Деление десятичных дробей (продолжение)

Методический комментарий

В учебнике на конкретном примере показано, как разрешить проблему деления двух десятичных дробей, когда при делении уголком процесс оказывается бесконечным. Рассматриваются два приёма. В первом используют замену десятичных дробей обыкновенными, во втором — другое обозначение действия деления (дробную черту) и преобразование полученной записи с опорой на основное свойство дроби.

Обратите внимание на числовые выражения, заключающие упражнения группы Б. Здесь показаны приёмы вычисления значений дробных выражений. С подобными выражениями учащиеся встретятся ещё раз в вычислениях с рациональными числами. Желательно с образцами вычисления числовых выражений, рассмотренными в упражнениях 362 и 363, познакомить всех учащихся класса.

Комментарий к упражнениям

354. г) Найдём ответ двумя способами. Получим — это 1,5.

358. Здесь, как и при решении упражнения 333, требуется интерпретация полученного результата и подбор в соответствии с этим правильного ответа.

а) Разделив 100 на 0,33, получим 303 . Ответ: 303 полные банки.

361. б) Электричка была в пути 12 мин, т. е. 0,2 ч. Найдём скорость электрички: (км/ч).

Округление десятичных дробей

Методический комментарий

Предварительно надо повторить разряды десятичной дроби и изображение десятичной дроби на координатной прямой. Выполнение упражнений типа 370 и 371 поможет более сознательному использованию таких утверждений, как «число... заключено между дробями», «дробь... ближе к числу..., чем к числу...», при изучении округления десятичных дробей.

Термин «округление» знаком учащимся. Уже в начале 5 класса округление отождествлялось с заменой первоначального числа круглым, т. е. числом с нулями на конце. При округлении десятичных дробей точно так же часть цифр справа в десятичной записи заменяется нулями, в результате получается дробь с меньшим числом десятичных знаков или целое число. Вначале округление осуществляется на содержательном уровне — по смыслу (c. 94 учебника), а затем механически — по правилу округления (с. 95 учебника).

Комментарий к упражнениям

382. а) 10,5: 8 = 1,3125 (м), т. е. примерно 1 м 31 см.

384. Дополнительный вопрос: «В каком случае допущена меньшая ошибка округления, в каком — бо́льшая?»

385. Приведём некоторые числовые иллюстрации:

1) 0,2345 ≈ 0,23 и 1,2345 ≈ 0,235;

2) 0,6784 ≈ 0,68 и 0,6784 ≈ 0,678;

3) 0,1204 ≈ 0,12 и 0,1204 ≈ 0,120 или 0,1296 ≈ 0,13 и 0,1296 ≈ 0,130.

Задачи на движение

Методический комментарий

При изучении данного пункта учащиеся развивают свои умения в решении задач на движение, которые составляют большой пласт текстовых задач в школьной математике. Здесь решаются несколько более сложные, чем в 5 классе, задачи, а кроме того, в условиях используются десятичные дроби.

В тексте учебника рассмотрены задачи на движение двух объектов в одном направлении. Надо уметь найти скорость их сближения, а затем, если известно расстояние между ними, уметь найти время их встречи, а если известно время их движения, найти расстояние, которое было между ними до встречи.

Комментарий к упражнениям

396, 397. Здесь повторяются основные понятия, связанные с движением по реке. Полезно также предложить учащимся вопрос: «На сколько скорость катера по течению больше скорости катера против течения?»

398. 2) Надо предупредить возможную ошибку учащихся: скорость дана в километрах в час, а расстояние — в метрах, поэтому необходимо привести данные к какой-либо одной единице; здесь легче 400 м выразить в километрах.

Полученный в задаче ответ «0,04 ч» целесообразно выразить в минутах, чтобы можно было реально представить себе необходимое время.

После того как задача решена, можно развить её, добавив вопрос: «За сколько минут инспектор проедет от головного автобуса до последнего, если будет ехать навстречу колонне и все данные задачи останутся прежними?»

399. Полезно разобрать разные способы решения задачи.

1-й способ. 1) 4,5 × 2 = 9 (км) — прошёл турист за 2 ч;

2) 4,5 + 4,5 = 9 (км/ч) — скорость сближения туриста и почтальона;

3) 9 × 0,5 = 4,5 (км) — расстояние, пройденное почтальоном до места встречи;

4) 9 + 4,5 = 13,5 (км) — расстояние от пункта А до пункта В.

2-й способ. 1) 2 + 0,5 = 2,5 (ч) — время движения туриста;

2)4,5 × 2,5 = 11,25 (км) — расстояние, пройденное туристом до встречи;

3) 4,5 × 0,5 = 2,25 (км) — расстояние, пройденное почтальоном до встречи;

4) 11,25 + 2,25 = 13,5 (км) — расстояние от пункта А до пункта В.

400. Возможно такое рассуждение: «Когда Саша прошёл 50 × 2 = 100 (м), вслед за ним вышел его брат. Скорость брата на 60 – 50 = 10 (км/ч) больше скорости Саши, а поэтому они стали сближаться и через 100: 10 = 10 (мин) брат догнал Сашу у стадиона. Так как теперь известны скорость брата и время его движения, то можно найти расстояние от дома до стадиона — оно равно 60 10 = 600 (м)».

402. Эту задачу так же, как и предыдущую, следует решить разными способами. В одном случае учащиеся могут рассуждать следующим образом: «Скорость сближения поездов до встречи и скорость удаления их после встречи 140 км/ч. Значит, они сближаются друг с другом или удаляются друг от друга на 70 км за 0,5 ч. Значит, расстояние в 70 км будет между ними за полчаса до встречи и через полчаса после встречи. Остаётся узнать, через какое время поезда встретятся».

При другом способе решения надо определить сумму расстояний, которые пройдут два поезда до того момента, как между ними будет 70 км. До их встречи эта сумма составит 350 – 70 = 280 (км), а после встречи 350 + 70 = 420 (км).

403. Решение можно записать так:

1) Чему равна скорость сближения лодки и плота?

9: 0,5 = 18 (км/ч).

2) Если скорость лодки против течения 15 км/ч, а скорость течения плота равна скорости течения, то чему равна удвоенная скорость течения реки?

18 – 15 = 3 (км/ч).

3) Чему равна скорость течения реки?

3: 2 = 1,5 (км/ч).

4) Чему равна собственная скорость лодки?

15 + 1,5 = 16,5 (км/ч).

Глава 5. Окружность (9 уроков)

Примерное поурочное планирование учебного материала

Пункт учебника	Число уроков	Рабочая тетрадь	Характеристика основных видов деятельности учащихся
5.1. Окружность и прямая		26—31 (с. 66—67)	Распознаватьразличные случаи взаимного расположения прямой и окружности, изображатьих с помощью чертёжных инструментов. Исследоватьсвойства взаимного расположения прямой и окружности, используя эксперимент, наблюдение, измерение, моделирование. Строитькасательную к окружности.Анализироватьспособ построения касательной к окружности, пошагово заданный рисунками, выполнять построения, осуществлятьсамоконтроль, проверяя соответствие полученного изображения заданному.Конструироватьалгоритм построения изображений, содержащих конфигурацию «касательная к окружности», строитьпо алгоритму.Формулироватьутверждения о взаимном расположении прямой и окружности
5.2. Две окружности на плоскости		32—38 (с. 68—70)	Распознаватьразличные случаи взаимного расположения двух окружностей, изображатьих с помощью чертёжных инструментов и от руки. Исследоватьсвойства взаимного расположения прямой и окружности, используя эксперимент, наблюдение, измерение, моделирование. Конструироватьалгоритм построения изображений, содержащих две окружности, касающиеся внешним и внутренним образом, строитьпо алгоритму.Формулироватьутверждения о взаимном расположении двух окружностей. Сравнивать различные случаи взаимного расположения двух окружностей
5.3. Построение треугольника		39—46 (с. 71—73)	Строить треугольник по трём сторонам, описыватьпостроение. Формулировать неравенство треугольника. Исследоватьвозможность построения треугольника по трём сторонам, используя неравенство треугольника
5.4. Круглые тела		92, 93 (с. 95)	Распознаватьцилиндр, конус, шар, изображатьих от руки, моделировать, используя бумагу, пластилин, проволоку и т. д. Исследоватьсвойства круглых тел, используя эксперимент, наблюдение, измерение, моделирование. Описыватьих свойства. Рассматривать простейшие комбинации тел: куб и шар, цилиндр и шар, куб и цилиндр, пирамида из шаров. Рассматриватьпростейшие сечения круглых тел, получаемые путём предметного или компьютерного моделирования, определятьих вид. Распознавать развёртки конуса, цилиндра, моделировать конус и цилиндр из развёрток
Обзор и контроль

 

Основные цели: создать у учащихся зрительные образы основных конфигураций, связанных с взаимным расположением двух окружностей, прямой и окружности; научить строить касательную к окружности; научить выполнять построение треугольника по заданным элементам; познакомить с новыми геометрическими телами — шаром, цилиндром, конусом — и ввести связанную с ними терминологию.

Обзор главы. Обсуждение вопроса о взаимном расположении двух окружностей целесообразно организовать так, чтобы учащиеся по ходу объяснения учителя выполняли соответствующие чертежи, а не рассматривали бы умозрительно рисунок, данный в учебнике.

Собственно говоря, работа ученика с теоретической частью пункта и заключается в том, чтобы он сам изобразил все разобранные в нём конфигурации.

При изучении пункта «Построение треугольника» учащиеся могут выполнять любые необходимые им измерения и использовать для построения различные инструменты — транспортир, линейку, угольник, циркуль. При этом представление о том, каких трёх элементов достаточно для того, чтобы задача на построение треугольника решалась однозначно, формируется интуитивно. Проблема равенства вообще не должна обсуждаться.

Основным результатом изучения данного пункта должны стать умения строить треугольник по трём сторонам, по двум сторонам и углу между ними и, как частные случаи, равносторонний и равнобедренный треугольники. Кроме того, учащиеся должны понимать, что не любая тройка чисел может стать сторонами треугольника.

При этом надо помнить, что все построения целесообразно выполнять на нелинованной бумаге, с тем чтобы линии сетки не мешали восприятию создаваемой конфигурации. При таких построениях клетчатый фон не несёт никакой смысловой нагрузки, однако он отвлекает на себя внимание учащихся, у них возникает желание «привязаться» к этому фону: провести сторону треугольника по линии сетки, взять вершину в её узле. Всё это частные случаи расположения, а нам необходимо сформировать прежде всего представление об общих случаях основных геометрических конфигураций.

Важный аспект данной темы — это взаимосвязи между сторонами и углами треугольника. К его обсуждению учащиеся должны подойти, уже имея некоторый опыт построения треугольников.

При изучении материала данной главы происходит дальнейшее развитие пространственных представлений и воображения учащихся. Этому, в частности, служит материал п. 5.4 «Круглые тела».

Главная идея здесь — рассматривать предметные модели круглых тел и сопоставлять их с соответствующими проекционными изображениями. Учащиеся должны иметь возможность промоделировать все ситуации, заданные в этом пункте. Они могут работать с готовыми моделями, вылепленными из пластилина или свёрнутыми из бумаги. Научите их сворачивать цилиндрическую поверхность из прямоугольного листа бумаги (разберите два случая), используйте различные упаковочные коробочки.

Материалы для контроля.

Пособие «Контрольные работы». Проверочная работа 4. Окружности.

Окружность и прямая

Комментарий к упражнениям

411. Опорой может служить рисунок 5.3 учебника.

415. Помогут свойства клетчатой сетки и рисунок 5.3 учебника.

Две окружности на плоскости

Комментарий к упражнениям

420. Если учащиеся затрудняются при решении задачи, можно посоветовать им воспроизвести рисунок в тетради или найти соответствующий случай на рисунке 5.4.

422. Попросите учащихся найти эти случаи на рисунке 5.4 учебника.

423. При анализе рисунка необходимо зафиксировать следующее: количество окружностей, их равенство, взаимное расположение, расположение центров окружностей. После того как изображение будет выполнено, попросите сформулировать алгоритм построения.

425. Сложность задачи заключается в том, что радиусы окружностей не проходят по сторонам квадратов сетки. Следовательно, надо сделать мысленный (или логический) переход к одному из таких радиусов.

Построение треугольника

Комментарий к упражнениям

436. Задание требует аккуратности и чёткости построений, терпения.

437. После того как построение будет выполнено, попросите учащихся сформулировать алгоритм построения.

438. Необходимо составить все тройки значений длин отрезков и применить к каждой неравенство треугольника.

Круглые тела

Комментарий к упражнениям

447. Необходимо измерить расстояние от отметины на стене до плоскости пола. Это будет радиус шара — в данном случае арбуза.

449. Считать так же, как и кубики, укладываемые в коробку: сколько в одном ряду, сколько рядов, сколько слоёв (ярусов).

451. Для создания этой конструкции нужно взять для начала 4 теннисных шарика и соединить их в точках касания с помощью пластилина.

 

 

Глава 6. Отношения и проценты (14 уроков)

Примерное поурочное планирование учебного материала

Пункт учебника	Число уроков	Рабочая тетрадь	Дидактические материалы	Характеристика основных видов деятельности учащихся
6.1. Что такое отношение		79—80 (с. 32)	О-31, П-22	Объяснять, что показывает отношение двух чисел, использовать и понимать стандартные обороты речи со словом «отношение». Составлять отношения, объяснять содержательный смысл составленного отношения. Объяснять, как находят отношение одноимённых и разноимённых величин, находить отношения величин. Моделироватьотношения величин с помощью рисунков и чертежей. Распознавать проблемы, для решения которых требуется применение понятия отношения, в том числе проблемы из реальной жизни, и решать их. Анализироватьвзаимосвязь отношений сторон квадратов, их периметров и площадей. Объяснять, что показывает масштаб (карты, плана, чертежа, модели). Применятьзнания о масштабе для решения задач практического характера. Строить «копии» фигуры в заданном масштабе
6.2. Деление в данном отношении		—	О-32, П-23	Решать задачи на деление чисел и величин в данном отношении, в том числе задачи практического характера. Анализировать,как при постоянном периметре меняетсяплощадь прямоугольника в зависимости от отношения его сторон
6.3. «Главная» задача на проценты		75, 77 (с. 30)	О-33, П-24	Выражать проценты десятичной дробью. Характеризовать доли величины различными эквивалентными способами — с помощью десятичной или обыкновенной дроби, процентов. Решать задачи на нахождение нескольких процентов величины, на увеличение (уменьшение) величины на несколько процентов, на нахождение величины по её проценту. Применять понятие процента для решения задач практического содержания, задач с реальными данными. Выполнятьсамоконтроль при нахождении процентов величины,используя приёмы прикидки
6.4. Выражение отношения в процентах		76, 78 (с. 30—31)	О-34, О-35, «Проверь себя», П-25	Переходить от десятичной дроби к процентам. Выражать отношение двух величин в процентах. Решать задачи на нахождение процентного отношения двух величин, в том числе с задачи с практическим контекстом, с реальными данными. Анализировать текст задачи, моделировать условие с помощью схем и рисунков, объяснять полученный результат
Обзор и контроль

 

Основные цели: ввести понятие отношения, продолжить изучение процентов, развить навыки прикидки и оценки.

Обзор главы. Понятие отношения вводится в ходе рассмотрения некоторых жизненных ситуаций. В результате изучения материала учащиеся должны научиться находить отношение двух величин, а также решать задачи на деление величины в данном отношении.

Продолжается развитие представлений учащихся о процентах. Теперь проценты рассматриваются в связи с десятичными дробями. Учащиеся должны научиться выражать процент десятичной дробью, переходить от десятичной дроби к процентам, решать задачи на вычисление процента от некоторой величины, а также выражать отношение двух величин в процентах.

Большое место среди задач учебника продолжают занимать задачи на прикидку, на выработку «ощущения» процента как определённой доли величины, на применение знаний в практических ситуациях.

Материалы для контроля.

Пособие «Контрольные работы». Зачёт 4. Отношения и проценты.

Пособие «Тематические тесты». Тест 9. Отношения и проценты.

Что такое отношение

Методический комментарий

Введению термина «отношение» предшествует обсуждение важного практического вопроса о различных способах сравнения чисел и величин. Пример 1 (учебник, с. 122) служит иллюстрацией сравнения величин путём нахождения их отношений. В ходе упражнений учащиеся от термина «частное» переходят к термину «отношение», учатся составлять отношения, объяснять смысл каждого из составленных отношений. Заметим, что в этом пункте рассматриваются отношения как одноимённых, так и разноимённых величин. Разбирая материал, надо подчеркнуть, что в действиях с одноимёнными величинами данные сначала выражают в одних единицах и затем находят отношение (число, упражнения 469—471); в действиях с разноимёнными величинами получают новую величину (упражнение 472). С понятием «отношение» непосредственно связано понятие «масштаб». Выполнение упражнений 475, 476, 481—484, включённых в этот пункт, будет способствовать формированию необходимых практических навыков, используемых в смежных дисциплинах.

Комментарий к упражнениям

462. а) Дополнительный вопрос: «Что показывает каждое из отношений?» Например, отношение показывает, во сколькораз длина АВ больше длины АС, а отношение — какую часть длина AC составляет от длины AB.

466. б) Так как отношение меньше 1, то АС меньше ВС, а поэтому точку С надо отметить ближе к точке А.

474. а) Составим отношения и сравним их: , , , следовательно, результат у Бориса лучше.

478, 479. Выполняются устно. Ученик должен объяснить смысл каждого из отношений.

480. Равны отношения сторон и периметров квадратов. Полезно выполнить рисунок и ещё раз проиллюстрировать тот факт, что отношение площадей квадратов не равно отношению их сторон. Можно предложить учащимся ещё несколько аналогичных задач, изменив числовые данные.

Деление в данном отношении

Методический комментарий

Умение решать задачи на деление в данном отношении базируется на умении решать задачи на части. Поэтому в слабом классе, прежде чем рассматривать пример (учебник, с. 128), можно предложить подготовительное упражнение:

1) Возьмём отрезок АВ и разделим его на 5 равных частей и отметим на нём точку С (рис. 5). В каком отношении точка С делит отрезок АВ?

2) Понятно, что АС: СВ = 2: 3. Если длина АВ равна 15 см, то можно найти длины образовавшихся частей: АС = 15: 5 × 2 = 6 (см), СВ =
= 15: 5 × 3 = 9 (см).

Деление величин в данном отношении удобно иллюстрировать с помощью рисунков. Советуем на первом этапе чаще «рисовать» задачу. Например, к задаче 489 «а» можно сделать схематический рисунок (рис. 6). К таким схемам учащиеся привыкли уже в 5 классе, решая задачи на части.

Комментарий к упражнениям

490. б) Можно рассмотреть разные приёмы вычисления, например, такие: (ч) = 40 (мин); (ч) = 50 (мин). Можно выразить 1,5 ч в минутах и затем выполнять вычисления.

491. а) Выразим массу в одних единицах измерения:

2 кг 550 г = 2550 г, или 2 кг 550 г = 2,55 кг.

Обратите внимание учащихся на то, что в ответе к этой задаче указываем только одну величину:

1 кг 200 г (1,2 кг).

494. Целесообразно решить задачу на доске, разделив её на 4 части.
В тетради решение можно представить наглядно, изображая прямоугольники в масштабе, приняв за длину периметра, например, 36 клеточек.

495. Сначала найдём, сколько частей приходится на отрезок СВ: 5 – 2 = 3 (части). Отсюда получаем: а) АС: СВ = 2: 3; б) СВ: АВ = 3: 5; в) АВ: АС =
= 5: 2; г) АВ: СВ = 5: 3.

496. Если отношение числа мальчиков к числу девочек равно 5: 4, то число мальчиков составляет 5 частей, девочек — 4 такие же части, а число всех учащихся школы — 9 таких же частей. Поэтому мальчики от числа всех учащихся школы составляют , а девочки — .

497. Сначала надо найти отношение, в котором хозяин разделил корм:
9 кг к 3 кг — это 9: 3, т. е. 3: 1. Ответ: .

498. Эта подготовительная задача для решения задач группы Б. Надо уметь определять, какая из двух величин, заданных в отношении, дана в условии, уметь выразить разницу двух данных величин «в частях». Целесообразно в классе последовательно решить все задачи под этим номером.

501. Всё число карандашей надо выразить в частях. Число карандашей в маленькой коробке составляет 5 частей, а в большой — 9 частей. В трёх маленьких коробках 15 частей, а в двух больших коробках — 18 частей. Имеем: на 15 + 18 = 33 (части) приходится 66 карандашей, следовательно, на 1 часть — 2 карандаша. В маленькой коробке 2 × 5 = 10 (карандашей), в большой коробке 2 × 9 = 18 (карандашей).

503. Задача трудная, поэтому для лучшего понимания на доске желательно выполнить рисунок (рис. 7). Теперь становится понятно, что число чижей составляет 5 частей, ужей — 4 части, ежей — 2 части, а всего
11 частей. После этого можно показать другое рассуждение: умножив оба члена второго отношения на 2 (чтобы первый его член стал равен 4), получим 2: 1 = 4: 2. Получаем то же распределение частей. Ответ: 50 чижей,
40 ужей и 20 ежей.

Главная» задача на проценты

Методический комментарий

Изучение темы является продолжением работы, начатой в начале учебного года, когда было введено понятие «процент» и учащиеся познакомились с широким спектром задач, в которых оно встречалось. Напомним, что задачи решались преимущественно содержательно, на основе понимания смысла процента. Следующий этап в овладении понятием процента — ознакомление учащихся с возможностью связать проценты с десятичными дробями и находить процент числа умножением на дробь. Заметим, однако, что при решении задач, в которых требуется найти проценты от числа, способ решения ученик может выбирать сам.

Знание наизусть некоторых фактов (20% — это , 25% — это и т. п.) используется в решении задач, и, в частности, оно очень полезно для решения задач на прикидку (упражнение 520).

Задачи, включающие увеличение (уменьшение) величины на несколько процентов, при фронтальной работе желательно решать двумя способами, как показано в примере 3 (с. 132 учебника), но ученику следует предоставить право ограничиться первым способом или предпочесть второй.

Комментарий к упражнениям

518. а)Надо пояснить учащимся, что речь идёт об увеличении вклада на 9%.

524. Эту задачу можно решить разными способами. Вот возможное решение:

1) 0,78 × 98 000 = 76 440 (книг) — число книг на русском языке;

2) 76 440 × 0,95 = 72 618 (книг) — столько было художественной литературы и справочников на русском языке;

3) 72 618: 7 = 20 748 (книг) — столько было справочников на русском языке.

527. Формальная постановка вопроса может оказаться сложной. Поэтому рекомендуется, используя данные задачи, сделать их «сюжетными». Например, если 15% расстояния равны 12 км, найдите 5% этого расстояния.

528. Можно разбить класс на группы, разные по числу учащихся, и предложить каждой группе вычислить, сколько будет стоить для неё экскурсия.