Экспериментальное оборудование, приборы ипринадлежности

Лабораторная установка показана на рис. 1.

Рис. 1

На основании 1 установлен вертикальный стенд 2 с системой подвеса маятников 3 и 4, которые соединены пружинами 5, 6. Пружины закрепляются на фиксаторах, которые свободно перемещаются по резьбе верхних и нижних стержней маятников. Частота свободных колебаний маятников регулируется перемещением грузов 7. Начальные условия колебания маятников задаются с помощью секторов, размещенных на штанге стартового устройства 11. Сектора 9. 10 служат для запуска антифазных колебаний. Сектора стартового

устройства приводится в движение поворотом штанги одной из рукояток 12. На маятниках укреплены датчики угловой скорости 13, 14. Передача данных в компьютер осуществляется с помощью двух USB-кабелей 15 и 16.

К приборам и принадлежностям относится компьютер с программным обеспечением для регистрации и обработки данных.

Теоретическая часть

3.1. Связанная колебательная система.

Рис. 2.

Связанная колебательная система - это совокупность двух или нескольких маятников (парциальных систем), каким-либо образом связанных между собой. В качестве примера рассмотрим систему, изображенную на рис. 2. Она состоит из двух математических маятников массой т и длиной l, связанных невесомой пружиной с коэффициентом жесткости k. При движении маятников в одной вертикальной плоскости состояние такой системы полностью описывается двумя независимыми параметрами - углами φ₁ и φ₂ отклонения маятников от вертикали, т.е. система имеет две степени свободы.

Уравнение движения для каждого маятника можно получить из общего уравнения динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси:

(1)

где J - момент инерции тела относительно оси вращения; М - момент действующих на тело сил относительно той же оси.

Применительно к каждому маятнику уравнение (1) для малых колебаний имеет вид:

 

(2)

 

Здесь учтено, что при малых φ₁ и φ₂ удлинение пружины равно d(φ₁ - φ₂) и, следовательно, момент М упругой силы равен k d²(φ₁ - φ₂), поскольку плечо этой силы равно d. Предполагается, что момент сил трения, действующих на маятники, много меньше М и затуханием можно пренебречь. Общее решение системы (2) имеет вид

(3)

где постоянные А, В, α₁ и α₂ определяются из начальных условий, а частоты ω₁.,ω₂. даются формулами:

(4)

Из соотношений (3) следует, что в общем случае каждый маятник осуществляет сложное колебание, которое не является гармоническим, поскольку складывается из двух независимых колебаний с частотами ω₁. и ω₂

Нормальные колебания

Специальным подбором начальных условий можно добиться возбуждения колебаний системы только с одной частотой. Такие колебания, при которых оба маятника колеблются с одной и той же частотой, называются нормальными колебаниями. Частоты таких колебаний называются нормальными частотами. Число нормальных колебаний равно числу степеней свободы системы.

В рассматриваемом случае двух связанных маятников нормальные колебания могут быть возбуждены следующими двумя способами.

Синфазные колебания - это колебания маятников, происходящие в одной фазе с меньшей из нормальных частот ω₁. Они описываются выражениями (3) при В = 0, что соответствует начальным условиям

( 5)

Это означает, что в начальный момент времени оба маятника отклонены на один и тот же угол и имеют одинаковые скорости (например, нулевые). Роль связи при таких колебаниях исчезает.

Антифазные колебания - это колебания маятников, происходящие в противофазе с большей из нормальных частот ω₂. Они описываются соотношениями (3) при А = 0, что приводит к начальным условиям

(6)

Отсюда следует, что в начальный момент времени маятники отклоняются на противоположный угол и имеют противоположные угловые скорости.

В общем случае произвольных начальных условий будут одновременно совершаться оба нормальных колебания. При этом возникают биения -периодическое возрастание и убывание амплитуды колебаний каждого из маятников.

Биения удобно наблюдать при начальных условиях

(7)

При этом постоянные системы (3) имеют значения

(8)

После подстановки выражений (8) в уравнения (3) получим

(9)

Предположим, что связь между маятниками является слабой, т.е.

ω₂ - ω ₁ << ω₁ а значит, как следует из соотношений (4).

(10)

Из уравнений (9) вытекает, что в этом случае движение маятников можно считать колебаниями, происходящими с

частотой , и амплитудами, медленно меняющимися во времени. Период этих медленных изменений амплитуд определяется выражением

(11)

и называется периодом биений. При этом фазы колебаний маятников отличаются на π/2. Уменьшение амплитуды одного из маятников приводит к увеличению амплитуды второго. Общая энергия системы (без учета потерь) остается постоянной, но «перекачивается» от одного маятника к другому.

Отметим, что если связанная система состоит из трех парциальных систем например, трех математических маятников, соединенных пружинами, она обладает тремя системами свободы и тремя нормальными частотами. Если же число парциальных систем равно n, то связанная система обладает n степенями свободы и имеет n нормальных частот.

 

3.2. Явление резонанса.

Для получения незатухающих (вынужденных) колебаний на систему воздействуют периодической внешней силой. Тогда всякий раз, когда частота внешнего воздействия ω становится равной нормальной частоте ω₁ или ω₂ наступает резонанс. Резонанс - явление резкого возрастания амплитуды колебаний при приближении частоты внешнего воздействия к собственной (нормальной) частоте колебательной системы.

Когда частота внешнего воздействия равна одной из мод, оба маятника движутся так, как если бы их колебания принадлежали этой моде (при свободных колебаниях). Так, при ω = ω₁будем наблюдать синфазные колебания (моду 1), а при ω = ω₂- антифазные колебания (моду 2). Таким образом, резонансная кривая системы двух связанных маятников имеет два максимума.