Порядок действий в вычислениях

Методический комментарий

В этом материале нет принципиально новых идей по сравнению с тем, что изучалось в начальной школе. Тем не менее уделить внимание вопросу о порядке действий здесь необходимо: практика показывает, что значительная часть учащихся в начальной школе не овладевает правилами выполнения действий.

Среди заданий данного пункта основной акцент делается на выражения, содержащие действия разных ступеней. Эти упражнения довольно трудоёмки, и поэтому выработка умения установить порядок выполнения действий может «потеряться» в большом объёме технической работы. Поэтому целесообразно предлагать учащимся специальные упражнения, в которых требуется только установить и обозначить порядок выполнения действий (см., например, соответствующие работы в дидактических материалах).

Желательно дать возможность учащимся контролировать промежуточные результаты при вычислении значений «длинных» выражений (типа упражнения 241). Для этого нужно сделать так, чтобы через 2—3 действия они могли сравнить свой ответ с ответом соседа либо с ответом, предложенным учителем. (Ниже для учителя приводятся промежуточные результаты и ответы к заданиям 224, 230—232, 240—241.)

Необходимо обратить внимание на то, чтобы учащиеся грамотно записывали процесс решения. Бывает так, что при записи хода вычислений «цепочкой» учащиеся теряют «фрагмент» исходного выражения. Например, встречаются такие неверные записи:

282: (150 – 8 · 7) + 14 · 7 = 282: (150 – 56) =

= 282: 94 = 3 + 98 = 101.

Не нужно стремиться выполнить все задания этого пункта за время, отведённое в планировании на его рассмотрение. Упражнения здесь даны c избытком, и они должны отбираться с учётом реальной потребности совершенствования вычислительной подготовки детей. Главное, что должно быть достигнуто на этих уроках, — твёрдо усвоен порядок выполнения действий. Кроме того, необходимо уделить внимание текстовым задачам. Задания, не использованные в ходе отведённых на изучение этого пункта уроков, целесообразно включать в уроки и домашние задания при изучении последующих тем курса.

 

Комментарий к упражнениям

224. а) 1854 + 636 = 2490;

б) 3320 – 1090 + 175 = 2230 + 175 = 2405;

в) 52: 4 · 20 = 13 · 20 = 260;

г) 400 · 50: 125 = 20 000: 125 = 160.

230. б) 2346: 23 · 15 = 102 · 15 = 1530;

в) 6422 – 24 · 31 = 6422 – 744 = 5678;

г) 2678: 26 + 297 = 103 + 297 = 400;

д) 77 · 104 – 99 = 8008 – 99 = 7909;

е) 874 – (2430 – 1999) = 874 – 431 = 443;

ж) (59 + 326) · 60 = 385 · 60 = 23 100;

з) 560 · 35 – 898 = 19 600 – 898 = 18 702.

231. а) 9 · 451 + 941 = 4059 + 941 = 5000;

б) 8000 – 530 · 15 = 8000 – 7950 = 50;

в) 101 · 57 = 5757;

г) 819 – 35 + 206 = 784 + 206 = 990;

д) 256 + 1422: 9 = 256 + 158 = 414;

е) (201 – 102) · 101 = 99 · 101 = 9999.

232. а) 136 · 80 – 10 100 = 780;

б) 140 + 210 + 982 = 1332;

в) 1953 + (17 432 – 12 488): 16 = 1953 + 309 = 2262;

г) 6010 – (6760 – 830) = 80.

234—236. Целесообразно предложить учащимся прокомментировать составленное выражение.

235. а) Многие учащиеся при составлении выражения используют скобки: (12 · 40 + 8 · 30) – 340. Не надо настаивать, чтобы скобки были сняты.

236. а) Возможны разные выражения (46 + 42) · 4 и 46 · 4 + 42 · 4, которые составлены по смыслу задачи и имеют разный комментарий.

237. Возможны такие варианты:

25 + 7 · 3 – 2; 25 · 7 + 3 – 2; 25 – 7 + 3 · 2;

25 + 7 – 3 · 2; 25 · 7 – 3 + 2; 25 – 7 · 3 + 2.

239. Например:

а) 3 · (3 + 3: 3 – 3) = 3; 3 · (3 + 3): 3 – 3 = 3;

б) 3 · (3 + 3: 3) – 3 = 9; (3 · 3 + 3): 3 – 3 = 1.

240. а) 97 + 506 + 36 944 – 34 787 = 2760;

б) 988 + 675 = 1663;

в) 4080 – 3009 + 32 849 = 33 920;

г) 415 400 – 15 000 = 400 400.

241. а) 256 036 – 255 000 = 1036;

б) 144 + 27 = 171;

в) (5958 – 5440): 14 + 3718 = 3755;

г) (429 336 + 5280): 24 – 8154 = 18 109 – 8154 = 9955.

242. 110 = 15 · 2 + 10 · 8 = 15 · 4 + 10 · 5 = 15 · 6 + 10 · 2.

248. Если сложить вес трёх пар, то он будет равен удвоенному весу трёх мальчиков: 55 + 58 + 59 = 172 (кг). Тогда вес трёх мальчиков равен 172: 2 = = 86 (кг). Это даёт возможность найти вес каждого: Петя весит 28 кг, Коля — 27 кг, Слава — 31 кг.

250. При решении задач необходимо учитывать, что цифры в записи числа могут повторяться.

а) Проще всего записать все двузначные числа, которые можно составить, используя только цифры 2, 3 и 4, и выбросить из полученного списка нечётные числа:

22, 23, 24,

32, 33, 34,

42, 43, 44,

Итак, ответом являются: 22, 24, 32, 34, 42, 44; всего 6 чисел.

б) Можно поступить таким же образом, как в пункте «а», но работы при этом будет несколько больше. Поэтому можно поступить так: учитывая, что среди данных цифр только одна нечётная — цифра 3, будем выписывать числа (в порядке возрастания), оканчивающиеся цифрой 3. При этом можно воспользоваться списком всех двузначных чисел, полученных при решении задачи в пункте «а», приписав к каждому справа цифру 3:

223, 233, 243,

323, 333, 343,

423, 433, 443.

Ответ: Всего 9 чисел.

Степень числа

Методический комментарий

Это место курса — первый проход в изучении степеней. Здесь учащиеся должны научиться понимать смысл таких записей, как 2⁵, 3¹⁰, уметь читать их, представлять степень в виде произведения равных множителей и наоборот, понимать и уметь употреблять термины «степень», «показатель степени», «основание степени». Буквенная запись пока не используется, определение степени в явном виде не формулируется и случай, когда показатель степени равен единице, не рассматривается.

Что касается вычислительных умений, то они относятся в основном лишь к нахождению квадратов и кубов чисел. Надо стараться, чтобы учащиеся постепенно запомнили квадраты чисел в рамках таблицы умножения (9² = 81, 8² = 64 и др.), а также некоторые кубы чисел (2³ = 8, 3³ = 27, 5³ = 125,
10³ = 1000). Нужно также поощрять запоминание некоторых часто встречающихся степеней, таких, как 11², 12², 13², 15², 4³, 5³.

Обращается внимание на порядок действий при вычислении значений выражений, содержащих степени. Разобранные примеры ориентируют на то, чтобы учащиеся привыкли анализировать структуру выражения, понимать его смысл.

Полезно вернуться к некоторым упражнениям из предыдущих пунктов и выполнить их ещё раз, используя понятие степени. Например, в упражнении 214, а можно представить числа рассмотренной последовательности в виде степени с основанием 2.

Обратим внимание, что в упражнениях 276—279 используются уже знакомые учащимся приёмы беглой проверки результата — проверка по последней цифре, прикидка с целью определения порядка числа в ответе, оценка путём сравнения с некоторыми круглыми числами.

Комментарий к упражнениям

256. ж) 15³ = 3375; з) 42² = 1764.

265. б) 12 544; в) 11; е) 1125.

266. а) 1350; б) 845; в) 12 800; г) 10 206; д) 256; е) 729; ж) 14 400; з) 6860.

271. а) Это последовательные квадраты натуральных чисел. На сотом месте стоит число 100² = 10 000.

б) Это кубы натуральных чисел. На сотом месте — число 100³ = = 1 000 000.

273. а) 1681 + 1849 + 2025 = 5555;

б) 1331 + 1728 + 2197 + 2744 = 8000;

в) 8 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 = 1000.

275. а) 21² = 441 и 29² = 841 — два решения; б) 34² = 1156 и 36² = 1296 — два решения; в) 75² = 5625 — одно решение; г) 23² = 529 и 27² = 729 — два решения.

283. а) Выписывая числа, учитываем, что на третьем месте в числе могут стоять только цифры 2 или 4; цифра в записи числа может присутствовать не более одного раза. Чтобы не пропустить ни одного числа, придерживаемся порядка выписывания чисел по возрастанию:

124, 132, 134, 142,

214, 234,

312, 314, 324, 342,

412, 432.

Всего 12 чисел.

б) Понятно, что нечётных чисел столько же, сколько чётных, т. е. 12:

123, 143,

213, 231, 241, 243,

321, 341,

413, 421, 423, 431.

Задачи на движение

Методический комментарий

С этого пункта начинается обучение приёмам решения некоторых видов текстовых задач. В связи с этим остановимся на общих методических установках, которые следует иметь в виду при изложении материала данного пункта и в последующем.

1. Обучение решению текстовых задач арифметическим способом нацелено прежде всего на развитие мышления учащегося. Поэтому здесь важен не столько результат, сколько сам процесс решения задачи. Способ рассуждения должен быть представлен максимально ясно и доступно.

2. Этот вид учебных заданий сложен для учащихся, и лишь немногие задачи включены в обязательные результаты обучения по курсу 5 класса. Решать можно и нужно со всеми школьниками различные задачи, в том числе и сложные, но требовать от всех в обязательном порядке следует значительно меньше.

3. Не следует стремиться прорешать все задачи, содержащиеся в учебнике и дидактических материалах за время, отведённое на изучение данного вида задач в поурочном планировании. Оставшиеся задачи можно включать в уроки при изучении других вопросов. Кроме того, учитывая уровень подготовки учащихся, можно отказаться от рассмотрения некоторых задач.

4. Важно убедиться, что учащиеся понимают все термины и обороты речи, используемые в тексте задачи, что они понимают саму ситуацию, описанную в ней. Иногда эту ситуацию полезно даже разыграть.

5. Не менее важно также использование в процессе решения схематических рисунков, моделей, позволяющих представить рассматриваемую ситуацию в наглядном виде. Это принципиальное условие, без которого многим учащимся трудно будет понять логику рассуждений. Учащиеся и сами должны приобрести привычку изображать условие задачи в виде схематического рисунка. Это поможет осознать и запомнить условие, увидеть способ решения задачи и проверить — убедиться в том, что задача решена верно.

6. Одна из целей решения текстовых задач арифметическим способом — развитие речи. Учащиеся должны пересказывать условие, анализировать его, при необходимости переформулировать, ставить вопросы и давать на них развёрнутые ответы.

7. При переходе к рассмотрению нового вида задач полезно полное решение хотя бы одной из них (по вопросам или с пояснениями) записать в тетради, чтобы его можно было использовать в качестве образца.

Первый специальный вид текстовых задач — это задачи на движение. При изучении п. 3.2 учащиеся уже имели возможность вспомнить, как решаются простейшие задачи на движение. Здесь целесообразно ещё раз повторить, какая зависимость связывает расстояние, время и скорость движения, что означает термин «скорость» (скорость показывает, какое расстояние проходит объект в единицу времени: например, сколько километров за один час проезжает автомобиль; сколько метров за одну минуту проплывает пловец; сколько метров за одну секунду пробегает спортсмен). В связи с этим полезно проверить умение решать задачи примерно следующего содержания:

1. Автомобиль проехал 120 км за 3 ч. С какой скоростью ехал автомобиль?

2. Автомобиль едет со скоростью 60 км/ч. Какое расстояние проедет он за 4 ч?

3. Автомобиль едет со скоростью 50 км/ч. За какое время он проедет
100 км?

Текст задачи и решение целесообразно записать в тетрадях, чтобы в дальнейшем в случае затруднения учащиеся могли к ним обратиться как к опорным ситуациям. Не надо требовать от учащихся заучивания правил нахождения скорости по расстоянию и времени и т. д. Каждый раз при решении следует обращаться к здравому смыслу, рассуждать, а в случае затруднения — к опорной задаче.

Решение задач на движение в противоположных направлениях и навстречу друг другу можно начать с объяснения терминов «скорость удаления» и «скорость сближения». Нецелесообразно и неэффективно требовать от учащихся запоминания каких-либо «правил» решения данного вида задач или задавать вопросы типа: «Как найти скорость сближения?» Следует приучить учеников при решении каждой задачи рассуждать и выяснять, сближаются или удаляются друг от друга машины (пешеходы и пр.) и с какой скоростью. Существенную помощь при решении задач на движение оказывает схематический рисунок, сделанный по условию задачи.

Серия задач на движение по реке начинается с задачи 291, предназначенной для устного разбора и нацеленной на понимание вопроса о том, как меняется скорость при движении по течению и против течения реки.

Комментарий к упражнениям

При решении всех задач группы Б, прежде чем записывать решение, следует проговорить устно ход рассуждений и во многих случаях с опорой на рисунок. И только после того, как учащиеся поняли ход решения задачи, оформить решение письменно — с комментариями или по вопросам.

Задачи 300, 301 — это «цепочка» задач, их надо решать последовательно.

300. а) Когда Николай вышел из школы, расстояние между мальчиками было 900 м. За 5 мин Николай пройдёт 100 · 5 = 500 (м), а Андрей —
90 · 5 = 450 (м). Поэтому через 5 мин после выхода Николая между ними будет 900 + 500 + 450 = 1850 (м) (рис. 5).

Или: в тот момент, когда Николай вышел из школы, расстояние между мальчиками было 900 м. Они начали удаляться друг от друга со скоростью 190 м/мин. За 5 мин они удалились друг от друга на 950 м, и расстояние между ними стало 900 + 950 = 1850 (м).

Можно рассуждать и так: Николай находился в пути 5 мин, а Андрей — на 10 мин больше, т. е. 5 + 10 = 15 (мин). Поэтому расстояние между ними 100 · 5 + 90 · 15 = 1850 (м) (рис. 6).

Записать решение можно так:

1) 10 + 5 = 15 (мин) — время, которое находился в пути Андрей;

2) 90 · 15 = 1350 (м) — расстояние, которое Андрей прошёл за это время;

3) 100 · 5 = 500 (м) — расстояние, которое прошёл за 5 мин Николай;

4) 1350 + 500 = 1850 (м) — расстояние между мальчиками.

б) Задача обсуждается с помощью рисунка 7.

1) 20 – 10 = 10 (мин) — время, которое находился в пути Николай;

2) 100 · 10 = 1000 (м) — расстояние, которое Николай прошёл за это время;

3) 90 · 20 = 1800 (м) — расстояние, которое прошёл за 20 мин Андрей;

4) 1000 + 1800 = 2800 (м) — расстояние между мальчиками.

Задачи 302, 303 — это «цепочка» задач, их следует решать одну за другой.

302. Следует обратить внимание учащихся на то, что до выхода второго объекта первый уже прошёл какое-то расстояние. После того как это расстояние найдено, задача сводится к простой, уже хорошо знакомой задаче на встречное движение.

303. На рисунке 8 показаны два варианта решения для случая «а»,

на рисунке 9 — для случая «б».

 

304. Расстояние 540 м будет между мальчиками дважды — до встречи и после встречи (рис. 10 и 11).

 

Скорость сближения (до встречи) и удаления (после встречи) равна 360 м/мин. Получаем (900 – 540): 360 = 1 (мин) и (900 + 540): 360 = 4 (мин).

Ответ: через 1 мин и через 4 мин.

305. Собака бегала между охотниками столько минут, сколько им понадобилось пройти до встречи, т. е. 3 мин. Скорость собаки 12 км/ч = = 200 м/мин. За 3 мин собака пробежала 600 м.

Задачи 306, 307 — это «цепочка» задач, их следует решать одну за другой. Ключевой является задача 306.

306. Чтобы решить эту задачу, надо понять, что разность между скоростью катера по течению и скоростью катера против течения равна удвоенной скорости течения. Понять это поможет рисунок 12.

Полезно также параллельно с построением рисунка «проговорить» эту ситуацию: скорость катера по течению реки равна его собственной скорости плюс скорость течения; скорость катера против течения реки равна его собственной скорости минус скорость течения. Значит, скорость катера по течению больше скорости против течения на две скорости течения.

309. Запись решения можно вести так:

82² = 6724;

820² = 820 · 820 = (82 · 10) · (82 · 10) = 82 · 82 · 10 · 10 = 82² · 100 = = 672 400;

8200² = 8200 · 8200 = 82 · 82 · 100 · 100 = 82² · 10 000 = 67 240 000.

Глава 4. Использование свойств действий при вычислениях (12 уроков)

Примерное поурочное планирование учебного материала

Пункт учебника	Число уроков	Рабочая тетрадь, номер задания	Дидактические материалы	Характеристика деятельности учащихся
4.1. Свойства сложения и умножения		49, 65 (ч. 1)	—	Записывать с помощью букв переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения. Формулировать правила преобразования числовых выражений на основе свойств сложения и умножения. Использовать свойства действий для группировки слагаемых в сумме и множителей в произведении, комментировать свои действия. Анализироватьирассуждать в ходе исследования числовых закономерностей
4.2. Распредели-тельное свойство		—	О-20	Обсуждатьвозможность вычисления площади прямоугольника, составленного из двух прямоугольников, разными способами. Записывать с помощью букв распределительное свойство умножения относительно сложения (вычитания). Формулироватьиприменять правило вынесения общего множителя за скобки и выполнять обратное преобразование. Участвоватьв обсуждении возможных ошибок в цепочке преобразований числового выражения. Решатьтекстовые задачи арифметическим способом, предлагать разные способы решения
4.3. Задачи на части		—	О-21 П-15 П-16	Анализироватьиосмысливать текст задачи, переформулировать условие, извлекать необходимую информацию.Моделироватьусловие задачи, используя реальные предметы и рисунки. Распознавать задачи на части. Решать задачи по предложенному плану, планировать ход решения задачи. Оцениватьполученный ответ, осуществлять самоконтроль, проверяя ответ на соответствие условию. Применять новые способы рассуждения к решению задач, отражающих жизненные ситуации
4.4. Задачи на уравнива-ние		—	П-17	Анализировать и осмысливать текст задачи, переформулировать условие, извлекать необходимую информацию. Моделировать условие задачи, используя реальные предметы и рисунки. Распознавать задачи на уравнивание. Решать задачи по предложенному плану, планировать ход решения задачи. Оценивать полученный ответ, осуществлять самоконтроль, проверяя ответ на соответствие условию. Применять новые способы рассуждения к решению задач, отражающих жизненные ситуации
Обзор и контроль		Группировать слагаемые в сумме и множители в произведении. Раскрывать скобки в произведении и выносить в сумме общий множитель за скобки. Применять разнообразные приёмы рационализации вычислений, записывая соответствующую цепочку равенств. Решать задачи на части, на уравнивание

 

Основные цели: расширить представление учащихся о свойствах арифметических действий, продемонстрировать возможность применения свойств для преобразования числовых выражений.

Обзор главы. Основное содержание главы связано с рассмотрением переместительного и сочетательного свойств сложения и умножения, а также распределительного свойства умножения относительно сложения. Переместительное и сочетательное свойства известны учащимся из начальной школы. Новым на этом этапе является введение обобщённых свойств, которые сформулированы в виде правил преобразования суммы и произведения. С распределительным свойством учащиеся встречаются впервые. Показывается его применение для преобразования произведения в сумму и наоборот. Мотивировкой для преобразования выражений на основе свойств действий служит возможность рационализации вычислений. Кроме того, в главу включены фрагменты, посвящённые знакомству с новыми типами текстовых задач (задачи на части и задачи на уравнивание).

Материалы для контроля.

Пособие «Контрольные работы». Зачёт 3. Использование свойств действий при вычислениях.

Пособие «Тематические тесты». Тест 4. Использование свойств действий при вычислениях.