Уравнения в полных дифференциалах

Пусть Р = Р (х, у) и Q = Q (х, у) – непрерывные функции. Уравнение вида

P dx + Q dy = 0 (10)

называется уравнением в полных дифференциалах, если

= .

Уравнение (10) тогда и только тогда является уравнением в полных дифференциалах, когда существует функция U = U (х, у) такая, что

dU = P dx + Q dy,

т.е.

= P, = Q. (11)

Общий интеграл уравнения (10) имеет вид

U (х, у) = С.

 

ЗАДАЧИ

1. Решить дифференциальные уравнения. Найти частный интеграл, если заданы начальные

условия:

 

1.1. 2 x cos² y dx + (2 y – x ²sin 2 y) dy = 0.

 

Р е ш е н и е. Здесь P = 2 x cos² y, Q = 2 y – x ²sin 2 y.

= –4 x cos y sin y = –2 x sin 2 y, = –2 x sin 2 y. = => исходное уравнение – уравнение в полных дифференциалах. Значит, существует функция U, такая, что

dU = 2 x cos² y dx + (2 y – x ²sin 2 y) dy.

Поэтому = 2 x cos² y. Отсюда U = = x ² cos² y + f (y), где функция f (y) зависит только от у (постоянна по отношению к х).

Дифференцируя найденную функцию по у, получим выражение

= – x ²sin 2 y + f ´ (y),

которое, согласно (11) можно приравнять к Q:

= – x ²sin 2 y + f ´ (y) = 2 y – x ²sin 2 y.

Отсюда f ´ (y) = 2 y и f (y) = у ² – С. Т.о., U = x ² cos² y + у ² – С.

Окончательно получаем, что общий интеграл исходного уравнения равен x ² cos² y + у ² = С.

1.2. (3 x ² + 2 у) dx + (2 x – 3) dy = 0.

 

1.3. (3 x ² y – 4 xу ²) dx + (x ³ – 4 x ² y + 12 y ³) dy = 0.

1.4. (x + ) dx + (1 – ) dy = 0, y (0) = 2.

 

3. Уравнения n -го порядка, допускающие понижение порядка

 

Надо знать 3 (три!) основных типов таких уравнений!

 

3.1. Решение дифференциального уравнения y ^{( n )} = f (x)

Для решения уравнения y ^{( n )} = f (x) сделаем замену

y ^{(n -1)} (x) = z (x), y ⁽ⁿ⁾ (x) = z´ (x).

Тогда

z´ (x) = f (x), = f (x), z (x) = + С ₁.

Но z (x) = y ^{( n -1)} (x). Следовательно,

y ^{( n -1)} (x) = + С ₁.

Повторяя эту операцию еще (n -1) раз, получим y (x).

 

ЗАДАЧИ

1. Решить дифференциальные уравнения. Найти частное решение (интеграл), если заданы начальные

условия:

 

1.1. y ⁽⁴⁾ (x) = sin x.

 

Р е ш е н и е. Проинтегрируем данное уравнение 4 раза:

= ,

y ´´´(x) = –cos x + C ₁,

= ,

y ´´(x) = –sin x + C ₁ x + C ₂,

y ´(x) = cos x + C ₁ + C ₂ x + C ₃,

y (x) = sin x + C ₁ + C ₂ + C ₃ x + C ₄.

 

1.2. xy ⁽⁴⁾ = 1.

 

1.3. y ⁽²⁰⁾ (x) = sin x.

1.4. y ´´= ; y = , y´ = 0.

1.5. y ´´´= ; y (1) = 2, y´ (1) = 1, y´´ (1) = 1.

 

3.2. Уравнения, не содержащие явно функцию y

Уравнение

y´´ = f (x, у´)

сводится к уравнению первого порядка с помощью замены y´ = z (x), y´´ = z´ (x).

 

ЗАДАЧИ

1. Решить дифференциальные уравнения. Найти частное решение (интеграл), если заданы начальные

условия:

 

1.1. x ² y´´ + x y´ = 1.

 

Р е ш е н и е. Уравнение не содержит явно функцию у. Сделав замену y´ = z (x), y´´ = z´ (x), получим

x ² z´ + x z = 1. (12)

Уравнение второго порядка перешло в линейное уравнение первого порядка, которое можно решить с помощью замены z = uv. Вначале приведем выражение (12) к виду y´ + p (x) y + q (x) = f (x) (делим правую и левую части на x ² (делить можно, т.к. х, очевидно, не является решением уравнения)):

z´ + z = . (13)

Имеем: z = uv, z´ = u´v + uv´.

Подставим эти выражения в (13) и получим

u´v + uv´ + uv = .

Отсюда: v (u´ + u) + uv´ = . (14)

Приравниваем выражение в скобках к нулю:

u´ + u = 0,

и находим u:

= – => ln| u | = ln => u = .

Подставляя его в (14), с учетом того, что выражение в скобках равно нулю, находим v:

v´ = => dv = => v = ln| C ₁ x |.

Отсюда z = ln| C ₁ x |.

Т.о., возвращаясь к начальной замене, имеем еще одно дифференциальное уравнение первого порядка

y´ = ln| C ₁ x |,

решая которое получим

y = = = ln²| C ₁ x | + C ₂.

1.2. x ² y´´ = (y´)².

1.3. 2 xy´y´´ = (y´)² – 1.

1.4. xy´´´ + y´´ = 1 + x.

1.5. xy´´´´ + y´´´ = e^x.

1.6. (1 + x ²) y ´´ – 2 xy´ = 0; y (0) = 0, y´ (0) = 3.

1.7. y ´´ = ; y (1) = , y´ (1) = 1.

 

3.3. Уравнения, не содержащие явно х

Уравнение

y´´ = f (у, у´)

с помощью замены

= p (y), = · = p´ p

сводится к уравнению первого порядка относительно функции p (y).

ЗАДАЧИ

1. Решить дифференциальные уравнения. Найти частное решение (интеграл), если заданы начальные

условия:

 

1.1. y´´ + 2 у y´ = 0; у (0) = 2, у´ (0) = –4.

 

Р е ш е н и е. Уравнение не содержит явно переменную х. Сделав замену y´ = p, y´´ = p´ p, получим

уравнение первого порядка относительно p (y):

p´ p + 2 ур = 0, или p´ = –2 у.

Отсюда находим р:

= –2 у = – => p = – y ² + C ₁,

Следовательно,

y´ = – y ² + C ₁, (15)

Подставив в (15) начальные данные, получим:

–4 = –4 + C ₁ => C ₁ = 0.

Отсюда

y´ = – y ² => = dx = x + C ₂ => y = .

Подставляем сюда начальные данные:

2 = => C ₂ = .

Таким образом, частное решение имеет вид

y = .

1.2. y y´´ + (y´)² = 0.

1.3. y ³ y´´ = 1; y = 1, y´ = 1.

1.4. y ´´ – (y´)² + y´ (y – 1) = 0; y (0) = 2, y´ (0) = 2.

 

 

4. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами

Общие положения

Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида

 

y ⁽ⁿ⁾ + p ₁(x) y ^{(n- 1)} + p ₂(x) y ^{(n- 2)} + … + p_{n- 1}(x) y´ + p_n (x) y = q (x),

где p ₁(x), p ₂(x), …, p_n (x), q (x) – непрерывные функции.

При q (x) = 0 оно называется однородным, а при q (x) ≠ 0 – неоднородным.

Общее решение линейного однородного уравнения имеет вид

у _общ = ,

где v_i (x), i = 1, 2, …, n – линейно независимая система решений.

Общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид

у _общ = + у ⃰,

где v_i (x), i = 1, 2, …, n – линейно независимая система решений, соответствующая линейному

однородному уравнению;

у ⃰ – частное решение неоднородного уравнения.

Линейно независимая система решений v ₁, v ₂, …, v_n линейного однородного уравнения называется фундаментальной системой решений.

 

Наложение решений. Если правая часть линейного неоднородного уравнения

y ⁽ⁿ⁾ + p ₁(x) y ^{(n- 1)} + p ₂(x) y ^{(n- 2)} + … + p_{n- 1}(x) y´ + p_n (x) y = q (х) и

представляет собой сумму двух функций

q (x) = q ₁(x) + q ₂(x),

а у _ч1 и у _ч2 – частные решения уравнений

y ⁽ⁿ⁾ + p ₁(x) y ^{(n- 1)} + p ₂(x) y ^{(n- 2)} + … + p_{n- 1}(x) y´ + p_n (x) y = q ₁ (х) и

y ⁽ⁿ⁾ + p ₁(x) y ^{(n- 1)} + p ₂(x) y ^{(n- 2)} + … + p_{n- 1}(x) y´ + p_n (x) y = q ₂ (х)

соответственно, то функция у _ч = у _ч1 + у _ч2 является решением данного уравнения.