Понятие числовой функции. Свойства функции

Пусть задано числовое множество Х. Правило, сопоставляющее каждому числу х из множества Х единственное действительное число у, называют

числовой функцией, заданной на множестве Х.

х- независимая переменная (аргумент);

у - зависимая переменная (функция).

Символическая запись функции имеет вид у = f(х)

Множество Х называется областью определения функции у и обозначается D(у). Е(у) - область (множество) значений функции у – множество всех значений переменной у, которые она принимает при всех допустимых значениях х.

Функция у = f(х) называется четной, если для любого значения х, взятого из области определения функции, значение -х также принадлежит области определения и выполняется равенство f(х) = f(-х).

Согласно определению, четная функция определена на мно­жестве, симметричном относительно начала координат. График четной функции симметричен относительно оси ординат (рис. 1).

Рис. 1. График четной функции

Примеры четных функций:

Функция у = f(х) называется нечетной, ес­ли для любого значения х, взятого из области определения функции, значение -х также принадлежит области опреде­ления и выполняется равенство f(x)= -f(x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 2).

Примеры нечетных функций:

 

Рис. 2. График нечетной функции

При построении графиков четных и нечетных функций доста­точно построить только правую ветвь графика — для положи­тельных значений аргумента. Левая ветвь достраивается симметрично относительно оси оy для четной функции и кососимметрично (т. е. симметрично относительно начала координат) для нечетной.

Конечно, большинство функций не являются ни четными, ни нечетными. Таковы, например, функции:

Функция у=f(х) называется периодической с периодом , если при всех значениях х из области её определения выполняются равенства .

Если Т – период функции, то при любом \ число также является периодом функции.

Наименьший положительный период функции называется её основным периодом.

Сумма, разность, произведение и частное двух функций, имеющих период Т, обладает тем же периодом.

Сумма n периодических функций с периодами имеет период . Если функция у = f(х) имеет период Т, то функция имеет период .

Нулем функции называется такое действительное значение х, при котором значение функции равно нулю.

Для того чтобы найти нули функции, следует решить уравне­ние f(х)=0. Действительные корни этого уравнения являются нулями функции у=f(х),и обратно. Нули функции представляют собой абсциссы точек, в которых график этой функции либо пе­ресекает ось абсцисс, либо касается ее. Например, функция у = х³- 3x имеет нули в точках х = 0, , , а функция имеет нуль в точке х = 2.

Функция может и не иметь нулей. Такова, например, функция

Область определения функции совпадает с ОДЗ (областью допустимых значений) правой части , т.е. с множеством всех значений х, при которых вычисляется.

Задача. Найти область определения функции

Решение. Первая часть вычисляется при всех значениях х, для которых подкоренное выражение неотрицательно. Поэтому область определения D(y) будет найдена из условия . Решая это неравенство, получаем , т.е.

При анализе функции полезно проверить, обладает ли она свойством четности или нечетности. Наличие этих свойств позволяет упростить построение графика функции. Достаточно построить график функции для . Тогда для четной функции часть графика для получается симметричным отображением построенного графика относительно оси Оу, а для нечетной – относительно начала координат.

Задача. Выяснить, обладают ли данные функции свойством четности или нечетности:

а) б) .

Решение.

а) .

Итак, и, следовательно, функция является четной.

б) , т.е. и, следовательно, функция у(х) является нечетной. Здесь использовано свойство модуля (абсолютной величины) числа: .

Монотонность функции.

Переменную величину называют монотонной, если она изменяется только в одном направлении, т.е. либо только возрастает, либо только убывает. Очевидно, что движение точки х в сторону положительного направления оси абсцисс является мо­нотонно возрастающим, а в противоположную сторону - монотонно убывающим.

Функция у = f(х) называется монотонно возрастающей на интервале (а, b), если для любых х₁, и х₂, при­надлежащих этому интервалу, из неравенства х₂ >х₁, следует неравенство f (х ₂ ) >f(x ₁ ) (рис. 3а).

Функция у = f(х) называется монотонно убывающей на интервале (а, b), если для любых х₁ и х₂, принад­лежащих этому интервалу, из неравенства х₂ > х₁, следует неравенство f (x₂ ) <f(x₁) (рис. 3б).

Рис. 3. Графики монотонно возрастающей и монотонно убывающей функций.

Естественно, что интервал (а, b)предполагается взятым из области определения функции.

Выпуклость функции

Говорят, что функция у = f(х) выпукла вверх в точке х₀, если существует окрестность точки х₀ такая, что для всех ее точек х касательная к графику функции в точке М₀(х₀, у₀) лежит выше графика (рис. 4а). Говорят, что функция
у = f(х) выпукла вниз в точке х₀, если существует окрестность точки х₀ такая, что для всех ее точек х касательная к графику функции а точке М₀(х₀; у₀) лежит ниже графика (рис. 4б).

Если на некотором промежутке (а;b ) все касательные к гра­фику функции
у = f(х) лежат выше (соответственно ниже) самого графика, то на данном промежутке функция выпукла вверх (со­ответственно выпукла вниз).

Рис. 4. Графики выпуклой функции

Вопросы для самопроверки:

1. Что называется функцией?

2. Какие способы задания функции Вы знаете?

3. Сформулируйте основные свойства функции.

Предел функции

 

Число А называется пределом функции в точке х₀ (или при х х₀), если для любого положительного числа найдется такое положительное число (), что для всех х х_{0 ,} удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Обозначают

Функция называется бесконечно малой при , если .

Функция называется бесконечно большой при , если или .

Теоремы о пределах

1.

2.

3.

4.

5.

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел