Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Топ:
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Дисциплины:
2017-09-10 | 374 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
1.Знать определения оригинала и изображения. Изображения некоторых функций.
2.Используя таблицу основных формул соответствия и теоремы операционного исчисления, уметь находить изображения оригиналов и оригиналы по их изображениям.
3.Уметь находить изображения дифференциального выражения.
4.Уметь находить операционным методом частные решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Задания для самостоятельного выполнения
1 Найти изображение F (p) по заданному оригиналу f (t):
а) ; б) ; в) .
2 Найти оригинал f (t) по изображению F (p):
а) ; б) ;
в) .
3 Найти изображение дифференциального выражения:
а) ;
б) ;
в) .
4 Операционным методом найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям.
а) ; б) .
Образцы решения заданий
Любая комплексная функция f (t) действительного переменного t называется оригиналом, если она удовлетворяет следующим условиям:
1) f (t) – кусочно–непрерывная при t ≥ 0, это значит, что она либо непрерывна, либо в каждом конечном интервале имеет лишь конечное число точек разрыва 1-го рода;
2) f (t) ≡ 0 при t < 0;
3) при t → ∞ функция f (t) растёт не быстрее некоторой показательной функции (имеет ограниченную степень роста), т.е. существует такое положительное число М и такое неотрицательное число s, что для всех t ≥ 0 выполняется неравенство:| f (t) | ≤ M ∙ est, М > 0, s ≥ 0.
Точная нижняя грань s тех значений s, для которых выполняется указанное условие, называется показателем ро ста функции f (t).
Изображением функции f (t) по Лапласу называется функция F (p) комплексного переменного p=s+i из некоторой области D плоскости комплексного переменного p, определяемая равенством
|
F (p) = .
Связь между функциями f (t)и F (p) будем обозначать в дальнейшем следующим образом: f (t) = L –1{ F (p)} или F (p) = L { f (t)}.
Первую запись следует читать так: «Оригинал f (t) имеет изображение F (p)». Вторую запись следует читать так: «Изображение F (p) имеет оригинал f (t)» или «f (t) является оригиналом изображения F (p)». Используются также и другие обозначения.
Свойства преобразования Лапласа
1 Теорема единственности. Если два изображения F (р) и Φ (р) совпадают, то совпадают между собой и соответствующие им оригиналы во всех точках, за исключением, быть может, точек разрыва. То есть, если
F (p) = L { f (t)}, Ф (p) = L {φ (t)} и F (p) ≡ Ф (p), то f (t) ≡ φ (t)
во всех точках непрерывности f (t).
2 Теорема линейности. Если f (t) = L –1{ F (p)}, g (t) = L –1{ G (p)} для любых действительных или комплексных постоянных с 1 и с 2
с 1 f (t) + с 2 g (t) = с 1 L –1{ F (p)} + с 2 L –1{ G (p)}, Re p > s 0( k ) (k = 1,2,)
т.е. линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений.
3. Теорема подобия. Если f (t) = L –1{ F (p)}, Re p > s 0, то для любого числа а > 0
f (аt) = L –1{ }, Re p > аs 0,
т.е. умножение аргумента оригинала на положительное число приводит к делению аргумента изображения и самого изображения на то же число а.
4. Теорема запаздывания. Если f (t) = L –1{ F (p)}, Re p > s 0, то для любого положительного числа τ
f (t – τ) = e– рτ L –1{ F (p)}, Re p > s 0.
5. Теорема о смещении изображения (затухания). Если
f (t) = L –1{ F (p)}, Re p > s 0, то для любого действительного или комплексного числа α
eαtf (t) = L –1{ F (р – α)}, Re (р – α) > s 0,
т.е. умножение оригинала на функцию eαt, влечёт за собой «смещение» переменной p.
6. Теорема дифференцирования оригинала. Если функции f(t), f (t), …, f (t) являются функциями-оригиналами, то
f / (t) = p L –1{ F (p)} – f (0),
f // (t) = p L –1{ F (p)} -p f ( 0) – f / (0),
…
f (t) = p L –1{ F (p)} – p f (0) – p f / (0) -…-f (0).
Величина f (0), k= 0, 1, …, n-1, понимается как f (t).
7. Теорема об интегрировании оригинала. Если функция f (t) является оригиналом и f (t) = L –1{ F (p)} то функция g (t) = также является оригиналом и g (t) = L –1{ F (p)}
|
т.е. интегрирование оригинала в пределах от 0 до t приводит к делению изображения на p.
На основании определений оригинала и изображения и основных свойств преобразований Лапласа можно составить таблицу основных формул соответствия (таблица 6. 1).
Таблица 6. 1 – Таблица основных формул соответствия
Номер формулы | Оригинал | Изображение |
eαt | ||
sin ω t | ||
cos ω t | ||
sh ω t | ||
ch ω t | ||
t | ||
tn | ||
tn ∙ eαt | ||
t ∙ sin ω t | ||
t ∙ cos ω t |
Задание 1. Найти изображение функции , используя основные свойства (теоремы) преобразования Лапласа.
Решение. Найдем изображение каждого из слагаемых функции . Из таблиц соответствия известно, что:
1 = L –1{ }.
По теореме об интегрировании оригинала имеем
.
Так как , то . Тогда по теореме о смещении изображения (затухания) получим
.
Применяя теорему подобия, находим
.
Для нахождения изображения функции применим теорему о дифференцировании изображения. Получим
.
Далее, применяя теорему линейности преобразования Лапласа, получим
= 2 L –1{ } + + + .
Следовательно,
.
Задание 2. Найти оригинал f (t) по изображению .
Решение. Используя табличные операционные соотношения и свойства линейности, получаем .
Задание 3. Найти изображение дифференциального выражения y (t) = L –1{ Y (p)}
Решение. На основании свойства дифференцирования оригинала получаем:
= p L –1{ Y (p)} – y (0),
Используя свойство линейности, находим
,
|
|
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!