Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Топ:
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Интересное:
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2017-09-30 | 241 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Лекция 1. Теория погрешности
Виды погрешностей вычислительного эксперимента:
1. Погрешность математической модели.
2. Погрешность исходных данных.
3. Погрешность численного метода (дискретизации).
4. Погрешность вычислений.
Три простых примера
Пример 1.
,
,
(1)
(2)
(3)
№ строки |
| Формула 1 | Формула 2 | Формула 3 | |
1,4 | 0,005076142 | ||||
1,41 | 0,003558719 | 0,3 | 0,005058169 | ||
1,414 | 0,004975124 | 0,02 | 0,005051015 | ||
1,4142 | 0,005045839 | 0,006 | 0,005050658 | ||
1,41421 | 0,005049374 | 0,0053 | 0,005050640 | ||
1,414214 | 0,005050789 | 0,00502 | 0,005050633 | ||
1,4142136 | 0,005050647 | 0,005048 | 0,005050634 | ||
1,41421356 | 0,005050633 | 0,0050508 | 0,005050634 | ||
1,414213562 | 0,005050634 | 0,00505066 | 0,005050634 | ||
1,4142135624 | 0,005050634 | 0,005050632 | 0,005050634 | ||
1,41421356237 | 0,005050634 | 0,005050634 | 0,005050634 |
Пример 2.
вариант 1.
Свойство:
N=20, вариант 2
N=200, вариант2'.
N | En –вариант 1 | En –вариант 2 | En –вариант 2' |
0,632120559 | 0,632120559 | 0,632120559 | |
0,367879441 | 0,367879441 | 0,367879441 | |
0,264241118 | 0,264241118 | 0,264241118 | |
0,207276647 | 0,207276647 | 0,207276647 | |
0,170893412 | 0,170893412 | 0,170893412 | |
0,145532941 | 0,145532941 | 0,145532941 | |
0,126802357 | 0,126802357 | 0,126802357 | |
0,112383504 | 0,112383504 | 0,112383504 | |
0,100931967 | 0,100931967 | 0,100931967 | |
0,091612293 | 0,091612293 | 0,091612293 | |
0,083877070 | 0,083877070 | 0,083877070 | |
0,077352229 | 0,077352229 | 0,077352229 | |
0,071773248 | 0,071773254 | 0,071773254 | |
0,066947780 | 0,066947703 | 0,066947703 | |
0,062731080 | 0,062732162 | 0,062732164 | |
0,059033794 | 0,059017565 | 0,059017541 | |
0,055459302 | 0,055718954 | 0,055719346 | |
0,057191871 | 0,052777778 | 0,052771119 | |
-0,029453671 | 0,05 | 0,050119855 | |
1,559619744 | 0,05 | 0,047722756 | |
-30,19239489 | 0,045544884 |
Пример 3. Численное дифференцирование
,
Основные понятия теории погрешности
Опр.1 Приближенным числом a называется число, незначительно отличающееся от точного A и заменяющего последнее в вычислениях.
|
Опр.2 Абсолютной погрешностью ∆ приближенного числа a называется
Опр. 3 Вместо неизвестной теоретической абсолютной погрешности ∆ используют так называемую предельную абсолютную погрешность, определяемую как величина ∆a, обладающую свойством
Очевидно
Краткая запись: A=a ± ∆a
Пример 4. Для a=3,14, заменяющего число π имеем 3,14<π<3,15 и ∆a=0,01.
Если учесть, что 3,14<π<3,142, то ∆a=0,002.
Опр.5 Относительной погрешностью δ приближенного числа a называется величина
Опр.6 Предельная относительная погрешность δa удовлетворяет соотношению
Δ ≤ δa·| A |
Тогда
Очевидно
Пример 5. Пусть x=100 км, ∆x=10 м;
y=10 см, ∆y=1мм; z=500 г, ∆z=5 г.
Пусть
тогда, все n сохраняемых десятичных знаков числа называются значащими цифрами приближенного числа a.
Пример 6. a=3·10-2+0·10-3+5·10-4+2·10-5+0·10-6,
a= 0, 0 30520
Опр.7 Значащей цифрой приближенного числа называется всякая цифра в его десятичном изображении, отличная от нуля, и нуль, если он содержится между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда
Экспоненциальная форму представления числа:
a=3.0520·10-2.
Опр.8а. Говорят, что n первых значащих цифр приближенного числа являются верными в узком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда, выражаемой n-ой значащей цифрой считая слева направо.
Пример 7а. Пусть A=39,98 и a=40,00, тогда
и a=40,0 или a=4,00·101
Пример 7б. Пусть a=23.642(±0.015), тогда
То есть, предположительно верными в узком смысле являются цифры 2,3,6. Округлим до десятых долей, получим a1=23.6 и Δокр=0.042. Тогда
Следовательно, предположительно верными в узком смысле являются цифры 2 и 3. Округлим до целых, получим a2=24 и Δокр=0.358. Тогда
и значит верными являются цифры 2 и 4.
Пример 8а. Пусть в числе a=2,347·10-4 все значащие цифры являются верными в узком смысле, то
|
∆a≤(0,5·10-3)·10-4=0,5·10-7.
Опр.8б. Говорят, что n первых значащих цифр приближенного числа являются верными в широком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превышает единицу разряда, выражаемой n-ой значащей цифрой считая слева направо.
Пример 7в. Пусть a=23.642(±0.015), тогда
То есть, предположительно верными в широком смысле являются цифры 2,3,6. Округлим отбрасыванием до десятых долей, получим a1=23.6 и Δокр=0.042. Тогда
и значит верными в широком смысле являются цифры 2, 3 и 6.
Пример 8б. Пусть в числе a=2,347·10-4 все значащие цифры являются верными в широком смысле, то
∆a≤(10-3)·10-4=10-7.
Литература
1. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. Издание 7-ое. М., Лань, 2009 – с.17-52.
2. Андреева Е.В., Босова Л.Л., Фалина И.Н. Математические основы информатики. Учебное пособие. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2007 – с.74-88.
Лекция 1. Теория погрешности
Виды погрешностей вычислительного эксперимента:
1. Погрешность математической модели.
2. Погрешность исходных данных.
3. Погрешность численного метода (дискретизации).
4. Погрешность вычислений.
Три простых примера
Пример 1.
,
,
(1)
(2)
(3)
№ строки |
| Формула 1 | Формула 2 | Формула 3 | |
1,4 | 0,005076142 | ||||
1,41 | 0,003558719 | 0,3 | 0,005058169 | ||
1,414 | 0,004975124 | 0,02 | 0,005051015 | ||
1,4142 | 0,005045839 | 0,006 | 0,005050658 | ||
1,41421 | 0,005049374 | 0,0053 | 0,005050640 | ||
1,414214 | 0,005050789 | 0,00502 | 0,005050633 | ||
1,4142136 | 0,005050647 | 0,005048 | 0,005050634 | ||
1,41421356 | 0,005050633 | 0,0050508 | 0,005050634 | ||
1,414213562 | 0,005050634 | 0,00505066 | 0,005050634 | ||
1,4142135624 | 0,005050634 | 0,005050632 | 0,005050634 | ||
1,41421356237 | 0,005050634 | 0,005050634 | 0,005050634 |
Пример 2.
вариант 1.
Свойство:
N=20, вариант 2
N=200, вариант2'.
N | En –вариант 1 | En –вариант 2 | En –вариант 2' |
0,632120559 | 0,632120559 | 0,632120559 | |
0,367879441 | 0,367879441 | 0,367879441 | |
0,264241118 | 0,264241118 | 0,264241118 | |
0,207276647 | 0,207276647 | 0,207276647 | |
0,170893412 | 0,170893412 | 0,170893412 | |
0,145532941 | 0,145532941 | 0,145532941 | |
0,126802357 | 0,126802357 | 0,126802357 | |
0,112383504 | 0,112383504 | 0,112383504 | |
0,100931967 | 0,100931967 | 0,100931967 | |
0,091612293 | 0,091612293 | 0,091612293 | |
0,083877070 | 0,083877070 | 0,083877070 | |
0,077352229 | 0,077352229 | 0,077352229 | |
0,071773248 | 0,071773254 | 0,071773254 | |
0,066947780 | 0,066947703 | 0,066947703 | |
0,062731080 | 0,062732162 | 0,062732164 | |
0,059033794 | 0,059017565 | 0,059017541 | |
0,055459302 | 0,055718954 | 0,055719346 | |
0,057191871 | 0,052777778 | 0,052771119 | |
-0,029453671 | 0,05 | 0,050119855 | |
1,559619744 | 0,05 | 0,047722756 | |
-30,19239489 | 0,045544884 |
Пример 3. Численное дифференцирование
|
,
Основные понятия теории погрешности
Опр.1 Приближенным числом a называется число, незначительно отличающееся от точного A и заменяющего последнее в вычислениях.
Опр.2 Абсолютной погрешностью ∆ приближенного числа a называется
Опр. 3 Вместо неизвестной теоретической абсолютной погрешности ∆ используют так называемую предельную абсолютную погрешность, определяемую как величина ∆a, обладающую свойством
Очевидно
Краткая запись: A=a ± ∆a
Пример 4. Для a=3,14, заменяющего число π имеем 3,14<π<3,15 и ∆a=0,01.
Если учесть, что 3,14<π<3,142, то ∆a=0,002.
Опр.5 Относительной погрешностью δ приближенного числа a называется величина
Опр.6 Предельная относительная погрешность δa удовлетворяет соотношению
Δ ≤ δa·| A |
Тогда
Очевидно
Пример 5. Пусть x=100 км, ∆x=10 м;
y=10 см, ∆y=1мм; z=500 г, ∆z=5 г.
Пусть
тогда, все n сохраняемых десятичных знаков числа называются значащими цифрами приближенного числа a.
Пример 6. a=3·10-2+0·10-3+5·10-4+2·10-5+0·10-6,
a= 0, 0 30520
Опр.7 Значащей цифрой приближенного числа называется всякая цифра в его десятичном изображении, отличная от нуля, и нуль, если он содержится между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда
Экспоненциальная форму представления числа:
a=3.0520·10-2.
Опр.8а. Говорят, что n первых значащих цифр приближенного числа являются верными в узком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда, выражаемой n-ой значащей цифрой считая слева направо.
Пример 7а. Пусть A=39,98 и a=40,00, тогда
и a=40,0 или a=4,00·101
Пример 7б. Пусть a=23.642(±0.015), тогда
То есть, предположительно верными в узком смысле являются цифры 2,3,6. Округлим до десятых долей, получим a1=23.6 и Δокр=0.042. Тогда
Следовательно, предположительно верными в узком смысле являются цифры 2 и 3. Округлим до целых, получим a2=24 и Δокр=0.358. Тогда
и значит верными являются цифры 2 и 4.
|
Пример 8а. Пусть в числе a=2,347·10-4 все значащие цифры являются верными в узком смысле, то
∆a≤(0,5·10-3)·10-4=0,5·10-7.
Опр.8б. Говорят, что n первых значащих цифр приближенного числа являются верными в широком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превышает единицу разряда, выражаемой n-ой значащей цифрой считая слева направо.
Пример 7в. Пусть a=23.642(±0.015), тогда
То есть, предположительно верными в широком смысле являются цифры 2,3,6. Округлим отбрасыванием до десятых долей, получим a1=23.6 и Δокр=0.042. Тогда
и значит верными в широком смысле являются цифры 2, 3 и 6.
Пример 8б. Пусть в числе a=2,347·10-4 все значащие цифры являются верными в широком смысле, то
∆a≤(10-3)·10-4=10-7.
|
|
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!