Постоянного и переменного тока.

Рис. 1.1

Пример 1. Для цепи (рис.1.1) выполнить следующее:

1) составить уравнения по законам Кирхгофа;

2) определить токи во всех ветвях методом контурных токов;

3) проверить правильность решения методом узловых потенциалов;

4) определить ток в резисторе R₆ методом

эквивалентного генератора;

5) определить показания вольтметра и составить баланс мощностей;

6) построить потенциальную диаграмму для внешнего контура.

E₁ = 5 B; E₂ = 16 B; E₃ = 30 B; R₀₁ = 0,4 Ом; R₀₃ = 0,7 Ом;

R₁ = 6 Ом; R₂ = 4 Ом; R₃ = 3 Ом; R₄ = 2 Ом; R₅ = 5 Ом; R₆ = 3 Ом

Решение

1. Уравнения по законам Кирхгофа

2. Уравнения по методу контурных токов

После подстановки значений сопротивлений и ЭДС получим систему уравнений

Решая систему уравнений, определим контурные токи

I₁₁ = -4,969 A; I₂₂ = -4,479 A; I₃₃ = -3,233 A

Токи в ветвях

I₁ = I₂₂ - I₁₁ = 0,49 A; I₃ = -I₁₁ = 4,969 A; I₅ = I₃₃ -I₂₂ = 1,246 A;

I₂ = -I₂₂ = 4,479 A; I₄ = I₃₃ - I₁₁ = 1,736 A; I₆ = –I₃₃ = 3,233 A

3. Метод узловых потенциалов

Рис. 1.2

Преобразуем треугольник сопротивлений R₄, R₅, R₆ в эквивалентную звезду R₄₅, R₅₆, R₆₄ (рис.1.2).

Сопротивления эквивалентной звезды

 

 

Узловое напряжение

где

- проводимости ветвей

Токи в ветвях

I₁ = (-E₁ + U_dm)g₁ = (-5 + 8,632)·0,1351 = 0,49 A;

I₂ = (E₂ + U_dm)g₂ = (16 + 8,632)·0,1818 = 4,479 A;

I₃ = (E₃ - U_dm)g₃ = (30 - 8,632)·0,2326 = 4,969 A

Из рис.1.1 и рис.1.2 токи

I₄ = U_fa /R₄ = (I₃R₆₄ + I₁R₄₅)/R₄ = (4,969·0,6 + 0,49·1)/2 = 1,736 A;

I₅ = U_bf /R₅ = (-I₁R₄₅ + I₂R₅₆)/R₅ = (-0,49·1+4,479·1,5)/5 = 1,246 A;

I₆ = U_ba /R₆ = (I₃R₆₄ + I₂R₅₆)/R₆ = (4,969·0,6 + 4,479·1,5)/3 = 3,233 A

что совпадает с ранее полученными значениями

4. Определение тока в резисторе R₆ методом эквивалентного генератора

Разомкнем ветвь с резистором R₆ (рис. 1.3) и определим ЭДС эквивалентного генератора.

Узловое напряжение

Рис. 1.3

 

где

 

Токи в ветвях

I₂ = (E₂ + U_df ·g₂ = (16 + 9,636)·0,1111 = 2,8484 A;

I₃ = (E₃ - U_df)g₃ = (30 – 9,636)·0,1754 = 3,5727 A

ЭДС эквивалентного генератора

E = U_ba = I₃R₄ + I₂R₅ = 3,5727·2 +2,8484·5 = 21,387 B

Рис.1.4

Рис. 1.5

Сопротивление эквивалентного генератора R_ba (рис. 1.4):

 

Преобразуем треугольник сопротивлений R₃+R₀₃, R₄, R₁+R₀₁ в эквивалентную звезду R₁₃, R₁₄, R₃₄ (рис.1.5).

Сопротивления эквивалентной звезды

Сопротивление эквивалентного генератора

Ток: что совпадает с ранее полученным значением.

 

5. Показания вольтметра: U_V = = = 6,414 B.

Баланс мощностей

- мощность ЭДС

- мощность, рассеиваемая на приемниках

Баланс мощностей соблюдается P_и. = P_пр. =200,9 Вт

6. Для построения потенциальной диаграммы (рис. 1.6) определим значения

потенциалов точек внешнего контура цепи рис. 1.1.

Примем потенциал точки a равным нулю

тогда

 

 

 

 

	Рис. 1.6.

 

Пример 2. Для цепи однофазного синусоидального тока частотой f = 50 Гц (рис.2.1) выполнить следующее:

- определить токи во всех ветвях и

напряжения на всех элементах;

- составить баланс мощностей;

- определить показания вольтметра и

ваттметра;

- построить в масштабе на комплексной

плоскости векторную диаграмму токов и

топографическую диаграмму напряжений.

Е = 100 В; R₁ = 10 Ом; L₁ = 15,9 мГн; C₂ = 300 мкФ; R₃ = 100 Ом; L₃ = 115 мГн

Решение

1. Реактивные сопротивления цепи

= 2pfL₁ = 2·3,14·50·15,9·10 ^{– 3} = 5 Ом;

= 1/2pfC₂ = 1/(2·3,14·50·300·10 ^-6 ) = 10,61 Ом;

= 2pfL₃ = 2·3,14·50·115·10 ^{– 3} = 36,128 Ом

2. Полные сопротивления ветвей

Z ₁ = R₁ + j = 10 + j5 Ом;

Z ₂ = -j = -j10,61 Ом;

Z ₃ = R₃ + j = 10 + j36,128 Ом

3. Эквивалентное сопротивление параллельных ветвей

4. Полное сопротивление всей цепи

Z = Z ₁+ Z ₂₃ = 10 + j5 + 1,057 – j10,88 = 11,057 –j5,88 = 12,523e ^–j28°Ом

4. Ток

= 100/12,523e ^–j28°= 7,985e ^j28° = 7,05 + j3,749 A

6. Напряжение на параллельных ветвях

= 7,985e ^j28° 10,93e ^–j84°27´ = 87,287e ^–j56°27´ = 48,242 –j72,744 В

7. Токи

= (48,242 –j72,744)/(-j10,61) = 6,856 +j4,547 = 8,227e ^j33°33´ A;

=(48,242 –j72,744)/(10 + j36,128)= 0,194 –j0,798 =

= 0,821e ^–j76°20´ A

8. Напряжения на отдельных элементах цепи

= I₁R₁ = 7,985·10 = 79,85 В; = 7,985·5 =39,93 B;

= 8,227·10,61 = 87,287 В; = I₃R₃ = 0,821·100 = 82,1 В; 0,821·36,128 = 29,66 В

9. Баланс мощностей

Полная мощность источника ЭДС

_и.=P_и.+jQ_и.= = 100(7,05 –j3,749) = 705 – j374,9 BA

Мощности приемников

- активная P_пр.=I₁²R₁+ I₃²R₃= 7,985²·10+ 0,821²·100 =705 Вт;

- реактивная Q_пр.=I₁² - I₂² + I₃² =

= 7,985²·5 – 8,227²·10,61 + 0,821²·36,128 = -374,9 вар

Баланс мощностей соблюдается: P_и. = P_пр = 705 Вт; Q_и. = Q_пр.= -374,9 вар

10. Показания приборов:

- ваттметра P_W = P_и. = P_пр= 705 Вт;

- вольтметра U_V = = 47,7 В, где

11. Векторная диаграмма токов и топографическая диаграмма напряжений

показаны на рис. 2.2

На комплексной плоскости откладываем векторы токов под углами относительно действительной оси +1, соответственно:

= 28°; = -33°33´; = -76°20´

Для построения топографической диаграммы определим потенциалы точек цепи (рис. 2.1).

Примем потенциал точки a равным нулю тогда:

(0,194 – j0,798)·j36,128 = 28,83+ j7,009 B;

28,83+ j7,009+ (0,194 – j0,798)·100 =48,242 – j72,744 B;

48,242 – j72,744 + (7,05 + j3,749)·j5 = 29,497- j37,49 B;

29,497- j37,49 + (7,05 + j3,749)·10 =100 B;

 

 

Пример 3. Приемник (рис. 3.1), соединенный в звезду без нулевого провода, питается от сети с линейным напряжением U=208 В.

Сопротивления фаз приемника:

Z _a = (8 + j6) Ом; Z _b = (8 – j6) Ом; Z _c = 25 Ом.

Определить:

- фазные и линейные токи приемника;

- активную, реактивную и полную мощности приемника;

- коэффициент мощности приемника;

- рассчитать параметры цепи при обрыве фазы с;

- рассчитать параметры цепи при коротком замыкании фазы a;

- построить для всех режимов топографические диаграммы напряжений и векторные диаграммы токов.

Нормальный режим работы

Фазное напряжение источника

Комплексы фазных напряжений источника

В;

В

Комплексы проводимостей фаз приемника

Y _a

Y _b

Y _c