Делимость натуральных чисел. Свойства делимости

Как уже отмечалось, натуральное число а делится нацело на натуральное число b, если существует натуральное число с, при умножении которого на b получается а:

а = с∙b.

Слово «нацело» обычно опускают – для краткости.

Если а делится на b, то говорят еще, что а кратно b. Например, число 48 кратно числу 24.

Теорема 1. Если один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

Например, 15 делится на 3, значит, и 15∙11 делится на 3, потому что 15∙11=(3∙5)∙11=3∙(5∙11).

Эти рассуждения подходят и для общего случая. Пусть число а делится на с, тогда найдется такое натуральное число n, что a = n∙c. Рассмотрим произведение числа а и произвольного натурального числа b. a∙b = n∙(c∙b) =
= n∙(b∙c) = (n∙b)∙c. Отсюда, по определению, вытекает, что произведение a∙b тоже делится на с. Что и требовалось доказать.

Теорема 2. Если первое число делится на второе, а второе делится на третье, то первое число делится на третье.

Например, 777 делится на 111, потому что 777=7∙111, а 111 делится на 3, потому что 111 = 3∙37. Из этого следует, что 777 делится на 3, так как 777 = 3∙(37∙7).

В общем случае эти рассуждения можно повторить почти дословно. Пусть число а делится на число b, а число b делится на число с. Это означает, что найдутся такие натуральные числа n и m, что a = n∙b и b = m∙c. Тогда число а можно представить в виде: а = n∙b = n∙(m∙c) = (n∙m)∙c. Равенство а = (n∙m)∙c означает, что число а тоже делится на с.

Теорема 3. Если каждое из двух чисел делится на некоторое число, то их сумма и разность делятся на это число.

Например, 100 делится на 4, потому что 100=25∙4; 36 тоже делится на 4, потому что 36 = 9∙4. Из этого следует, что 136 делится на 4, потому что

136 = 100+ 36 = 25∙4+ 9∙4 = (25+ 9)∙4 = 34∙4.

Можно также заключить, что число 64 делится на 4, потому что

64 = 100 – 36 = 25∙4 – 9∙4 =(25 – 9)∙4= 16∙4.

Докажем теорему в общем случае. Пусть каждое из чисел а и b делится на число с. Тогда, по определению, найдутся такие натуральные числа n и m, что
а = n∙c и b = m∙c. Рассмотрим сумму чисел а и b.

a + b = n∙c + m∙c = (n + m)∙c.

Отсюда следует, что а + b делится на с.

Аналогично, а – b = n∙c – m∙c = (n – m)∙c. Следовательно, а – b делится на с.

Теорема 4. Если одно из двух чисел делится на некоторое число, а другое на него не делится, то их сумма и разность не делятся на это число.

Например, 148 делится на 37, потому что 148 = 4∙37, а 11 не делится на 37. Очевидно, что сумма 148 + 11 и разность 148 – 11 не делятся на 37, иначе это противоречило бы свойству 3.

 

Признаки делимости

Если число оканчивается цифрой 0, то оно делится на 10.

Например, число 4560 оканчивается цифрой 0, его можно представить в виде произведения 456∙10, которое делится на 10 (по теореме 1).

Число 4561 не делится на 10, потому что 4561 = 4560+1 – сумма числа 4560, делящегося на 10, и числа 1, не делящегося на 10 (по теореме 4).

Если число оканчивается одной из цифр 0 или 5, то оно делится на 5.

Например, число 2300 делится на 5, потому что это число делится на 10, а 10 делится на 5 (по теореме 2).

Число 2305 оканчивается цифрой 5, оно делится на 5, так как его можно записать в виде суммы чисел, делящихся на 5: 2300 + 5 (по теореме 3).

Число 52 не делится на 5, потому что 52 = 50 + 2 – сумма числа 50, делящегося на 5, и числа 2, не делящегося на 5 (по теореме 4).

Если число оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8, то оно делится на 2.

Например, число 130 оканчивается цифрой 0, оно делится на 10, а 10 делится на 2, следовательно, 130 делится на 2.

Число 136 оканчивается цифрой 6, оно делится на 2, так как его можно записать в виде суммы чисел, делящихся на 2: 130 + 6 (по теореме 3).

Число 137 не делится на 2, потому что 137 = 130 + 7 – сумма числа 130, делящегося на 2, и числа 7, не делящегося на 2 (по теореме 4).

Число, делящееся на 2, называют четным.

Число, не делящееся на 2, называют нечетным.

Например, числа 152 и 790 – четные, а числа 111 и 293 – нечетные.

Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9.

Например, сумма цифр 7 + 2 + 4 + 5 = 18 числа 7245 делится на 9. Число 7245 делится на 9, потому что его можно представить в виде суммы 7∙1000 +
+ 2∙100 + 4∙10 + 5 = 7 (999 + 1) + 2∙(99 + 1) + + 4∙(9 + 1) + 5 = (7∙999 + 2∙99 +
+ 4∙9) + (7 + 2 + 4 + 5), где сумма в первых скобках делится на 9, а во вторых скобках – сумма цифр данного числа – также делится на 9 (по теореме 3).

Число 375 не делится на 9, так как сумма его цифр 3 + 7 + 5=15 не делится на 9 Это можно доказать следующим образом: 375 = 3∙(99 + 1) + 7∙(9+1) + 5 =
+ (3∙99 + 7∙9) + (3 + 7 + 5), где сумма в первых скобках делится на 9, а во вторых скобках – сумма цифр числа 375 – не делится на 9 (по теореме 4).

Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3.

Например, у числа 375 сумма цифр 3 + 7 + 5=15 делится на 3, и оно само делится на 3 потому, что 375 = (3∙99 + 7∙9) + (3 + 7 + 5), где сумма в первых скобках делится на 3, а во вторых скобках – сумма цифр числа 375 – также делится на 3.

Сумма цифр числа 679, равная 6 + 7 + 9 = 22, не делится на 3, и само число не делится на 3, потому что 679 = (6∙99 + 7∙9) + (6 + 7 + 9), где сумма в первых скобках делится на 3, а во вторых скобках – сумма цифр числа 679 – не делится на 3.

Примечание. Когда говорят «число оканчивается цифрой...» имеют в виду «десятичная запись числа заканчивается цифрой...»

 

Простые и составные числа

Каждое натуральное число р делится на 1 и само на себя:

р:1=р, р:р=1.

Простым числом называют такое натуральное число, которое больше единицы и делится только на 1 и само на себя.

Вот первые десять простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Непростые натуральные числа, большие единицы, называют составными. Каждое составное число делится на 1, само на себя и еще хотя бы на одно натуральное число.

Вот все составные числа, меньшие 20:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18.

Принято считать, что единица не является ни простым, ни составным числом.

Таким образом, множество всех натуральных чисел состоит из простых чисел, составных чисел и единицы.

Простых чисел бесконечно много, есть первое число – 2, но нет последнего простого числа.

 

Делители натурального числа

Если натуральное число а делится на натуральное число b, то число b называют делителем числа а.

Например, делителями числа 13 являются числа 1 и 13, делителями числа 4 – числа 1, 2, 4, а делителями числа 12 – числа 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Каждое простое число имеет только два делителя – единицу и само себя, а каждое составное число, кроме единицы и себя, имеет и другие делители.

Если делитель – простое число, то его называют простым делителем. Например, число 13 имеет простой делитель 13, число 4 – простой делитель 2, а число 12 – простые делители 2 и 3.

Каждое составное число можно представить в виде произведения его простых делителей. Например,

28 = 2∙2∙7 = 2²∙7;

22 = 2∙11;

81 = 3∙3∙3∙3 = З⁴;

100 = 2∙2∙5∙5 = 2²∙5².

Правые части полученных равенств называют разложением на простые множители чисел 28, 22, 81 и 100.

Разложить данное составное число на простые множители – значит представить его в виде произведения различных его простых делителей или их степеней.

Покажем, как можно разложить число 90 на простые множители.

1) 90 делится на 2, 90:2 = 45;

2) 45 не делится на 2, но делится на 3, 45:3= 15;

3) 15 делится на 3, 15:3 = 5;

4) 5 делится на 5, 5:5 = 1.

Таким образом, 90 = 2∙45 = 2∙3∙15 = 2∙3∙3∙5.

 

Наибольший общий делитель

Число 12 имеет делители 1, 2, 3, 4, 12. Число 54 имеет делители 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54. Мы видим, что числа 12 и 54 имеют общие делители 1, 2, 3, 6.

Наибольшим общим делителем чисел 12 и 54 является число 6.

Наибольший общий делитель чисел а и b обозначают: НОД (а, b).

Например, НОД (12, 54) = 6.

 

Наименьшее общее кратное

Число, делящееся на 12, называется кратным числу 12. Числу 12 кратны числа 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108 и т.д. Числу 18 кратны числа 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126 и т. д.

Мы видим, что имеются числа, кратные одновременно 12 и 18. Например, 36, 72, 108,.... Эти числа называются общими кратными чисел 12 и 18.

Наименьшим общим кратным натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное число, делящееся нацело на а и b. Это число обозначают: НОК (а, b).

Наименьшее общее кратное двух чисел обычно находят одним из двух способов. Рассмотрим их.

Найдем НОК(18, 24).

I способ. Будем выписывать числа, кратные 24 (большему из данных чисел), проверяя, делится ли каждое из них на 18: 24∙1=24 – не делится на 18, 24∙2 = 48 – не делится на 18, 24∙3 = 72 – делится на 18, поэтому НОК (24, 18) =
= 72.

II способ. Разложим числа 24 и 18 на простые множители: 24 = 2∙2∙2∙3,
18 = 2∙3∙3.

НОК(24, 18) должно делиться и на 24, и на 18. Поэтому искомое число содержит все простые делители большего числа 24 (т. е. числа 2, 2, 2, 3) и еще недостающие множители из разложения меньшего числа 18 (еще одно число 3). Поэтому НОК(18, 24) = 2∙2∙2∙3∙3 = 72.

Так как взаимно простые числа не имеют общих простых делителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел. Например, 24 и 25 – взаимно простые числа. Поэтому НОК (24, 25) = 24∙25 = 600.

Если одно из двух чисел делится нацело на другое, то наименьшее общее кратное этих чисел равно большему из них. Например, 120 делится нацело на 24, следовательно, НОК (120, 24)= 120.

 

Целые числа [2]

 

Напоминание. Числа, которые используют при подсчете количества предметов, называют натуральными числами. Нуль не считается натуральным числом. Натуральные числа и нуль, записанные в порядке возрастания и без пропусков, образуют ряд целых неотрицательных чисел:

В этой разделе будут введены новые числа – целые отрицательные.

 

Целые отрицательные числа

Базовый пример из жизни – термометр. Предположим, он показывает температуру 7° тепла. Если температура понизится на 4°, то термометр будет показывать 3° тепла. Уменьшению температуры соответствует действие вычитания: 7 – 4 = 3. Если температура понизится на 7°, то термометр покажет 0°: 7 – 7 = 0.

Если же температура понизится на 8°, то термометр покажет –1° (1° мороза). Но результат вычитания 7 – 8 нельзя записать с помощью натуральных чисел и нуля, хотя он имеет реальный смысл.

Отсчитать в ряду неотрицательных целых чисел от числа 7 влево 8 чисел нельзя. Чтобы действие 7 – 8 стало выполнимым, расширим ряд неотрицательных целых чисел. Для этого влево от нуля запишем (справа налево) по порядку все натуральные числа, добавляя к каждому из них знак «–», показывающий, что это число стоит слева от нуля.

Записи –1, –2, –3,... читают «минус 1», «минус 2», «минус 3» и т. д.:

–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,....

Полученный ряд чисел называют рядом целых чисел. Точки слева и справа в этой записи означают, что ряд можно продолжать неограниченно вправо и влево.

Справа от числа 0 в этом ряду расположены числа, которые называют натуральными или целыми положительными.