Определение точки встречи прямой с плоскостью

Определение точки встречи прямой общего положения с плоскостью общего положения.

Рис. 67

Эта позиционная задача (как и большинство других позиционных задач) решается с помощью вспомогательной плоскости. Пусть задана прямая n общего положения и плоскость α общего положения. Необходимо найти их точку пересечения К (рис. 67). Задача решается в следующей последовательности.

1. Заданная прямая n заключается во вспомогательную плоскость β: n Ì β.

2. Строится прямая l пересечения заданной плоскости α со вспомогательной плоскостью β: l (12)= α∩β.

3. Построенная прямая 12 и заданная прямая n лежат в одной плоскости β, а значит будут пересекаться между собой: K=l∩n. Их общая точка K является общей для прямой n и плоскостей и β, а значит, является искомой точкой пересечения прямой n и плоскостиα.

В качестве вспомогательной плоскости чаще всего используют проецирующие плоскости.

Рассмотрим пример решения задачи на комплексном чертеже (рис. 68).

Рис. 68

Заключаем прямую n во вспомогательную горизонтально проецирующую плоскость β, которую зададим горизонтальным следом β₁ (горизонтальная проекция плоскости). Причем след β₁ должен совпадать с горизонтальной проекцией прямой n ₁. Далее находим прямую l пересечения вспомогательной плоскости β с заданной плоскостью α. Сторона АВ пересекается с плоскостью β в точке 1, а сторона АС – в точке 2. Сначала отмечаем горизонтальные проекции точек 1₁ и 2₁, а затем с помощью вертикальных линий связи находим фронтальные проекции точек 1₂ и 2₂ соответственно на фронтальных проекциях сторон треугольника А ₂ В ₂ и А ₂ С ₂. Таким образом, плоскости пересекаются по прямой l (12). Теперь можно определить фронтальную проекцию К ₂ искомой точки. Она будет являться точкой пересечения фронтальных проекций построенной прямой l (1₂2₂) и заданной прямой n ₂. Горизонтальная проекция К ₁ определяется с помощью вертикальной линии связи на горизонтальной проекции прямой n ₁.

Затем нужно определить видимость прямой n относительно плоскости α. Для определения видимости на необходимо воспользоваться горизонтально конкурирующими точками 2 и 3 (точка 2 лежит на стороне АС треугольника, а точка 3 – на прямой n). Видимость прямой на π₂ определяем с помощью фронтально конкурирующих точек 4 и 5 (точка 5 лежит на стороне ВС, а точка 4 – на прямой n). Направление взгляда при определении видимости проекций конкурирующих точек на эпюре показана символом (⇩).

Определение точки встречи прямой общего положения с проецирующей плоскостью.

Постановка задачи. Пусть задана горизонтально-проецирующая плоскость α треугольником ∆ АВС и прямая n общего положения (рис. 69). Необходимо определить точку встречи К прямой n с плоскость α: К =n ∩ α.

Решение. Проекция точки встречи К ₁ прямой n с плоскостью α однозначно определяется как точка пересечения горизонтальной проекции плоскости (вырожденной в прямую) с одноименной проекцией прямой: К ₁= l ₁ ∩ α₁(∆ A ₁ B ₁ C ₁).

Рис. 69

Недостающая фронтальная проекция точки встречи К ₂ находится по принадлежности точка К прямой n: К Ì n => К ₁ Ì n ₁.

Видимость прямой n относительно плоскости α определяется только для фронтальной плоскости проекций, т.к. на π ₁ обе проекции видны. Видимость определяется с помощью фронтально конкурирующих точек 1 и 2 (точка 2 лежит на стороне ВС треугольника, а точка 1 – на прямой n). Направление взгляда при определении видимости проекций конкурирующих точек на эпюре показана символом (⇧).

В задачах, где используется фронтально-проецирующая пло­скость, при определении точки встречи последовательность решения аналогична выше указанному, только в них известной является фронтальная проекция искомой точки.

Определение точки встречи проецирующей прямой с плоскостью общего положения.

Постановка задачи. Пусть задана горизонтально-проецирующая прямая n (рис. 70) и плоскость общего положения α(∆ АВС). Необходимо определить точку встречи К прямой n с плоскость α: К =n ∩α.

Решение. Очевидно проекция точки встречи К ₁ прямой с плоскостью α совпадает с вырожденной проекцией прямой n ₁: К ₁ ≡ n ₁: Учитывая то, что точка К принадлежит плоскости α, то задача сводится к определению недостающей проекции точки принадлежащей плоскости. Для этого, вначале, через вырожденную проекцию n ₁ проводится проекция вспомогательной прямой l ₁ в предположении, что эта прямая l принадлежит плоскости α: l Ì α => l ₁ Ì α₁. Затем, достраивается недостающая фронтальная проекция этой прямой l ₂. Точка пересечения фронтальных проекций заданной n ₂ и вспомогательной l ₂ прямых является искомой проекцией точки встречи К ₂.

Видимость прямой n относительно плоскости αопределяется только для фронтальной плоскости проекций, т.к. на π ₁ обе проекции видны. Видимость определяется с помощью фронтально конкурирующих точек 2 и 3 (точка 2 лежит на стороне АС треугольника, а точка 3 – на прямой n). Направление взгля­да при определении видимости про­екций конкурирующих точек на эпюре показана символом (⇧).

Рис. 70

В задачах, где используется фронтально-проецирующая прямые, при определении точки встречи последовательность решения аналогична выше указанному, только в них известной является фронтальная проекция искомой точки.

7.4. Контрольные вопросы

1. Какие прямые относятся к главным линиям плоскости?

2. Какая прямая называется горизонталью плоскости и как она строится на эпюре?

3. Какая прямая называется фронталью плоскости и как она строится на эпюре?

4. Какая прямая называется линией наибольшего ската плоскости и как она строится на эпюре?

5. Какая прямая называется линией наибольшего наклона плоскости и как она строится на эпюре?

6. Как строится линия пересечения плоскости общего положения проецирующей плоскостью?

7. Можно ли провести проецирующую плоскость через прямую общего положения?

8. Как определяются точки встречи прямой общего положения с плоскостью общего положения?

9. Как определяется видимость на эпюре прямой относительно плоскости?

10. Как определяются точки встречи проецирующей прямой с плоскостью общего положения?

11. Как определяются точки встречи прямой общего положения с плоскостью частного положения?