Суждения, представимые на большой диаграмме

 

С помощью красных и черных фишек изобразите на большой диаграмме следующие суждения.

1. Ни один x не есть m.

2. Некоторые y суть m'.

3. Все m суть x'.

4. Ни один m' не есть y'.

5. Ни один m не есть x. Все y суть m.

6. Некоторые x суть m. Ни один y не есть m.

7. Все m суть x'. Ни один y не есть m.

8. Ни один x' не есть m. Ни один y' не есть m'.

 

«Мир» — множество кроликов, m =«прожорливые», x =«старые», y =«черные».

Изобразите на диаграмме следующие суждения.

9. Ни один старый кролик не прожорлив.

10. Некоторые непрожорливые кролики черные.

11. Всем белым кроликам не свойственна прожорливость.

12. Все прожорливые кролики молодые.

13. Ни один старый кролик не прожорлив. Все черные кролики прожорливы.

14. Все непрожорливые кролики черные. Ни один старый кролик не воздержан в пище.

 

«Мир» — множество птиц, m =«поющие громко», x =«получающие достаточное количество корма», y =«счастливые».

Изобразите на диаграмме следующие суждения.

15. Все птицы, получающие достаточно корма, поют громко.

Все птицы, поющие громко, счастливы.

16. Все птицы, не поющие громко, не счастливы.

Ни одна птица, получающая достаточно корма, не поёт тихо.

 

«Мир» — множество людей, m =«те, кто находится в этом доме», x =«Джон», y =«те, у кого болят зубы».

Изобразите на диаграмме следующие суждения.

17. Джон находится в этом доме.

У всех, кто находится в этом доме, болят зубы.

18. В этом доме нет никого, кроме Джона.

Ни у кого из тех, кто находится в этом доме, не болят зубы.

 

«Мир» — множество людей, m =«я», x =«совершившие прогулку», y =«чувствующие себя лучше».

Изобразите на диаграмме следующие суждения.

19. Я совершил прогулку.

Я чувствую себя гораздо лучше.

 

«Мир» и признаки, обозначаемые буквами m, x и y, выбирайте по своему усмотрению. Изобразите на диаграмме следующие два суждения.

20. Я попросил его принести котёнка.

Он по ошибке принёс мне котелок.

 

Суждения, представимые на двух диаграммах — большой и малой

 

 

Указание. При ответе на каждый вопрос необходимо начертить малую диаграмму (для одних лишь признаков x и y), разметить её в соответствии с большой диаграммой и, глядя на малую диаграмму, постараться сформулировать как можно больше суждений относительно x и y.

1.

 

2.

 

3.

 

4.

 

 

На большой диаграмме при помощи черных и красных фишек изобразите перечисленные ниже пары суждений из предыдущего параграфа, затем разметьте малую диаграмму в соответствии с большой и т. д.

5. № 13

6. № 14

7. № 15

8. № 16

9. № 17

10. № 18

11. № 19

12. № 20

 

То же самое проделайте со следующими суждениями (в действительности каждая из этих пар суждений служит посылками силлогизма, поэтому результаты, считываемые вами с малой диаграммы, представляют собой не что иное, как заключение силлогизма).

13. Ни одна книга с острым сюжетом не подходит для чтения легко возбудимым людям.

От книг со спокойным сюжетом клонит в сон.

14. Некоторые из тех, кто достоин славы, получают награду.

Никто, кроме храбрецов, не достоин славы.

15. Ни один ребёнок не обладает терпением.

Ни один нетерпеливый человек не может сидеть спокойно.

16. Все свиньи жирные.

Все скелеты тощи.

17. Ни одна обезьяна не солдат.

Все обезьяны ведут себя непристойно.

18. Ни одна из моих кузин не справедлива.

Все судьи справедливы.

19. Некоторые дни дождливы.

Дождливые дни наводят скуку.

20. Все лекарства противны на вкус.

Александрийский лист — лекарство.

21. Некоторые евреи богаты.

Все патагонцы не евреи.

22. Все трезвенники любят сахар.

Ни один соловей не пьёт вина.

23. Никакая горячая сдоба не полезна.

Все сладкие пирожки не полезны.

24. Ни одно толстое созданье не бегает хорошо.

Некоторые гончие бегают хорошо.

25. Все солдаты маршируют.

Некоторые юноши не солдаты.

26. Сахар сладкий.

Соль несладкая.

27. Некоторые яйца сварены вкрутую.

Все яйца бьются.

28. В этом доме нет евреев.

Все неевреи в саду.

29. Все битвы сопровождаются страшным шумом.

То, что происходит без шума, может ускользнуть от внимания.

30. Ни один еврей не сумасшедший.

Все раввины евреи.

31. Не существует рыбы, которая не умела бы плавать.

Некоторые коньки рыбы.

32. Все склонные к горячности люди неразумны.

Некоторые ораторы склонны к горячности.

 

 

Глава 3. Фейерверк ответов

 

 

Число гвоздик ты хочешь знать,

Растущих на морозе?

Изволь: оно равно числу

Бананов на берёзе.

 

§ 1. Ответы на элементарные вопросы

 

1. Любое свойство, которым обладает предмет или которое можно приписать предмету, называется признаком. Например, «пироги» (довольно часто) обладают признаком «подгорелые», а «мальчики» (в исключительно редких случаях) — признаком «милые».

2. Связку имеет смысл ставить между именами двух предметов (например, «Эти свиньи — жирные животные») или двух признаков (например, «Розовый — это бледно-красный»). Тире в первом случае означает связку «суть», во втором случае — связку «есть».

3. Когда одно имя является именем предмета, а другое — именем признака (например «Все свиньи суть розовые»), так как предмет не может в действительности быть признаком.

4. Проще всего предположить, что существительное, входящее в субъект, повторяется в предикате (например, «Эти свиньи суть розовые (свиньи)»).

5. Суждение — это предложение, в котором утверждается, что некоторые или все предметы, принадлежащие определённому классу, называемому субъектом, одновременно являются предметами, принадлежащими некоторому другому классу, называемому предикатом (или что ни один предмет, принадлежащий классу «субъект» не принадлежит классу «предикат»). Например, в суждении «Некоторые свежие булочки невкусные», или, если записать его в развёрнутом виде, «Некоторые свежие булочки суть невкусные булочки», субъектом является класс «свежих булочек», а предикатом — класс «невкусных булочек».

6. Суждение, в котором утверждается, что некоторые из предметов, принадлежащих субъекту суждения, являются такими-то и такими-то, называются частным. Например, «Некоторые свежие булочки вкусные», «Некоторые свежие булочки невкусные» — частные суждения.

Суждение, в котором утверждается, что ни один из предметов, принадлежащих субъекту суждения, не есть то-то и то-то, или, наоборот, все предметы являются такими-то и такими-то, называется общим. Например, «Ни одна свежая булочка не вкусна», «Все свежие булочки не вкусны» — суждения общие.

7. Предметы, находящиеся в любой из клеток малой диаграммы, обладают двумя признаками, которые обозначены буквами, стоящими на прямых, отделяющих эту клетку от соседних.

8. «Некоторые» предметы в логике означают «Один или несколько».

9. «Мир» в нашей игре означает класс предметов, изображаемых на диаграмме.

10. Двойным называется суждение, содержащее два утверждения, например суждение «Некоторые свежие булочки вкусные» и «Некоторые свежие булочки невкусные» — двойное.

11. Разбиение называется исчерпывающим, если каждый элемент класса принадлежит какой-то из частей, на которые распадается класс при данном разбиении. Например, разбиение класса «свежих булочек» на вкусные и невкусные является исчерпывающим, поскольку каждая свежая булочка должна быть либо вкусной, либо невкусной.

12. В тех случаях, когда человек не может решить, в какую из двух партий — республиканцев или демократов — он хочет вступить, в Америке говорят, что он «сидит на стенке» (и не знает, на какую сторону ему спрыгнуть).

13. «Некоторые x суть y» и «Ни один x не есть y'».

14. Суждения, в которых субъект состоит из одного-единственного предмета, называются единичными. Например, «Я счастлив», «Джона нет дома» — единичные суждения. Единичные суждения относятся к числу общих суждений, поскольку суждение «Я счастлив» эквивалентно суждению «Все я, которые существуют, счастливы», а суждение «Джона нет дома» — суждению «Всех Джонов, которых я рассматриваю в данным момент, нет дома».

15. Из суждений, начинающихся со слов «некоторые» или «все».

16. В тех случаях, когда суждения начинаются со слов «некоторые» или «ни один». Например, суждение «Некоторые abc суть def» можно преобразовать в суждение «Некоторые bf суть acde», причём и исходное и конечное суждения эквивалентны суждению «Некоторые abcdef существуют».

17. Некоторые тигры свирепы.

Ни один тигр не кроток.

18. Некоторые сваренные вкрутую яйца вредны для здоровья.

Ни одно сваренное вкрутую яйцо не полезно для здоровья.

19. Некоторые «я» счастливы.

Ни один «я» не несчастлив.

20. Некоторых Джонов нет дома.

Ни один Джон не дома.

21. Предметы, находящиеся в любой из клеток большой диаграммы, обладают тремя признаками, буквенные обозначения которых стоят у трёх вершин данной клетки (единственное исключение составляет признак m' — предполагается, что буквы m', хотя в действительности их и нет, стоят во всех четырёх углах большой диаграммы рядом с номерами 9, 10, 15 и 16).

22. Если «Мир предметов» разделён на части по трём различным признакам и нам заданы два суждения, содержащих две различные пары эти признаков, и из них мы можем вывести третье суждение относительно той пары признаков, которые не вошли в первые два суждения, то в этом случае данные два суждения называются «посылками», третье суждение — «заключением», а все три суждения вместе — «силлогизмом». Например, посылками могут быть суждения «Ни один m не есть x'» и «Все m' суть y», из которых можно вывести заключение, содержащее x и y.

23. Если некий признак входит в обе посылки, то содержащий его термин называется «средним термином». Например, если посылки имеют вид суждений «Все m суть x» и «Ни один m не есть y'», то средним термином будет класс «m- предметов».

Если же какой-то признак входит в одну посылку, а противоположный ему признак — в другую, то термины, содержащие эти признаки, можно назвать «средними терминами». Например, если в качестве посылок выбраны суждения «Ни один m не есть x'» и «Все m' суть y», то два класса — «m- предметов» и «m'- предметов» — можно назвать «средними терминами».

24. Потому что места для черных фишек определяются однозначно, в то время как утвердительные суждения (т. е. суждения, начинающиеся со слов «некоторые» или «все») иногда вынуждают нас усаживать красную фишку «на стенку».

25. Потому что единственный вопрос, который нас интересует, состоит в том, можно ли логически вывести данное заключение из данных посылок, иначе говоря, будет ли данное заключение истинным, если посылки истинны.

26. Следует принять соглашение о том, что красная фишка означает «Эта клетка может быть занята», а чёрная — «Эта клетка не может быть занята», или «Эта клетка должны быть пустой».

27. Ошибка в посылках и ошибка в заключении.

28. Ошибку в заключении можно обнаружить, если при переходе от большой диаграмме к малой у нас не оказывается никаких сведений ни об одной из четырёх клеток малой диаграммы.

29. Нужно найти правильное заключение и затем сравнить его с предложенным. Если последнее не тождественно правильному и не составляет его части, мы имеем дело с ошибкой в заключении.

30. В тех случаях, когда предложенное нам заключение является частью правильного заключения. О подобных заключениях мы говорим как об «изъяне в заключении».