимые переменные и целевую функцию (4.30):

Исключаем из табл. № 1 свободную независимую переменную x_v вы­бирая в качестве разрешающего элемента любой коэффициент в этом столбце (под переменной х_х ), так как согласно правилу выбора разрешаю­щего элемента при исключении свободной переменной ограничений на выбор его нет.

Разрешающий элемент отмечен квадратиком, а соответствующие раз­решающие строка и столбец указаны стрелками. Выполним шаг модифи­цированного жорданова исключения с разрешающим элементом а₃₁ = 1 и получаем табл. № 2:

 

В табл. № 2 вписываем значение для х₁ и вычеркиваем третью строку

(4.33)

 

Перепишем табл. № 3 в виде:

 

Решение задачи, представленное табл. № 3, указывает, что получен­ный план является опорным, так как все элементы столбца, расположен­ные под 1, — неотрицательны, но неоптимальны.

Определяем оптимальное решение задачи, выполняя шаг модифици­рованного жорданова исключения с разрешающим элементом а₂₂ = 2. Разрешающим является столбец с коэффициентом -5 в Z-строке, а раз­решающую строку определяем из условия

Так как в случае равенства нулю отношений свободных членов к ко­эффициентам разрешающего столбца в качестве разрешающего элемента берем коэффициент с положительным знаком, получаем табл. № 4:

Полученное решение не является оптимальным, так как в Z-строке имеется отрицательный коэффициент, равный -8. Принимаем столбец с этим коэффициентом в качестве разрешающего, а строку определяем из условия:

Так как в отношении коэффициент, стоящий в знаменателе, отри­цательный, то в качестве разрешающей строки принимаем третью строку с коэффициента равным 7. Выполним шаг модифицированного жордано­ва исключения с а₃₁ = 7 и табл. № 5 будет иметь вид (вычисляем элементы разрешающего столбца, разрешающей строки, столбца свободных членов и Z-строки. Остальные элементы табл. № 5 можно не вычислять).

План, представленный табл. № 5, является оптимальным. Выписыва­ем решения задачи:

Вычисляем значение свободной переменной х₁ на основании (4.33):

Вычисляем значения зависимых переменных у_{ и целевой функции, подставляя найденные значения в (4.30) и (4.31).

Пример 4.6

Для заданной целевой функции найти максимальное значение:

при линейных ограничениях-неравенствах

(4.34)

и условиях:

(4.35)

(4.36)

 

 

Решение

1. Вводим зависимые переменные и перепишем условие задачи (4.34)-(4.36) в виде:

(4.37)

(4.38)

2. Составляем симплексную табл. № 1:

 

3. Исключаем свободную независимую переменную х₃, выполняя шаг модифицированного жорданова исключения с разрешающим элемен­том а₄₃ = 1. Получаем табл. № 2:

Выписываем значение переменной х₃:

(4.39)

и вычеркиваем четвертую строку в табл. № 2.

Получаем табл. № 3 в виде:

Так как в табл. № 3 в столбце свободных членов два отрицательных элемента -5 и -10, то план неопорный. В качестве разрешающего прини­маем 1 столбец, так как в третьей строке находится элемент с наиболь­шим отрицательным по модулю значением -10 и коэффициент -8 распо­ложен в этом столбце, а разрешающую строку определяем из условия:

Следовательно, выполним шаг модифицированного жорданова ис­ключения с разрешающим элементом а₁₁ = -8, получим табл. № 4:

Решение, представленное табл. № 4, не является опорным, так как в столбце свободных членов имеется отрицательный элемент, равный -5. Выполнив шаг модифицированного жорданова исключения с разрешаю­щим элементом а₃₁ = -1, получим табл. № 5:

Решение, полученное в виде табл. № 5, является опорным, но не оп­тимальным, поскольку в Z-строке коэффициент равный – 15/8 в первом столбце отрицательный, но в этом столбце нет положительных коэффи­циентов. Следовательно, целевая функция ограничений на максимум не имеет.

 

 

Пример 4.7

Определить максимальное значение линейной целевой функции

(4.43)

при смешанных линейных ограничениях:

(4.44)

и условиях:

(4.45)

Решение

1. Вводим зависимые переменные и перепишем условие задачи (4.43) и (4.44) в виде:

 

(4.47)

2. Запишем условие задачи (4.46) и (4.47) в табл. № 1, включая в нее за­висимые, независимые переменные и целевую функцию:

3. Так как независимые переменные х_к являются несвободными, то ис­ключаем 0-строку.

В качестве разрешающего столбца принимаем любой положительный коэффициент 0-строки, например, a₄₁ = 2. Разрешающую строку опре­делим из условия:

Следовательно, разрешающим элементом будет а₂₁ = -2. Выполняя шаг модифицированного жорданова исключения с разрешающим элементом а₂₁ = -2, отмеченный в табл. № 1 квадратиком. Получаем решение задачи в виде табл. № 2:

 

(4.49)

4. В табл. № 20 строка осталась. Исключаем ее, выполняя шаг модифици­рованного жорданова исключения с разрешающим элементом а₄₃ = 1. Получаем табл. № 3 в виде:

Вычеркивая в табл. № 3 0-столбец, получаем решение опорное и опти­мальное.

Выпишем решение задачи из табл. № 3 и проверим условия (4.46) и зна­чение целевой функции (4.47):

Пример 4.8

Найти неотрицательные значения переменных x₁,x₂ и х₃ доставляю­щие целевой функции

(4.48)

максимальное значение и удовлетворяющие смешанным ограничениям:

(4.50)

и условиям:

Решение

1. Перепишем ограничения (4.49) с учетом введенных переменных

2. Составляем симплексную табл. № 1

3. Исключаем свободную переменную х₃ в табл. № 1, выполняя шаг мо­дифицированного жорданова исключения с разрешающим элемен­том а₄₃ = 1. Получим табл. № 2:

В табл. № 2 вычеркиваем 0-столбец, выписываем выражение для не­зависимой переменной хъ

и вычеркиваем четвертую строку.

Получаем табл. № 3, уменьшенную на одну строку и один столбец:

4. Полученное решение не является опорным, так как в столбце свобод­ных членов имеется два отрицательных числа -13 и -7. Выполним шаг модифицированного жорданова исключения с разрешающим элемен­том а₁₂ = -5, получим табл. № 4:

5. Решение остается неопорным, поэтому выполним шаг модифи­цированного жорданова исключения с разрешающим элементом а₂₂ = -1 в табл. № 5:

6. Полученное решение является опорным, но неоптимальным, посколь­ку в Z-строке первый коэффициент — отрицательный, равный - 6/5.Выполним шаг модифицированного жорданова исключения с разрешающим элементом . Получим табл. № 6 в виде:

7. Из табл. № 6 выписываем решение задачи:

Проверка.

 

Пример 4.9

Найти максимальное значение линейной целевой функции

(4.51)

переменные которой удовлетворяют смешанным линейным ограничени­ям-неравенствам:

(4.52)

и условиям:

(4.53)

 

Решение

1. Вводим зависимые переменные записав условие задачи (4.51)-(4.53) в виде:

(4.54)

2. Составляем симплексную табл. № 1, представляя условие задачи (4.54) в табличной форме, включая в нее все переменные, 0-строку и целе­вую функцию Z:

3. Исключаем свободную независимую переменную х₂, выполняя шагмодифицированного жорданова исключения с разрешающим элемен­том а₂₂ = -1.

Полученная табл. № 2 имеет вид:

Запишем значение переменной х₂ из табл. № 2

и вычеркнем вторую строку этой таблицы. Получаем табл. № 3 в виде:

4. Исключаем 0-строку в табл. № 3, выполняя шаг модифицированного жорданова исключения с разрешающим первым столбцом (в 0-строке этот коэффициент равен 2), а строку определяем из условия:

Следовательно, а₃₁ = 2. Тогда табл. № 4 имеет вид:

В табл. № 4 вычеркнем 0-столбец и получим решение в виде табл. № 5:

 

 

Решение задачи, записанное в табл. № 5, не является опорным, так как у₃ = -6. В качестве разрешающего берем столбец, содержащий отрица­тельный элемент, равный -2.

Разрешающую строку определяем из условия

Выполнив шаг модифицированного жорданова исключения с разре­шающим элементом а₁₁ = 3, получим табл. № 6:

Решение является неопорным, так как у₃ = -6, т.е. свободный член ра­вен отрицательному числу, а в этой строке все коэффициенты положи­тельны. Следовательно, система несовместна и задача решений не имеет.

Пример 4.10

Найти максимальное значение линейной целевой функции

при смешанных линейных ограничениях:

(4.55)

и условиях:

(4.56)

(4.57)

 

Решение

1. Введем зависимые переменные и ограничения запишем в виде:

 

Выписываем выражение для переменной х₂:

(4.58)

Целевую функцию представим в виде:

(4.59)

2. Составляем симплексную табл. № 1, включая в нее зависимые y_i, не­зависимые переменные х_k, 0-строку (4.58) и Z-строку (4.59):

3. Исключаем свободную переменную х₂, так как в условиях (4.55) огра­ничений на знак этой переменной нет. В качестве разрешающего вы­бираем любой элемент, стоящий в столбце под этой переменной табл. № 1. Пусть таким элементом будет а₂₂ = -1, выделим его квадратиком. Выполним шаг модифицированного жорданова исключения с разре­шающим элементом а₂₂ = -1, получим табл. № 2:

и вычеркиваем вторую строку табл. № 2. Получаем табл. № 3 в виде:

4. Исключаем 0-строку в табл. № 3, выбирая разрешающий столбец с коэффициентом, равным 2, в качестве разрешающей принимаем строку из условия:

Выполним шаг модифицированного жорданова исключения с разре­шающим элементом а₃₁ = 2 и получим табл. № 4:

В табл. № 4 вычеркнем 0-столбец и запишем полученную таблицу в виде:

Решение, представленное табл. № 5, не является опорным, так как у₃ = -9, что не удовлетворяет условию 5. Определяем опорное решение задачи, выполняя шаг модифициро­ванного жорданова исключения с разрешающим элементом а₁₁ = 3. Получаем табл. № 6:

Решение получили неопорное, поэтому выполним шаг модифициро­ванного жорданова исключения с разрешающим элементом и получим табл. № 7:

Полученное решение задачи в табл. № 7 указывает, что функция Z ог­раничений на максимум не имеет, так как в Z-строке имеется два отри­цательных коэффициента и -5, а в соответствующих столбцах нет положительных элементов.

Пример 4.11

Определить минимальное значение целевой функции

(4.60)

при линейных ограничениях-неравенствах

(4.61)

и условиях

(4.62)

Решение

1. Целевую функцию (4.60) заменой Z₁ = -Z сведем к определению мак­симального значения, т.е.

(4.63)

2. Введем зависимые переменные согласно условиям и запишем ограничения (4.61) в виде:

(4.64)

 

3. Составим симплексную табл. № 1, включая в нее независимые х_к, за­висимые переменные у_i (4.64) и целевую функцию Z₁ (4.64), т.е. условие исходной задачи запишем в табл. № 1:

Первоначальный план (решение) при х₁=, х₂ = х₃ = 0 имеет значение y₁ = 8, y₂ = 3, у₃ = 5, y₄ = 4 и Z₁ = -1 не является опорным, так как y₂ = -3<0.

4. Определяем опорное решение задачи, выполняя шаг модифициро­ванного жорданова исключения с разрешающим элементом а₂₂ = -3. В качестве разрешающего столбца выбираем столбец с переменной х₂ (во второй строке с отрицательным свободным членом равным -3 отыскиваем отрицательный наибольший по модулю коэффициент, равный -3). Разрешающую строку определяем из условия:

 

 

 

 

В табл. № 2 все свободные члены положительны, кроме свободного члена Z₁ -строки. Следовательно, решение задачи является опорным.

5. Определяем оптимальное решение задачи, т.е. находим максимальное значение функции Z₁ Так как в Z₁ -строке имеется два отрицательных коэффициента -17/3 и -5/3, то в качестве разрешающего принимаем первый столбец с коэффициентом равным -17/3 (больший отрица­тельный по абсолютной величине). Разрешающую строку определяем из условия:

После шага модифицированного жорданова исключения с разрешаю­щим элементом получаем табл. № 3:

Решение задачи, представленное табл. № 3, не является оптимальным. Выполняя шаг модифицированного жорданова исключения с разрешаю­щим элементом а₄₃ = 1, получаем табл. № 4:

Табл. № 4 заполняем в такой последовательности: выписываем разре­шающие строку и столбец, а затем вычисляем значения свободных членов (столбец под 1) и коэффициентов Z₁ -строки. Так как условия опорности и оптимальности выполняются для рассматриваемой задачи, то нет не­обходимости в определении остальных элементов табл. № 4.

Выписываем решени