Биномиальная модель Кокса, Росса, Рубинштейна.

доходность в n-й момент времени

Если предположить, что все – независимы и одинаково распределены, такие, что

Проблема, что принимает значение ,

( -величина изменения доходности.)

С точки зрения анализа финансовых операций, абсолютное изменение стоимости актива может быть интересно лишь в отдельных случаях

С точки зрения эффективности операции интересен показатель:

или

Изменение этой величины носит название волатильность

Если число дискретов (количество шагов) увеличивается к ∞, ∆ стремится к 0, то на основании предельной теоремы (Муавра-Лапласа) из вероятностей можно утверждать, что начиная с некоторого момента времени t, распределение цен активов подчиняется логарифмически нормальному закону, т.е , где

1>2

N(t)- случайная величина в определенный момент времени t, имеющая нормальное распределение с нормальными зависящими от t.

- есть вероятность того, что цена актива в момент времени будет больше а, но меньше b.

a

b

Moda – абсцисса точки графика, которая соответствует его максимуму и характеризует наиболее часто происходящие события.

Пример. (использование непонимания различий моды и среднего)

Возьмем данные, полученные по результатам контрольной работы у группы студентов. Средний балл по группе 4,5. При этом большинство студентов написали контрольную работу на 3, и меньшинство на 4 и 5. Модой является число студентов, написавших контрольную работу на 3, а средний балл больше моды.

Башелье рассматривал изменение цен на пшеницу на парижском рынке.

- Винер

- Нормальное

Утверждение Самуэльсона: изменение логарифма цены актива описывается Броуновским движением.

10.3.(Правило) Прогноз Кассандры:

Если ситуация будет такая, как предсказал работник руководителю, то это будет заслуга руководителя.

Если же работник предсказал ситуацию не правильно, то виноват всегда работник

Основным результатом в определении цены опциона является идеология Блека и Шоуза.

Модель ценообразования опционов Блэка–Шоулза (англ. Black–Scholes Option Pricing Model, OPM) — это модель, которая определяет теоретическую цену наевропейские опционы, подразумевающая, что если базовый актив торгуется на рынке, то цена опциона на него неявным образом уже устанавливается самим рынком. Данная модель получила широкое распространение на практике и, помимо всего прочего, может также использоваться для оценки всех производных бумаг, включая варианты, конвертируемые ценные бумаги, и даже для оценки собственного капитала финансово зависимых фирм.

Согласно Модели Блэка-Шоулза, ключевым элементом определения стоимости опциона является ожидаемая волатильность базового актива. В зависимости от колебания актива, цена на него возрастает или понижается, что прямопропорционально влияет на стоимость опциона. Таким образом, если известна стоимость опциона, то можно определить уровень волатильности ожидаемой рынком