Пересечение прямой с поверхностью

Алгоритм определения точек пересечения прямой с поверхностью является общим для всех видов поверхностей:

1) заданную прямую заключают во вспомогательную (как правило проецирующею) плоскость;

2) строится линия пересечения поверхности со вспомогательной плоскостью;

3) определяются точки встречи, заданной прямой с поверхностью как точки пересечения заданной прямой с построенной линией пересечения.

Геометрическая интерпретация этого алгоритма показана на примере определения точек пересечения прямой l с конусом – рис. 106.

Рис. 106

На рис. 91 прямая l заключается во вспомогательную плоскость δ. Точки пересечения М и N прямой с линией сечения плоскости и поверхности являются точками встречи, заданной прямой с поверхностью.

Рассмотрим пример определения точек встречи на эпюре прямой l с конусом (рис. 107).

Рис. 107

1. Прямая l заключается во фронтально-проецирующею плоскость δ. Следовательно, вырожденная проекция этой плоскости δ₂ совпадет с фронтальными проекциями прямой l ₂и линии сечения плоскости с конусом.

2. По вышерассмотренной методике строится горизонтальная проекция линии пересечения вспомогательной плоскости с конусом. На рис. 107 для построения этой линии использованы опорные точки 1,2,3,4 и промежуточные 5, 6.

3. Точки пересечения М ₁ и N ₁ проекции прямой l ₁ с горизонтальной проекцией линией пересечения являются горизонтальными проекциями точек встречи прямой с конусом.

4. Недостающие фронтальные проекции М ₂ и N ₂ определяются по принадлежности точек М и N прямой l.

5. Для определения видимости проекций прямой относительно конуса используется положение этих точек относительно очерковых линий.

12.4. Контрольные вопросы

1. Какие формы сечений образуются при пересечении многогранника секущей плоскостью?

2. Какие формы сечений образуются при пересечении цилиндра секущей плоскостью?

3. Какие формы сечений образуются при пересечении конуса секущей плоскостью?

4. Какие формы сечений образуются при пересечении сферы секущей плоскостью?

5. Какие точки называются опорными и промежуточными при построении сечения?

6. Как строится линия сечения поверхности проецирующей плоскостью?

7. Какой принцип лежит в основе определения точек встречи прямой с поверхностью?

8. Каков алгоритм решения задач по определению точек встречи прямой с поверхностью?

9. Как определяется на эпюре видимость прямой относительно поверхности?

 

 

Лекция 13. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

13.1. Общие сведения.

13.2. Пересечение многогранников.

13.3. Пересечение многогранника с поверхностью второго рода.

13.4. Контрольные вопросы.

 

Общие сведения

При решении задачи по пересечению поверхностей прежде всего необходимо определить характер линии пересечения, который зависит от вида пересекающихся поверхностей и их взаимного расположения.

В данном разделе рассматриваются только три основных случая пересекающихся поверхностей:

– пересечение многогранников;

– пересечение многогранника с поверхностью второго рода;

– пересечение поверхностей второго рода.

В каждом из этих случаев для определения линии пересечения поверх­ностей применяются свои способы и приемы ее построения, но суть их общая и сводится к следующему (рис. 108): обе заданные поверхности пересекают вспомогательной поверхностью или плоскостью-посредником а. Затем находят линии пересечения каждой из поверхностей с посредником b* и b. Точки пересечения этих линий М и N составят линию пересечения поверхностей.

Рис. 108

В качестве посредников выбирают удобно расположенные плоскости (общего положения, проецирующие плоскости, плоскости уровней) или поверхности (сферические, цилиндрические, конические и т.д.).

Следует отметить, что этот прием не используется при определении линии пересечения многогранников.

Пересечение многогранников

По своей форме линия пересечения многогранников будет замкнутая пространственная ломаная, состоящая из отрезков прямых, по которым пересекаются плоскости граней. Точки излома будут принадлежать ребрам многогранников.

Рассмотрим построение линии пересечения на примере шестигранной пирамиды SKLMNPR с трехгранной призмой ABCDEF (рис. 109).

Рис. 109

Для ее построения необходимо выделить ребра и грани, участвующие в пересечении. Здесь это ребра пирамиды (SK, SL, SM, SN, SP, SR) и грани призмы (ABFE, EFCD). Кроме того, следует отметить, что ребра SK и SN пирамиды пересекаются только с ребром EF призмы.

Определение положения точек излома сводится к определению положения точек встречи прямых с плоскостями (точки 1,2,4 и 5) и точек пересечения пересекающихся прямых (точки 3 и 6). В первом случае за плоскости принимают грани призмы, а за прямые – ребра пирамиды, через которые проводится вспомогательная проецирующая плоскость-посредник а.

Во втором случае за прямые принимают пересекающиеся ребра многогранников.

При определении положения точек излома целесообразно выбирать направление их обхода по часовой или против часовой стрелки (в примере – по часовой стрелке), что позволяет избежать ошибок в построениях.

Видимость линии пересечения определяется с помощью конкурирующих точек.