Электрические колебания. Общие соображения

В предшествующих разделах мы видели, что для очень быстрых колебаний помимо электростатического члена могут сохраняться только ускорения, а (эффекты от) скорости будут малозначащими в сравнении с ними. В дальнейшем мы не будем затрагивать решения, которые использовали до сих пор, и вернёмся к формуле (VI), приняв u =0. Тогда она перейдёт в

(31)

В теории Лоренца роль играет лишь электрическая сила1

(32) *

и также мы можем пренебречь членами , в результате чего это (выражение) перйдёт в

(33)

которое будет верно для любой величины R, если только она не будет много меньше одного сантиметра, и a fortiori [тем более] оно верно для больших величин R.

Вторые члены в формулах (31), (33) соответствуют перпендикуляру силы к вектору излучения, который в оптике (где член пропорциональный 1/ r ² исчезает) играет роль вектора Френеля. Он зависит только от x, y, z, t, но не от v. Таким образом, понятие поля применимо, то есть, мы можем рассматривать распространение этой силы в пространстве независимо от того, присутствует в нём электрон или нет, что не имело бы места, если бы оно зависело от скорости последнего.

Общее обсуждение. - Формулы (VI) и (31) требуют следующего общего замечания. Они содержат множитель , который становится бесконечным при достаточно большой величине r. Я намерен показать, что из этого выражения, тем не менее, получаются в результате только конечные величины.

Рассмотрим заряд e ', вибрирующий параллельно оси x и имеющий скорость v'= v' (t'), нулевую для момента t ' =0 и положительную после него. Волна, испущенная в момент t ' =0, распространяется** вдоль оси со скоростью c и достигает фиксированной точки P, расположенной на положительном луче оси в момент t>t'> 0. Тогда скорость распространения увеличится, и будет c+v ' для волны, испускаемой в момент . Поэтому эта волна настигнет предыдущую на некотором расстоянии x ₀, затем обгонит её. В точку x ₀ эти две волны, испущенные e ' в моменты времени t' = 0 и , прибудут одновременно. Скорость v ' остаётся положительной, число волн, одновременно приходящих в x ₀, может продолжать увеличиваться. Но, когда v ' уменьшится или изменит знак, такой случай больше не представится. Если положение точки P и движение e ' заданы, то время прибытия t будет функцией f (t'), явно зависящей от t ' и заданной в соответствии с законом распространения [аналитически формулой (II^a), разрешённой относительно t ]. Напротив, как мы только что видели, функция t'= φ(t) может дать для заданной величины t конечное число различных решений . Будем откладывать значения t ' вдоль оси ординат, а t – вдоль оси абсцисс, предполагая, что относительные скорости много меньше c. Кривая t'= φ(t) будет колебаться из стороны в сторону от прямой линии , где r ₀ - среднее расстояние от e ' до P. Параллельные к оси t будут пересекать кривую не более чем в одной точке, а параллельные к оси t' - в одной из нескольких точек. Среди последних касательными к кривой будут параллельные, проходящие через точки, в которых становится бесконечным и где две величины становятся равными. Если в этой точке производная конечна (то есть, если отсутствует точка перегиба), то значения приблизятся к наибольшим величинам противоположного знака.

Эти соображения являются наиболее общими и применимы даже в случае движения точки P, при условии, что относительные скорости меньше c. Мы видели [формула (6), полученная дифференцированием (II)] что

Знаменатель, таким образом, зануляется и изменяет знак точно в момент, когда две различных величины соответствуют одному и тому же моменту прихода и становятся равными. Но мы выяснили (§ 2), что воздействие e ' на e равно сумме воздействий, соответствующих . Умножим и разделим F_x (VI) на . Тогда это выражение запишется где Ф остаётся конечным и непрерывным в момент, когда и становятся бесконечными. Сумма членов, относящихся к и ,

(34)

останется конечной2, поскольку и в критический момент .

§13. - КОЛЕБАНИЯ ГЕРЦА *

Как и в предшествующих разделах, продолжая придерживаться гипотезы, согласно которой скорости являются малыми по отношению к c, мы намерены предположить, что ускорение будет очень большим. Такое явление будет иметь либо крайне малую длительность, либо колебательный характер. В случае колебаний Герца, скорости, соответствуя малым токам, едва превысят величину порядка 1 см в секунду и расстояние, на котором можно их изучать, может быть оценено весьма небольшой величиной, равной длине волны. Число колебаний в секунду изменяется от 10⁸ (что соответствует 3-хметровой длине волны) до 10¹¹. По сравнению с амплитудами [колебаний] электронов, они [расстояния] чрезвычайно малы, поскольку скорости остаются небольшими, несмотря даже на самые большие частоты. В этих условиях величина всегда ничтожна, и рассмотренный случай не имеет места. Действительно, предположим, что колебания будут синусоидальными, и пусть | v ' | будет максимальным значением v ', | w'_r | - тем же для w'_r, n - числом колебаний в секунду, m λ - максимальным расстоянием, на котором можно наблюдать волны (по порядку величины m вряд ли превосходит 10 – 100). Мы будем иметь

то есть

откуда

это, как мы видели, будет число, сопоставимое с 10^-9 или 10^-8.

Обозначим через R вектор с компонентами x-x', y-y', z-z'. Тогда мы получим

откуда следует

для членов порядка . Поэтому первый член (31) запишется

.

Это выражение довольно точно совпадает с первым членом из (33). Действительно, в теории Лоренца, центр испускания волн остаётся неподвижным относительно источника и резонатора, если последний, как мы предполагаем, неподвижен по отношению к эфиру (движения вещества будут, кроме того, намного медленней рассматриваемых явлений). Следовательно, этот центр волнения совпадает с положением x ', y ', z ' в некоторый момент. Но амплитуда колебаний электронов будет предельно малой, и величины Rx, Ry, Rz, R постоянны c большой точностью. Поэтому, очевидно, в обеих теориях электростатические члены идентичны. Кроме того, отношения размеров и направлений векторов r и R различаются только порядком , который равен 10^–10; так что вполне можно поменять r и R местами во вторых членах формул (31), (33) и даже в аргументе . К последней гипотезе мы снова обратимся, чтобы найти их скорости распространения и фазы, относящиеся между собой как 1 к 1+10^-10, отличаясь на величину, которую эти эксперименты не способны выявить.

В целом же, обе теории дают для колебаний Герца точно совпадающие результаты.

§14. - АНАЛИЗ СЛУЧАЯ БОЛЬШИХ СКОРОСТЕЙ *

Случай, в котором скорость электронов сопоставима со скоростью света, имеет место только для β-лучей радия. Мы изучили отклонение этих лучей под влиянием поля электростатического и поля магнитного, созданного электромагнитами, то есть нейтральными замкнутыми токами, электроны в которых имеют скорости v' бесконечно малые по сравнению с c. Всегда остаются малыми в этих экспериментах и ускорения.

Следовательно, в выражении (VI) для элементарной силы мы снова можем разложить величины r, u ², ur, следующие из формул параграфа 3. Эти разложения в ряд предполагают малыми уже не скорости, но разные степени ускорений. С учётом сопоставимости скоростей v и c, и принимая во внимание, что v'/c является предельно малым, мы получим

Пусть v/c= β будет новым вектором длиной сопоставимым с единичным. Мы будем иметь

(35)

(36)

(37)

В выражении (VI) для Fx можно разложить в ряд φ, ψ, используя формулу Тейлора, приняв . Поскольку отличаются от этих величин лишь ничтожно малыми значениями ε, η порядка ,..., мы будем иметь

(38)

(39) .

Выражение (VI) для Fx, таким образом, преобразуется в

(40)

Члены порядка 1/ c ² будут незначительны в сравнении с членами первого порядка. Для электростатического воздействия (v ' =0) всё это сведётся просто к

(41)

Чтобы получить воздействие элемента ds' нейтрального замкнутого тока (электрическим зарядом которого можно пренебречь, и для которого положительные и отрицательные заряды в единице объёма, очевидно, равны и противоположны по знаку), мы лишь можем добавить сумму воздействий положительных и отрицательных ионов элемента ds' на электрон e. Пусть v ₁ ', v ₂ ' будут скорости положительных и отрицательных ионов, тогда как сам проводник или магнит находится в покое. В таком случае мы будем иметь

При суммировании воздействий от обоих видов ионов на e, члены, независимые от v ',взятые с противоположными знаками, исчезают в (40), и там останется

(42)

Следовательно, воздействие тока пропорционально его интенсивности. Кроме того, два элемента с параллельными токами противоположного направления и равной интенсивности не создают никакого воздействия. Поэтому, когда мы рассматриваем равномерно намагниченную металлическую пластину как систему очень малых замкнутых токов той же самой интенсивности, то заметное воздействие от этих токов дадут только те их участки, которые расположены на поверхности пластины. Действие же токов, расположенных внутри будет стремиться к нулю при отделении и удалении от токов. Поэтому такая магнитная пластина будет эквивалентна замкнутому току, циркулирующему по её контуру: точно так же часто рассуждают в электродинамике, и этому легко придать более строгую форму.

Точно так же для силы F, представляющей собой линейную функцию косинусов направлений элемента тока, J удовлетворяет закону, задающему знак токов.

Однако на этом заканчивается аналогия с классической электродинамикой. Так, мы уже видели, что для малых скоростей (то есть малого β) воздействие Fx, Fy, Fz замкнутого тока на движущийся электрон перпендикулярно к скорости последнего. В общем случае это уже не так, скажем для β, стремящегося к единице. Действительно, составляющая R силы F, параллельная β будет

(43)

где мы положили для кратости

Величина R будет нулевой для всех замкнутых цепей только в том случае, если является полным дифференциалом, для которого

Но β² не зависит от x ', y ', z ', и мы имеем

.

Условие, необходимое и достаточное, для того чтобы сила была перпендикулярна к скорости, будет, таким образом, состоять в том, что выражения для f и F, полученные через φ, ψ, должны удовлетворять дифференциальному уравнению

(46)

Для предельно малого β, f будет равно некоторой постоянной f ₀, а F – равно : отношение удовлетворяется.

Когда же φ и ψ не зависят от βρ, отношение принимает простой вид f =0.

Аналогично, воздействие замкнутого соленоида или электромагнита, в общем случае не равно нулю, если φ и ψ не удовлетворяют некоторому дифференциальному уравнению третьего порядка.

Наконец, обобщая всё вышесказанное, можно заметить, что исследование магнитного поля в точке не может полностью определить силу, испытываемую в этой точке быстро движущимся электроном, если указанные соотношения не выполнены. Эта последняя сила определена, лишь если мы задаём расположение токов (или магнитов, заменяемых эквивалентными токами), а через это и величины βρдля разных элементов тока.

Таким образом, сперва надо заставить эксперимент ответить, какой из законов электромагнетизма верен, для этого достаточно с таким вопросом обратиться к β-лучам радия. Однако, оставив понятие поля в покое, никто таких вопросов даже не задал. И на мой взгляд, несомненно, лишь по этой причине ни один точный количественный эксперимент так до сих пор на них и не ответил. Замечательные эксперименты Кауфмана, предпринятые с иными целями, пока не позволяют на них ответить, как мы могли от них ожидать.

В целом же, понятие поля применимо к воздействию, которому подвергаются β-лучи, лишь при определённых условиях. Кроме того, мы показали, что в общем случае (когда силы и поле зависят от скоростей) это понятие вводит абсолютное движение. Обычные эффекты магнитного поля удаётся избавить от действия этого правила только в некотором приближении (пренебрегая движением Земли, и т.п…)

§15. - ЭКСПЕРИМЕНТЫ КАУФМАНА 1

Как известно, Kaуфман в своих экспериментах изучал, как β-лучи, идущие вдоль оси x, отклоняются в электрическом поле параллельном оси y (созданном плоским конденсатором) и в направленном точно так же магнитном поле (созданном электромагнитом или постоянным магнитом). При этом наблюдались отклонения вдоль взаимно перпендикулярных осей y и z, возникшие в результате совместного действия этих двух полей. Эти отклонения зависят от скорости v= β c летящего электрона, или β-луча, и образуют кривую y=y (β), z=z (β) (где величина β точно не определена, а играет роль простого параметра), которая и наблюдается в эксперименте. Аппаратура была, кроме того, симметричной относительно оси y, а поля были приблизительно однородными. Мы собираемся выяснить, что в этих условиях предсказывает новая теория.

Электростатическое воздействие. - Пластины конденсатора параллельны плоскости x-z. Пуcть y и a-y – это расстояния движущегося электрона до этих двух пластин. Мы, очевидно, имеем β y = βz=0, β x = β, βρ= βcos(ρ, x). Пусть σ – это плотность электрического заряда на пластинах. Составляющие силы, действующей на электрон будут, согласно формуле (41),

В первом приближении можно полагать, что протяжённость конденсатора очень велика. Поэтому интегрирование следует производить по всей плоскости x '-z ' и взять интеграл сперва для y ' =0 (первая пластина), а затем для y ' =a (вторая пластина). Необходимо определить разность полученных результатов. Пусть зависимость y' от времени не задана. Поскольку в ЧАСТИ ВТОРОЙ мы допускаем, что φ и ψ, даже будучи функциями от βρ, при интегрировании дают в первом и третьем интегралах противоположные по знаку величины для точек (x-x '), (z-z ') и - (x-x '), - (z-z '). Так что эти интегралы зануляются: вследствие симметрии сила параллельна оси y.

Пуcть будет углом, который ρ образует с β, то есть с осью x. Мы имеем

Будучи выражен через переменных ρ и , второй интеграл приходит к виду

[Примечания редактора перевода. в исходном тексте было опущено.]

Найдём воздействие квадранта, ограниченного линиями x ' =0, z ' =0, путём интегрирования по ρ в пределах от до ρ=¥, а затем в пределах от до . Искомый интеграл будет превышать полученный результат в четыре раза.

Мы имеем

.

Для верхнего предела ρ=¥ это даст для y-y ' > 0 (первая пластина, y ' =0) и для y-y ' < 0 (вторая пластина, y ' =a). Нижний предел даёт arctan=0. Таким образом, мы имеем в сумме от двух четвертей (квадрантов) пластины конденсатора

.

Обозначим , и получим наконец для искомой полной силы

(47)

где E - это электрическое поле в обычном его смысле. По нашей теории это поле не создаёт, как в теории Лоренца, силу e E, но создаёт силу, зависящую от скорости,

Магнитное воздействие. - Мы имеем

Интегралы берутся по всем токам, включая и те, которые в обычном представлении эквивалентны активным магнитным массам. Функции φ, ψ зависят только от , являясь функциями этого аргумента. Электрон заметно смещается вдоль оси x (y =0, z =0), и имеется [] симметрия относительно оси y. Поэтому заменим y на -y ', dy на -dy '. Воздействия соответствующих элементов исключены в первом интеграле Rmy, поэтому последний зануляется вследствие симметрии. С другой стороны, изменения в скорости, производимые силами, малы в этом эксперименте [] в сравнении с начальной скоростью. Следовательно, воздействие параллельное скорости не производит заметного отклонения и в первом приближении является незначительным. Поэтому наблюдаемое магнитное воздействие будет здесь перпендикулярно полю и скорости, как это имеет место в теории Лоренца и как показывают эксперименты. Мы видим, что в этих условиях, общие вопросы, поднятые ранее, не решены этими экспериментами.

В своём определяющем исследовании Кауфман использует постоянные магниты подковообразной формы. Мы не можем вычислять Rmz, не зная структуры магнитного поля. Но для цели, которую я здесь ставлю, можно считать, что силы Rey и Rmy являются функциями β, первая зависит только от функции φ, вторая, кроме того, – и от ψ. Эти две функции для очень малого β произвольны в отношении первых членов их разложения. Они создают отклонения y=f (β), z = F (β) и понятно, что, подходящим подбором величин φ и ψ можно представить дугу кривой, наблюдавшейся Кауфманом, тем более что, как это следует из исследования ученого, его эксперименты не позволяют точно определить коэффициенты у первых членов разложения по β. Теория Лоренца даёт

где A и B - константы, β' задаёт отношение скорости [электрона] к c, а m= m ₀Φ(β ') - массовая функция скорости, равная m ₀при β '= 0. Теперь мы легко можем использовать наше решение y=f (β), z=F (β) в этой новой форме: это позволяет получить

откуда

то есть, ввести новый параметр β ' и функцию Φ этого параметра, вместо β, возвращающего к форме Лоренца. По обеим теориям всё происходит так, будто массы являются функцией скорости, и лишь величина последней, находимая из этих двух теорий, получается различной. Прямое же измерение скорости, вроде выполненного для катодных лучей Вихертом, использовавшим колебания Герца, кажется едва ли возможным. Отсюда мы заключаем то, что и хотели показать:

Эксперименты Кауфмана одинаково хорошо объясняются как посредством допущения абсолютного движения с изменяющейся массой, так и посредством рассмотрения массы как постоянной, а движений как относительных. Также они вполне согласуются с допущением о том, что для больших скоростей электродинамические силы уже более не являются простыми линейными функциями скорости, как это имело место в теории Лоренца. Их зависимость от скорости приобретает более сложную форму.

В ЧАСТИ ПЕРВОЙ я указал, что в теории Лоренца для равномерных движений воздействие электрона e ' на e есть сложная функция его скорости v ', и что нет ничего, что бы позволило ввести такую асимметрию в отношении скоростей v и v '.

Интересно рассчитать полученную кривую, когда β мало. В таком случае мы ограничимся в (VI) членами второго порядка, применяемыми в электродинамике: это будет формула (13). Тогда мы имеем

(H = магнитное поле)

(50)

откуда

где A и B - уже заданные константы, и таким образом k исчезает из результата. Пуcть []

будет казаться, что движущийся электрон имеет переменную массу

Формула, которую Лоренц2 вывел, пытаясь устранить [] абсолютное движение из своих уравнений, имеет вид

Первые члены этих двух формул, таким образом, совпадают.

Для m =const.= m ₀, теория Лоренца дает параболу

(51)

то есть

Примечательно, что парабола, для которой имеется совпадение с [] наблюдением, как мной было показано в ЧАСТИ ПЕРВОЙ (§ 9), получалась бы при замене в (50) на , и что параболы (50) и (51) получаются, следовательно, на равных расстояниях от оси y при любом виде наблюдаемой кривой.

В целом, в теории, основанной на принципе относительности, можно ожидать, что скорости равные или большие, чем скорость света, имеют особенности, столь же необычные, как и в теории Лоренца. Относительные скорости много большие c должны быть приняты в рассмотрение для взаимодействия β-лучей, испущенных в противоположных направлении крупицей радия. И c никоим образом не может быть критической скоростью, а β=1 не будет особенной точкой кривой.

Как было показано, в нашей теории ничто не запрещает реакции [силе] инерции электронов быть целиком электромагнитного происхождения. Если частицы, испускаемые радием, не сферичны, то инерционная реакция зависит от их ориентации: одинаковая молекулярная сила сообщит разные скорости по-разному ориентированным частицам, и внешнее поле вызовет разные отклонения. Если же масса определена одним единственным параметром, как это имеет место для эллипсоида вращения, то всё будет выглядеть так, словно масса – это точно заданная функция начальной скорости частицы относительно радия.

Мы видим, что любой вывод был бы, так или иначе, преждевременен в пока ещё малоисследованной области больших скоростей.

§16. - ГРАВИТАЦИЯ *

Применимы ли предшествующие теории к тяготению, и можно ли допустить, что гравитация распространяется со скоростью света, а также подчиняется законам, допущенным нами? Ответ положительный: возмущения, как и в теории Лоренца, оказываются второго порядка.

Но кроме того с помощью этих новых формул, возможно, удастся устранить имеющееся в астрономии заметное расхождение между вычислениями и наблюдениями, а именно медленное вращение эллипса, описываемого Меркурием, вращение, которое на 41 " дуги в столетие превосходит ожидаемое от возмущений, создаваемых планетами.

Примем за плоскость x-y плоскость орбиты, а неподвижное Солнце - за начало координат. Возьмём из (13) уравнения движения [Замечание редактора перевода: Хотя в (13) должны быть введены некоторые величины отличные от зарядов, идея Ритца относительно запаздывания в применении к гравитационным взаимодействиям вполне ясна.]

(52)

где μ - постоянная, независимая от рассматриваемой планеты, а - расстояние до Солнца. Умножая на y и -x и складывая, мы получаем пространственное уравнение

или

В полярных координатах, пренебрегая силами в c раз меньшими других, это может быть записано

(53)

Исключим теперь величины второго порядка из первого и второго уравнений (52)

и

Если мы прибавим к уравнениям эти сходные выражения, в которых составляющая ускорения заменена её приближённым значением , а составляющая – значением , то в окончательном результате мы введём лишь члены порядка , являющиеся абсолютно незначащими.

Умножая новые уравнения, полученные через складывая и интегрируя, мы получим уравнение энергии

Вводя полярные координаты и исключая dt с помощью соотношения (53), а после разрешая уравнение относительно , получим лишние члены порядка ,

Максимальное и минимальное r, или оси эллипса, являются корнями второго множителя правой части уравнения. Но сам эллипс медленно поворачивается в своей плоскости. Действительно, если = p, мы можем записать

Если мы стартуем с одной из двух максимальных или минимальных величин p, соответствующих корню подкоренного выражения, то видим, что та же самая величина получится не позднее чем через пол-оборота, когда φ увеличится до π, а точнее, когда φ станет равно . Корректирующий член крайне мал, поэтому, очевидно, что мы будем иметь эллипс, поворачивающийся в плоскости. Пусть N будет числом оборотов за столетие, угол, на который эллипс повернётся за этот интервал времени, будет

.

Пусть

будет средним расстоянием от Солнца до Земли;

– её средней скоростью, приблизительно равной 30 км в секунду,

a и e – соответственно средним расстоянием и эксцентриситетом рассматриваемой планеты.

Эксцентриситет Земли ввиду его малости здесь не принимается во внимание, мы имеем

кроме того, мы знаем из элементарной теории эллиптического движения, что разыскиваемый угол, таким образом, будет

*

что даёт: для Меркурия (k +5) 3.6 "; для Венеры (k +5) 0.7 "; и для Земли (k +5) 0.3 " в столетие.

Мы можем принять произвольную постоянную k равной 6.4 *, что даёт для Меркурия наблюдаемую аномалию 41 ", для Венеры 8 ", для Земли 3.4 ". Несмотря на малую эксцентричность орбит, последними аномалиями нельзя пренебречь. Следовательно, дабы найти значение, которое надо придать k, необходимо пересчитать, учитывая новое возмущение, константы внутренних планет (массы и элементы орбит для t =0) и определять их снова в виде, дающем наиболее удовлетворительное согласие, которое только возможно между вычислениями и наблюдениями. Влияние на движение Луны так же кажется возможным. Эти возмущения станут заметными, лишь если их влияние сказывается в течение долгого времени.

ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Как видим, по части наблюдаемых в электродинамике явлений между предложенными формулами и теорией Лоренца пока не возникает заметных противоречий. Очевидно, что с точки зрения математической элегантности и простоты, преимущество часто будет на стороне теорий Лоренца. Но, с другой стороны, Лоренц не всегда может избежать использования элементарных сил. Мы даже видели, что их использование обязательно в теории излучения. В этих случаях будет иметь место эквивалентность теорий. Фактически же, из уравнений Лоренца нельзя сделать никаких выводов до тех пор, пока не выполнена прямая демонстрация. А часто они усложняются настолько, что движение Земли перестаёт заметно влиять на результат. В данном случае преимущество находится уже на стороне нашей теории.

Одной из наиболее плодотворных идей Максвелла было введение токов смещения, которые формируют, вместе с токами проводимости, систему постоянных замкнутых токов, к которым Максвелл применил известные законы электродинамики (интеграл Неймана и проч.). Так он пришёл к своим уравнениям. Вышеприведённое исследование показывает, что их применение составляет вторую гипотезу. Действительно, мы показали, что с нашей точки зрения и даже с точки зрения Лоренца, эти законы применимы только к нейтральным токам, и этот последний пункт, скажем, для закона Ампера, оказывается важней другого. Гипотеза Максвелла возвращает к введению элементарного закона, для которого нет никаких экспериментальных оснований.

Наша же теория требует снова вернуться к различению открытых и замкнутых токов. Но если рассматривать не математические формулы, а физические факты, то каждому станет ясно, что количественно и качественно эти две формы представления явлений настолько несхожи, что практическая польза от их синтеза, возможно, не так уж велика, как это могло показаться на первый взгляд.

Формула, описывающая воздействие подвижной электрически заряженной точки на другую, к которой приводит теория Лоренца, очень напоминает, как отметил Шварцшильд1, формулу Клазиуса2, которая также содержит абсолютные скорости. Последний пришёл к ней, предположив, кроме всего прочего, что гальванический ток не взаимодействует с покоящимся электрическим зарядом. Вполне очевидно, что это, как мы видели, верно для нейтральных токов, но может быть совершенно ошибочно в других случаях. Эта гипотеза ведёт, согласно Клазиусу, также как и согласно Лоренцу, к введению абсолютного движения.

Мы видели, что в выражении элементарной силы величина k остаётся неопределенной. Это заставляет вспомнить подобный же результат Гельмгольца и аналогичную формулу (25), которая применима к элементам нейтрального тока и идентична формуле Гельмгольца3, преобразуясь к формуле Ампера при k = -1, или к формуле для F Неймана, Максвелла и Лоренца при k = +1. Однако пары сил, добавленные в теории Гельмгольца, отсутствуют, и этот пункт весьма существенен. Кроме того, теперь мы знаем, что лишь в том случае, когда отсутствует излучение, энергия остаётся постоянной. Отношения, которые уравнение энергии устанавливает между индуктивными воздействиями незамкнутых токов и их электродинамическими воздействиями могут, следовательно, переставать быть верными. Так в действительности и происходит. Для явлений индукции в покоящихся телах, уравнения Максвелла-Лоренца и уравнения Гельмгольца4 станут идентичными, если, как отмечал последний, k = 0. В этом случае играют роль только сопротивление, электростатическая сила и ускорение. Формулы Лоренца при этом идентичны нашим, которые также соответствуют k = 0. Что же касается выводов относительно устойчивости, требующей k ³ 0, то они могут относиться только к величине k, фигурирующей в явлениях индукции (чтобы это увидеть, достаточно предположить нулевое действие токов). Таким образом, наши формулы всегда удовлетворяют условиям, и наш параметр k остаётся совершенно неопределённым.

Интересно отметить, что по нашей теории в покоящихся телах явления индукции в замкнутой цепи возникают только вследствие конечной скорости распространения. Действительно, если обратиться к разложениям параграфа 3, то увидим, что, поскольку члены второго порядка затронуты слабо, то только эта конечная скорость [] вводит ускорения, и именно ускорения определяют явления индукции. Для члена второго порядка , который не вытекает из этих разложений, формула даёт для замкнутой цепи нулевую электродвижущую силу. Мы знаем, что в гипотезе дальнодействия явления индукции были выведены из [] электростатических и электродинамических сил, следующих из уравнения энергии. В нашей же теории они выведены из факта распространения.

Мы могли бы определять величину k, принимая теорию металлов, предложенную Рике и Друде, согласно которой скорость электронов в их случайном молекулярном движении была бы намного больше, чем у положительных ионов, и составляет она порядка десятков или сотен километров в секунду. Пусть

dt' будет элементом объёма металла;

E 'dt' - полным зарядом электронов в этом элементе;

v' - их средней скоростью.

Тело не заряжено, воздействие элемента dt' на заряд e, расположенный в т. (x,y,z), вследствие симметрии будет создавать отклонения в движениях параллельные r, и уравнение (VI) даст для этой силы

Теперь мы имеем в среднем