Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Топ:
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
2017-09-10 | 666 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Цель работы – изучение обмена энергии в системе электрических контуров, слабо связанных между собой.
Теоретическое введение
Колебательные процессы (осцилляции) в электрических контурах имеют аналоги в механике. Поведение простейшего осциллятора – математического маятника, представляющего собой небольшое тело, подвешенное на длинном стержне, хорошо изучено: это гармонические колебания с частотой ω 0.
Существенно более сложными являются колебания системы двух одинаковых маятников, связанных между собой слабой пружиной, как это показано на рис. 10.1. Маятники будут участвовать в коллективных колебаниях, вид которых зависит от мгновенной разности фаз смещений маятников (относительная фаза).
Если оба маятника вначале, при t= 0,одинаково сместить в одну и ту же сторону (рис.10.1,а), то они будут колебаться как единое целое с постоянной амплитудой и частотой, равными амплитуде и частоте колебаний одиночного маятника ω0. Наличие пружины никак не повлияет на маятники, поскольку она останется недеформированной. Если при t= 0 имеются равные амплитуды и противоположные фазы (маятники сместили из положения равновесия в противоположные стороны на одинаковые углы, рис.10.1,б), то маятники будут колебаться с постоянной амплитудой и с частотой ω 1, слегка повышенной по отношению к ω0. Эти два вида движения называются нормальными модами колебаний системы связанных осцилляторов, причем вид колебаний с частотой ω 0 называют четной модой нормальных колебаний и обозначают значком «+» (ω += ω0), а вид колебаний с повышенной частотой ω 1 называют нечетной модой нормальных колебаний и обозначают значком «–» (ω –= ω 1). Нормальная мода колебаний – это коллективное колебание, при котором амплитуда колебаний каждой движущейся частицы системы остается неизменной.
|
В более сложных случаях, когда при t =0 имеется относительный сдвиг фаз, результирующее движение можно рассматривать как комбинацию (суперпозицию) двух нормальных мод колебаний. В результате такой суперпозиции (сложения) двух колебаний с разными частотами появляется амплитудно-модулированное сложное колебание. С такими колебаниями приходится встречаться в самых разнообразных явлениях. Примером могут служить не только маятники, но и два звучащих камертона с разными собственными частотами, причем наиболее интересным образом проявляются коллективные колебания, когда частоты колебаний камертонов мало отличаются друг от друга. В этом случае человеческое ухо воспринимает результирующее колебание как гармоническое колебание с переменной амплитудой (амплитудно-модулироаванный сигнал), то есть ухо слышит звук, интенсивность которого периодически меняется с частотой (частота биений) и периодом . Такой вид суперпозиции гармонических колебаний (при ω0 ≈ ω 1, но ω 1> ω0) иллюстрирует рис. 10.2. Само это явление называется биениями, а величины Тδ и ωδ – периодом и частотой биений соответственно.
В системе двух связанных слабой пружиной маятников биения могут установиться, если сместить один из них (например, маятник 1, рис. 10.1), удерживая первый на месте, а затем отпустить их одновременно. В этом случае маятник 1 начинает колебаться один (рис.10.2, t =0). С течением времени колебания маятника 2 будут нарастать, а колебания маятника 1 – затухать. Через некоторое время маятник 2 испытывает сильные колебания, а маятник 1 останавливается (рис.10.2, t = t 1). Затем процесс происходит в обратном порядке: колебания маятника 1 нарастают, маятника 2 – затухают (рис.10.2, t = t 2).
В случае четной моды нормальных колебаний маятники движутся вместе, пружина не растянута и частота такая же, как у одиночного маятника. В случае нечетной моды колебаний пружина деформируется, что увеличивает частоту этой моды колебаний. Если в какой-то момент времени смещён только один из маятников, то возникают две нормальные моды колебаний, находящиеся в определенной относительной фазе. Но поскольку частота нечетного колебания немного выше частоты четного колебания, относительная фаза медленно изменяется в процессе коллективного колебания. Амплитуда колебаний первого маятника оказывается равной нулю, а амплитуда второго достигает максимума, когда два нормальных вида колебаний окажутся в противофазе, затем начнется увеличение амплитуды первого маятника и т.д.
|
Поведение связанных осцилляторов можно легко объяснить с энергетической точки зрения. При t =0 вся энергия сосредоточена в маятнике 1. В результате связи через пружину энергия постепенно передается от маятника 1 к маятнику 2 до тех пор, пока вся энергия не окажется в маятнике 2. Затем, конечно, если система осцилляторов подпитывается извне энергией для компенсации затухания колебаний из-за трения, процесс обмена энергией повторяется от маятника 2 к маятнику 1 и т.д. Таким образом, “биения” – процесс обмена энергией между двумя гармоническими осцилляторами, собственные частоты которых различаются мало, а при t =0 наблюдается относительный сдвиг фаз .
Биения можно наблюдать и в электрической схеме – в двух одинаковых LC – контурах, связанных между собой слабой емкостной связью Св – аналогом механической связи в виде пружины. Колебания в контурах возбуждаются с помощью преобразователя импульсов (ПИ) – см. рис. 10.3.
Экспериментальная часть
Приборы и оборудование: источник питания ИП; преобразователь импульсов ПИ; звуковой генератор PQ; осциллограф PO; магазин емкостей МЕ; модуль ФПЭ-13.
Функциональная схема представлена на рис. 10.5.
Для теоретических расчетов рассмотрим упрощенный вариант этой схемы – рис. 10.4, где обозначены знаки зарядов с обкладок конденсаторов в контурах и положительное направление тока: С в= С 12; L 1= L 2= L, причем для наблюдения биений важно, чтобы I1 и I2 были сонаправлены. При одинаковом направлении токов знаки зарядов конденсаторов С 1 и С 2 окажутся такими, как указано на рис.10.4, а при равенстве этих зарядов конденсатор С 12 окажется незаряженным. Таким образом, если в начальный момент Q 1= Q 2, то колебания в контурах будут происходить независимо, так как конденсатор С 12 никакого влияния на колебания оказывать не будет. Такая ситуация аналогична колебаниям, возникающим в связанных математическиз маятниках, изображенных на рис.10.1,а.
|
Для двух LC – контуров, соединенных по схеме, показанной на рис. 10.4, запишем второе правило Кирхгофа для контуров ABEF и BCDE:
, (10.1)
. (10.2)
Подставляя , получаем:
; (10.3)
. (10.4)
Получилось довольно сложные уравнения для двух переменных. Можно упростить ситуацию, написать новые уравнения, полученные сложением и вычитанием уравнений (10.3) и (10.4).
Сложив эти уравнения, получаем:
. (10.5)
Разность (10.3) и (10.4) имеет вид:
. (10.6)
В (10.5) и (10.6) учтено, что С 1= С 2= С. Введём новые переменные:
и (10.7)
и обозначим:
и , (10.8)
тогда в новых переменных (10.5) и (10.6) будут выглядеть так:
, (10.5а)
. (10.6а)
С помощью проведенных математических операций удалось свести уравнения (10.3) и (10.4) к более простым уравнениям относительно переменных и .
Если при t =0 переменная имеет значение , то решение уравнения (10.5а) имеет вид
(10.9)
частота
(10.10)
равна частоте собственных колебаний отдельного контура. Аналогично, решение уравнения (10.6а) приобретает вид:
(10.11)
где
; (10.12)
– значение при t =0 переменной .
Два вида движения, описываемые уравнениями типа (10.5а) и (10.6а), называются нормальными модами колебаний системы связанных контуров, а переменные и – нормальными переменные. В данном случае эти уравнения описывают колебания тока в системе двух связанных электрических контуров. Нормальная мода колебаний – это коллективное колебание, при котором амплитуда колебаний каждого заряда и тока остается неизменной. Дифференциальные уравнения колебаний, записанные в нормальных переменных, имеют наиболее простой вид – это однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Их решениями являются гармонические функции. Соответствующие частоты таких колебаний также называются нормальными.
Если вывести из положения равновесия один из контуров например, зарядить конденсатор С 1), то результирующим колебанием будет наложение (суперпозиция) двух нормальных мод колебаний. При Q 20=0 из (10.7), (10.9) и (10.10) получаем:
|
; (10.11)
. (10.12)
Используя известные тригонометрические тождества:
;
,
можно записать уравнения (10.11) и (10.12) в виде:
; (10.13)
. (10.14)
Вид функций Q 1(t) и Q 2(t) (10.13) и (10.14) для случая слабой связи между контурами ( <<1) показан на рис. 10.2. В этом случае нормальные частоты и близки друг другу (10.10) и (10.12), и вторые сомножители в (10.13) и (10.14) изменяются достаточно медленно по сравнению с первыми, так как разность мала по сранению с суммой . Получается амплитудно-модулированный сигнал с амплитудой, изменяющейся с периодом (период биений) и основной частотой, совпадающей с резонансной частотой колебаний каждого контура – . При t =0 амплитуда Q 2 равна нулю. Затем амплитуда Q 2 увеличивается, а амплитуда Q 1 уменьшается до тех пор, пока в момент времени, определяемый из соотношения амплитуда Q 1 не станет минимальной, а амплитуда Q 2 достигнет максимума.
Ситуацию, показанную на рис. 10.2, можно рассмотреть с энергетической точки зрения. При t =0 вся энергия сосредоточена в контуре 1. В результате связи через емкость С12 энергия постепенно передается от контура 1 к контору 2 до тех пор, пока вся энергия не соберется в контуре 2. Время, необходимое для перехода энергии из контура 1 в контур 2 и обратно, можно получить из уравнения , а частота, с которой контуры обмениваются энергией
(10.15)
Для четной моды колебаний, обозначенной знаком «+», токи текут в одинаковом направлении и на емкости С 12 нет заряда. При этом частота ω + остается такой же, как для несвязанных контуров, т.е. . В случае нечетной моды нормальных колебаний (знак «–»), емкость С 12 заряжена, что увеличивает частоту колебаний, т.е. .
Следует отметить, что для того, чтобы применить к связанным контурам рассмотренную выше теорию, они должны иметь одинаковую резонансную частоту и, кроме того, предполагается, что С 12 велика по сравнению с С, то есть <<1 («слабая связь»). Тогда выражение 10.15 можно преобразовать следующим образом
(10.16)
Полученное значение частоты обмена ωобм (имеется в виду обмен энергией), или частоты “биений” ω б= ω обм можно изменять, настраивая систему контуров путем изменения номиналов элементов С, С 12, L, R и т.д., добиваясь того, чтобы разностная частота была сведена к минимуму.
Исследование биений, то есть обмена энергий в связанных контурах, и является одной из практических задач данной лабораторной работы.
Экспериментальная установка
Принцип работы модуля ФПЭ-13 основан на электрической связи двух одинаковых колебательных контуров LC в условиях балансировки контуров. Колебания возбуждаются с помощью генератора Г3-118. Прямоугольный импульс подается на плату ФПЭ-13. На плате ФПЭ-13 установлены два LC- контура, которые связаны внешней емкостной связью. Для отсечки источника сигнала во время паузы от первичного контура (L1C1) в цепь питания включен кремниевый диод VD1. В промежутках между прямоугольными импульсами возбуждаемые в контуре L1C1 затухающие колебания через внешнюю емкостную связь (50-80 пФ) передаются в контур (L2C2), где накладываются на собственные колебания. На экране осциллографа отображается периодическое возрастание и убывание амплитуды затухающих колебаний, т.е. биения (рис. 10.7).
|
Порядок выполнения работы
1. Ознакомиться с работой звукового генератора (в режиме генерации синусоидальных колебаний) и электронного осциллографа.
2. Подготовить приборы к работе:
а) с помощью магазина емкостей МЕ установить С =4∙10-2 мкФ;
б) установить следующие параметры выходного напряжения звукового генератора: частота – 200 Гц, величина напряжения – 2-4 В, режим работы – генерация синусоидальных колебаний;
в) включить развертку электронного осциллографа с запуском от усилителя и установить частоту развертки, удобную для наблюдения сигналов частотой 200 Гц;
г) усиление по оси У электронного осциллографа установить таким, чтобы было возможно измерить переменное напряжение до 5 В.
3. Включить лабораторный стенд и приборы. Регулировкой ручек управления на панели осциллографа добиться стабильной картины процесса «биений» в контурах.
4. Вычислить Т рез для одного из контуров (резонансные частоты контуров близки) по формуле Томсона (L =60 Гн, С =104 пФ).
5. Изменяя величину емкости конденсатора связи С 12 на магазине емкостей от 4∙10-2 до 4∙10-1 мкФ, измерить периоды «биений». Т б определяется следующим образом: подсчитывается количество периодов (количество максимумов), укладывающихся в одно биение (число – N) – рис. 10.7. Эта величина умножается на Т рез, вычисленное по формуле Томсона, то есть . Полученные результаты записать в табл. 10.1. По полученным таким образом значениям Т б строится график зависимости Т б =f (C 12).
6. Провести расчет Т б.теор. по формуле и сравнить его с экспериментальными данными.
Таблица 10.1
С 12, мкФ | 0.04 | 0.08 | 0.12 | 0.16 | 0.20 | 0.24 | 0.28 | 0.32 | 0.36 | 0.40 |
N | ||||||||||
Т б.эксп. | ||||||||||
Т б.теор. |
Контрольные вопросы
1. Как будут колебаться два связанных пружиной маятника при отсутствии сдвига фаз между ними в начальный момент?
2. Какое должно быть соотношение частот двух связанных осцилляторов для наблюдения биений?
3. Какие процессы наблюдаются в системе связанных контуров?
4. Запишите второе правило Кирхгофа для двух связанных контуров (10.5) и (10.6).
5. Получите дифференциальные уравнения колебаний в нормальных переменных (10.5а), (10.6а) и запишите их решение (10.9) и (10.11).
6. Получите выражения для частот нормальных колебаний в связанных контурах.
7. Почему одна из нормальных частот совпадает с резонансной частотой контура , а вторая повышена по сравнению с ней ?
8. Объясните картину биений (рис. 10.2) с энергетической точки зрения.
9. Почему емкость С 12 должна быть << С?
10. Чему равна частота обмена энергией между двумя связанными осцилляторами? Получите и объясните формулу для периода биений.
11. Что такое нормальные колебания (моды) связанных осцилляторов?
Используемая литература
[1] § 27.4;
[2] § 19.4;
[3] § 3.4, 3.9;
[4] т.1, § 55,56;
[5] 145.
Лабораторная работа 2-11
|
|
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!