Методика получения математических моделей элементов и устройств автоматизации

В общем случае процедура получения математических моделей элементов и устройств включает в себя следующие операции:

1. Выбор свойств объекта, которые подлежат отражению в модели. Этот выбор основан на анализе возможных применений модели и определяет степень универсальности ММ.

2. Сбор исходной информации о выбранных свойствах объекта. Источниками сведений могут быть опыт и знания инженера, разрабатывающего модель, научно-техническая литература, прежде всего справочная, описания прототипов - имеющихся ММ для элементов, близких по свойствам к исследуемому, результаты экспериментального измерения параметров и т.п.

3. Синтез структуры ММ. Структура ММ - общий вид математических соотношений модели без конкретизации числовых значений фигурирующих в них параметров. Структура модели может быть представлена также в графической форме, например в виде эквивалентной схемы или графа. Синтез структуры - наиболее ответственная и с наибольшим трудом подлежащая формализации операция.

Моделирование технических объектов на метауровне

На метауровне используется укрупненное математическое описание объектов.

Одним из наиболее общих подходов к анализу объектов на метауровне является функциональное моделирование, развитое для анализа систем автоматического управления. В рамках этого подхода принимается ряд упрощающих предположений. Во-первых, на метауровне, как и на макроуровне, объект представляется в виде совокупности элементов, связанных друг с другом ограниченным числом связей. При этом для каждого элемента связи разделяются на входы и выходы. Во-вторых, элементы считаются однонаправленными, т.е. такими, в которых входные сигналы могут передаваться к выходам, но сигналы на выходах не могут влиять на состояние входов через внутренние связи элемента. Сигналами при этом называют изменения фазовых переменных. В-третьих, состояние любого выхода не зависит от нагрузки, т.е. от количества и вида элементов, подключенных к этому выходу. В-четвертых, состояние любой связи характеризуется не двумя, а одной фазовой переменной (типа потенциала или типа потока), что непосредственно вытекает из предыдущего допущения.

Принятие подобных допущений приводит к упрощению математических моделей элементов и методов получения математических моделей систем.

Функциональное моделирование широко используется для моделирования аналоговой радиоэлектронной аппаратуры; систем автоматического управления и регулирования с элементами не только электрической, но и иной природы; энергетических систем, функционирование которых связано с передачей между частями систем энергии, количества движения, давления и т.п.

Другим достаточно общим подходом к анализу объектов на метауровне является их представление моделями систем массового обслуживания (СМО). Модели СМО применимы во всех тех случаях, когда исследуемый объект предназначен для обслуживания многих заявок, поступающих в СМО в нерегулярные моменты времени. Особенностью моделей СМО является наличие в них элементов двух различных типов: обслуживающих аппаратов, иначе называемых ресурсами, и заявок, называемых также транзактами.

Поток заявок характеризуется временами поступления заявок. В общем случае поток можно рассматривать как случайный процесс, задаваемый функцией распределения промежутков времени между моментами поступления двух соседних заявок. Основной характеристикой потока заявок является интенсивность I, равная среднему числу заявок, поступающих в единицу времени (I/s = T - средний интервал времени между поступлениями двух соседних заявок).

Работа обслуживающего аппарата характеризуется длительностью обслуживания заявок - промежутком времени, необходимым для обслуживания. В общем случае это случайная величина, характеризуемая некоторым законом распределения. Математическое ожидание этого закона распределения - среднее время обслуживания заявки.

Законы распределения случайных величин при моделировании СМО могут быть произвольными, но наиболее часто используются распределения экспоненциальное, δ-распределения Эрланга, нормальное. Моделирование последовательности случайных чисел (в СМО это интервалы времени между поступлениями заявок и времени обслуживания), распределенных по заданному закону, выполняется на основе программного датчика чисел с равномерным распределением в интервале от 0 до 1.

Модели СМО должны описывать процессы прохождения заявок через СМО. Состояние системы в каждый момент времени выражается совокупностью переменных (аналогов фазовых переменных), имеющих преимущественно дискретный характер. Так, состояние обслуживающего аппарата описывается переменной k, которая может принимать одно из двух возможных значений - «свободен», «занят», а также длинами очередей на входах обслуживающего аппарата. Очередей может быть несколько, если в СМО фигурируют заявки нескольких различных типов (приоритетов). Состояние каждой заявки описывается переменной, значениями которой могут быть «обслуживание», «ожидание». Результатом анализа СМО должны быть значения выходных параметров (типичными выходными параметрами являются производительность СМО, среднее и максимальное время обслуживания заявок, средние длины очередей и коэффициенты загрузки обслуживающих аппаратов, вероятности обслуживания заявок за время не выше заданного и т.п.). Исходные данные при моделировании выражаются параметрами обслуживающих аппаратов и параметрами источников заявок. Обычно модели обслуживающих аппаратов и источников заявок представляют собой законы распределения таких величин, как время обслуживания заявки, интервал времени между появлениями заявок. Поэтому внутренними и внешними параметрами, значения которых указываются в выходных данных, являются параметры этих законов распределения. Получение исходных данных и обеспечение их достоверности - важная проблема анализа объектов на метауровне.

Математические модели СМО могут быть аналитическими и имитационными.

Аналитическая модель СМО представляет собой совокупность явных зависимостей выходных параметров от параметров внутренних и внешних. Однако получение аналитических моделей оказывается возможным лишь в отдельных случаях сравнительно простых СМО. В общем случае используются имитационные модели, несмотря на значительные затраты вычислительных ресурсов, связанных с их реализацией.

Имитационная модель СМО представляет собой алгоритм, описывающий изменения переменных состояния на моделируемом отрезке времени. Предполагается, что изменение состояния любой переменной, называемое событием, происходит мгновенно в некоторый момент времени. Имитационное моделирование СМО - воспроизведение последовательности событий в системе при вероятностном характере параметров системы. Имитация функционирования системы при совершении большого числа событий позволяет произвести статистическую обработку накопленных результатов и оценить значения выходных параметров.

Алгоритм имитационного моделирования СМО можно кратко описать следующим образом. Опрашиваются входные источники заявок, в результате определяются моменты появления заявок на входах СМО. Сведения об этих событиях заносятся в список событий, который упорядочен по моментам наступления событий. Далее процесс имитации управляется списком событий. Из этого списка выбирается ближайшее по времени совершения событие и имитируется продвижение в СМО заявки, связанной с этим событием. Продвижение имитируется до тех пор, пока заявка не окажется задержанной в некотором обслуживающем аппарате. Если при этом заявка входит в состояние обслуживания, то по математической модели обслуживающего аппарата определяется длительность обслуживания и, следовательно, становится предвидимым момент наступления очередного события, связанного с этой заявкой. Сведения об этом будущем событии заносятся в список событий. Далее аналогичным образом выбирается ближайшее событие из списка событий и производится имитация поведения заявки, связанной с этим событием, и т.п. В процессе прохождения заявок по СМО накапливаются данные, необходимые для последующего расчета выходных параметров.

В настоящее время в системах автоматизации проектирования все более широкое применение находят различные типы мультипроцессорных систем. Особенностью таких систем является наличие нескольких вычислительных процессоров, которые, как правило, имеют общую оперативную память и общие внешние устройства. Мультипроцессорные системы применяются в том случае, когда целесообразно распараллелить процесс вычисления или использовать одни и те же вычислительные ресурсы разными задачами. При оценке эффективности организации САПР рассматривается как система массового обслуживания.