Сложение и вычитание в пределах 20

Овладение вычислительными приемами сложения и вычитания в пределах 20 основано на хорошем знании сложения и вычитания в пределах 10, знании нумерации и состава чисел в пределах 20.

При изучении действий сложения и вычитания в пределах 20, как и при изучении соответствующих действий в пределах 10, большое значение имеют наглядность и практическая деятельность с пособиями самих учащихся. Поэтому все виды наглядных пособий, используемых при изучении нумерации, найдут примене­ние и при изучении арифметических действий.

Однако по сравнению с изучением действий в пределах 10 большое внимание уделяется использованию условно-предметных пособий: брусков и кубиков арифметического ящика, а6аков, сче­тов.

Действия сложения и вычитания целесообразно изучать парал­лельно - после знакомства с определенным случаем сложения изучать соответствующий случай вычитания в сопоставлении со сложением, например: 10+7, 7+10, 17- 7 и 17-10. Учитель должен постоянно обращать внимание на взаимосвязь этих дейст­вий.

Во 2-м классе учащиеся должны знать название компонентов действий сложения и вычитания:

10 + 7 = 17

1-е слагаемое 2-е слагаемое сумма

17 – 7 = 10

Уменьшаемое вычитаемое разность

Покажем последовательность и приемы изучения сложения я вычитания в пределах 20.

I. Приемы сложения и вычитания, основан­ные на знаниях десятичного состава числа (10+3, 13-3, 13-10) и нумерации чисел в пределах 20 (16+1, 17-1).

При решении этих примеров закрепляются взаимосвязь сложе­ния и вычитания, переместительное свойство сложения, названия компонентов и результатов действий. При этом учащиеся посте­пенно перестают пользоваться наглядными пособиями, но от них требуется пояснение действий.

II. Сложение и вычитание без перехода через десяток.

Выполнение действий основано на разложении компонентов на десятки и единицы:

а) к двузначному числу прибавляется однозначное. Из дву­значного числа вычитается однозначное.

Сначала нужно рассмотреть случаи, когда количество единиц в двузначном числе больше, чем во втором слагаемом (13 + 2, 14+3), и только потом включать случаи вида 11+6, 13+5, хотя приемы их решения одинаковы.

Объяснение сопровождается использованием наглядных посо­бий и подробной записью решения, например: 13+2. Первое сла­гаемое (13) состоит из 1 десятка и 3 единиц: 1 десяток палочек и еще 3 палочки. Второе слагаемое 2. Прибавляем 2 палочки. 3 палочки и 2 палочки - 5 палочек и 1 десяток палочек. Получи­лось 1 десяток (палочек) и 5 единиц (палочек) - это число 15. Значит, 13+2=15. Подобным образом объясняются и случаи вы­читания.

Важно постоянно подчеркивать, что складываются и вычитают­ся при решении таких примеров единицы. При записи примера учащиеся могут подчеркивать единицы: 1 4 + 2 =1 6, 1 6 - 2 =1 4. Иногда целесообразно единицы и десятки записывать разным цве­том. На доске их можно обводить кружочком.

При решении примеров на сложение закрепляется умение уча­щихся пользоваться переместительным законом сложения: реше­ние примера 2+14 проводится на основе решения примера 14+2.

Полезно сопоставлять примеры на сложение и вычитание в пределах 20 с примерами на те же действия в пределах 10:

7+2=9	9-2=7	5+3= …	8-3= …
2+7=9	9-7=2	3+…=	8-…=
17+2=19	19-2=17	17+2=	19-2=
2+17=19	19-7=12	2+…=	19-…=

б) получение суммы 20 и вычитание однозначного числа из 20:

15+5 17+3 20-5 20-3

Решение примеров такого вида, особенно на вычитание, вызы­вает значительные трудности у многих умственно отсталых школьников. Учащихся смущает то, что при сложении единиц в разряде единиц получается нуль. Разложив 20 на два десятка и вычтя из одного десятка заданное количество единиц, дети забы­вают этот результат прибавить к десятку и получают ошибочный ответ: 20-3=7.

Использование наглядных пособий, актуализация имеющихся знаний и опора на них помогают преодолеть эти трудности. Необходимо повторить таблицу сложения и вычитания в пределах 10, дополнение однозначного числа до десятка, вычитание из 10. Объяснение сложения не представляет ничего нового по сравнению с объяснением решения примеров вида 13+2, кроме образова­ния 1 десятка: 5+5=10 (или 1 дес.); 1 дес.+1 дес.=2 дес.=20.

Рассмотрим пример на вычитание: 20-3. В числе 20 нуль единиц, а нужно вычесть 3 единицы. Занимаем 1 десяток, раздробляем его на 10 единиц и вычитаем 3 единицы, получаем 7 единиц. Всего остается 1 десяток и 7 единиц, или 17. Проведенное рассуждение записывается так: 2 -3=17.

В случае затруднений при понимании и приема вычислений объяснение можно провести с помощью палочек, связанных в пучки. Например, 20 -это 2 десятка (берем 2 пучка палочек) и нуль единиц. Занимаем 1 десяток и раздробляем его на 10 единиц (развязываем пучок палочек). 10 единиц минус 3 единицы получается 7 единиц. Всего остается 1 десяток и 7 единиц, или 17.

Решаются примеры на перестановку слагаемых, составляются по образцу, по аналогии:

17+3	14+6	11+9=20	12+8	20-7
3+17	6+□	□+□=20	20-8	13+7

Действия сложения и вычитания сопоставляются: 15+5=20; 20-5=15;

в) вычитание из двузначного числа двузначного: 15-12; 20-15. Решение примеров такого вида можно объяснить разными приемами:

1) разложить уменьшаемое и вычитаемое на десятки и единицы и вычитать десятки из десятков, единицы из единиц;

2) разложить вычитаемое на десяток и единицы. Вычитать из уменьшаемого десятки, а из полученного числа - единицы.

Учащимся трудно знакомиться сразу с двумя приемами и даже трудно последовательно знакомиться сначала с одним, а потом с другим приемом. Умственно отсталые школьники самостоятельно не могут вы брать, когда целесообразнее использовать тот или иной прием. Поэтому знакомство с двумя приемами только запутывает их. Лучше отработать хорошо один прием вычислений и научить учащихся самостоятельно пользоваться им. Объяснение вычитания проводится на наглядных пособиях.

Например, 15-12. «Какое действие надо выполнить? Прочи­тайте пример. Назовите уменьшаемое, вычитаемое. Сколько зна­ков имеют эти числа? Как они называются? Сегодня будем учиться вычитать из двузначного числа двузначное. Из чего состоит число 15? Отложим его на счетах. Из чего состоит вычитаемое 12? Вычитать будем так: от 15 отнимем 1 десяток. Какое число осталось? От 5 единиц отнимем 2 единицы. Какое число получилось в остатке? Значит, 15-12=3».

Аналогично объясняется вычитание двузначного числа из 20 (рис. 10). Покажем на счетах последовательность вычитания двузначного числа 20:

2 0 -1 5 =5

Далее следует сопоставить решение примеров вида:

17+ 3= 20- 3= 15+2=

3+17= 20-13= 17-2=

Целесообразно также использовать прием составления одного примера на сложение с тремя примерами: одного на сложение (перестановка слагаемых) и двух на вычитание. Необходимо сопоставлять компоненты этих примеров, подчеркивать их взаимосвязь (12+5, 5+12, 17-5, 17-12).

III. Сложение и вычитание с переходом через разряд представляет наибольшие трудности для учащихся школы VIII вида. Трудности связаны с тем, что сразу происходит актуализация ранее полученных знаний, их упорядочение и после­довательное выполнение ряда логических операций. Чтобы сложить числа 7 и 5, нужно выполнить следующие операции:

1) Разложить второе слагаемое (5) на два числа так, чтобы одно из них дополняло первое слагаемое до 10.

2) Дополнить первое слагаемое до 10, Т. е. прибавить к первому слагаемому (7) одно из чисел, на которое разложили второе слагаемое (т.е. 3).

К полученному числу (10) прибавить оставшееся число (2). Учащиеся затрудняются, во-первых, в разложении второго сла­гаемого, так как, чтобы его разложить, нужно произвести мысленно две операции: а) определить, сколько единиц недостает в первом слагаемом до десятка; б) разложить второе слагаемое. Вторая трудность заключается в том, чтобы удержать в памяти число, которое осталось после дополнения первого слагаемого до десятка, например: 7+5. Учащиеся дополнили 7 до 10, но не помнят, сколько же нужно прибавить к 10.

Вычитание с переходом через десяток (12-5) тоже требует ряда операций:

1. Уменьшаемое разложить на десяток и единицы.

2. Вычитаемое разложить на два числа, одно из которых равно числу единиц уменьшаемого.

3. Вычесть единицы.

4. Вычесть из десятка оставшееся число единиц.

Учащихся вспомогательной школы в основном затрудняет вы­полнение третьей и четвертой операций.

Требуется большая подготовительная работа, тщательный под­бор материала от легкого к трудному, использование наглядности, достаточное количество упражнений, которые бы помогли учащимся овладеть навыками решения примеров данного вида. Подготовительная работа должна заключаться в повторении: а) таблицы сложения и вычитания в пределе 10; б) состава чисел первого десятка (всех возможных вариантов из двух чисел), например: 7=6+1, 7=1+6, 7=5+2, 7=2+5, 7=4+3, 7=3+4; в) дополнения чисел до десяти: 10=3+..., 10=5+..., 10=8+..., 10=3+..., 10=...+... и т. д.; г) разложения двузначного числа на десятки и единицы; д) вычитания из десяти однозначных чисел; е) рассмотрения случаев вида 17-7, 15-5.

9+1=10 12-2=10

10+1=11 10-1=9

9+1+1=11 12-2-1=9

 

Эта подготовительная работа должна проводиться систематически из урока в урок, задолго до решения примеров данного вида. Последовательность случаев может быть различной. Существует два варианта:

1. Первое слагаемое и уменьшаемое постоянны, а второе слагаемое и уменьшаемое увеличиваются на 1:

9+2 8+3 7+4 11-2 12-3

9+3 8+4 7+5 11-3 12-4

9+4 8+5 … 11-4 …

… … 7+9 …

9+9 8+9

 

2. Первое слагаемое и уменьшаемое меняются, увеличиваясь на 1, а второе слагаемое и вычитаемое постоянные:

8+3 7+4 6+5 7+6 11-3 11-4

9+3 8+4 7+5 8+6 12-3 12-4

9+4 8+5 9+6 13-4

9+5 и т.д.

 

Объяснение выполнения сложения и вычитания проводится с использованием пособий и подробной записью. При выборе пособий необходимо учитывать, что учащиеся должны видеть необходимость добавления первого слагаемого до десятка при сложении и разложении уменьшаемого на десятки и единицы при вычита­нии. Удобными пособиями являются бруски и кубики арифмети­ческого ящика, абак, счеты.

Сложим 8+3. Откладываем на пособии (абаке, полосах) пер­вое слагаемое и добавляем его до десяти. Десять единиц заменяем десятком. К десятку прибавляем оставшиеся единицы:

8+3=11

3=2+ 1

8+2=10

10+1=11

На этом этапе полезно решение примеров вида

8+2+5 8+7

8+7 8+2+5

Полезно также, особенно для наиболее слабых учащихся, решение примеров с частичным использованием пособий, например: 7+5. Ученик берет 5 предметов (второе слагаемое 5) и рассуждает так: к 7 прибавить 3, будет 10 (отнимает от 5 предметов 3), осталось прибавить 2:10+2=12. В этом случае ученик помогает себе с помощью пособий разложить второе слагаемое и удержать в памяти оставшуюся часть.

Как вычесть из 11 число 2? На а6аке откладываем 11. Надо вычесть 2. Вычитаем 1, осталось вычесть еще 1. 1 десяток заме­няем 10 единицами. Из 10 единиц вычитаем 1. Остается 9.

11-2= 11-2=

11=10+1 11-1=10

11-1=10 10-1=9

10-1=9

По аналогии со сложением рассматриваются случаи вычита­ния:

14-4-2

14-6

Учитель ставит вопросы: «Сколько единиц вычли сначала? Сколько потом? Сколько всего единиц вычли?»

В дальнейшем учащиеся самостоятельно должны пояснять проговариванием громкой речью всё умственные действия.

Так же как и при сложении, можно позволить учащимся вычитаемое изображать на пособиях и убирать определенное количество предметов при последовательном вычитании. (Иногда можно наблюдать, как учащиеся сами рисуют палочки на бумаге, а по мере вычитания зачеркивают их.) Например, 12-6. Откладывается 6 кругов (вычитаемое), и ученик рассуждает: Сначала из двенадцати вычтем 2, будет 10 (убирает 2 круга), осталось вычесть 4: 10-4=6».

Так же как и во всех предыдущих случаях, соответствующие случаи сложения и вычитания необходимо сопоставлять.

Полезно сопоставлять ответы специально подобранных примеров целого столбика: решить и ответить на вопросы, почему ответы в примерах первого столбика увеличиваются, а в примерах второго уменьшаются.

 

9+3 9-3

9+4 9-4

9+5 9-5

В упражнения необходимо включать примеры с тремя компонентами: 8+7+3, 17-4-8, 5+9-6, а также примеры, одним из компонентов которых является нуль, например: 19-9, 20-0, 15-15 (нуль в ответе). Хорошо сравнить решение примеров, компонентами или результатами которых являются нуль и единица: 15-1, 15-15, 15-0, 15-14.

Примеры на сложение следует чередовать с примерами на вы­читание. При решении сложных примеров необходимо выработать привычку анализировать предлагаемый пример. Учить школьников планировать мыслительные действия, развивать ориентировочную основу познавательной деятельности. Этому способствуют вопро­сы такого характера: «Сколько действий надо выполнить? Какие это действия?»

Следует шире использовать составление примеров по данному:

7+8=15 15-8

8+7 15-7

Так же как и при изучении действий в пределах 10, надо предъявлять и такие примеры: 3-13, 12-15 - с целью выяснить, возможно ли вычитание. При предъявлении пар примеров 5+15 и 5-15 (0+15 и 0-15) следует требовать объяснений, почему первый пример решить можно, а второй - нельзя. Подоб­ные задания постепенно вырабатывают у учащихся привычку анали­зировать числа, прежде чем приступать к выполнению действий.

Для запоминания таблиц сложения и вычитания полезно решение примеров с неизвестным компонентом, составление нескольких примеров с данным ответом.

Таблицы сложения и вычитания заучиваются наизусть.

Вопросы и задания

1. Раскройте особенности изучения нумерации чисел второго десятка в школе VIII вида (последовательность, методика, средства наглядности).

2. Сравните последовательность и методику изучения нумерации чисел первого и второго десятка.

3. Составьте не менее 10 последовательно усложняющихся упражнений для закрепления устной и письменной нумерации в пределах 20. На развитие и коррекцию каких мыслительных процессов они направлены?

4. Составьте схему этапов изучения действий сложения и вычитания с числами до 20.

5. Составьте фрагменты уроков, целью которых является ознакомление с новыми вычислительными приемами сложения и вычитания чисел второго десятка.

6. Познакомьтесь с планом изучения нумерации чисел второго десятка. Дайте анализ этого плана. Сравните последовательность изложения этой темы в учебнике математики для 2-го класса.

Глава 10

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ НУМЕРАМИ СЛОЖЕНИЯ
И ВЫЧИТАНИЯ В ПРЕДЕЛАХ 100

НУМЕРАЦИЯ В ПРЕДЕЛАХ 100

При изучении нумерации в пределах 100 школьники с наруше­нием интеллекта должны получить следующие знания и умения:

1. Научиться считать до 100 в прямом и обратном порядке единицами и десятками.

2. Уметь присчитывать и отсчитывать по 1, по 10 и равными числовыми группами (по 2, 5, 20) как отвлеченно, так и на предметных пособиях.

3. Уметь пользоваться порядковыми числительными.

4. Знать место каждого числа в натуральном ряду чисел в пределах 100, понимать свойства этого ряда: каждое число на единицу больше предшествующего и на единицу меньше последующего.

5. Понимать десятичный состав чисел. Уметь разложить число на разрядные слагаемые и составить число из разрядных слагаемых, знать разряды (единицы, десятки, сотни).

6. Уметь сравнивать числа, т. е. определять, какое число боль­ше или меньше другого, равно ему.

7. Уметь записывать и читать числа первой сотни, понимать поместное значение цифр в числе.

Изучение нумерации в пределах 100 для умственно отсталых школьников связано с преодолением ряда трудностей. В период изучения чисел в пределах 100 закладывается основа понимания сущности десятичной системы счисления: из 10 простых счетных единиц образуется новая (составная) счетная единица - десяток, из 10 десятков образуется новая счетная единица - сотня. Вот эту закономерность умственно отсталые учащиеся усваивают с большим трудом. Здесь требуется основательная наглядная база, постоянное сравнение чисел первого, второго десятков и чисел 21-99, например: 2 и 20, 2 и 12, 1, 10, 100 и т. д. Учащиеся испытывают затруднения в запоминании названий круглых десятков, их последовательности и особенно их счета в прямом и обратном порядке. С большим трудом они запоминают названия десятков «сорок» и «девяносто». Нередко по аналогии с образованием предыдущих числительных они соответственно называют их: «четыредцать», «девятдесят», а при переходе к новому десятку считают: «Двадцать девять, двадцать десять, двадцать одиннад­цать» и т. д. Как и при изучении предыдущих чисел, учащихся больше всего затрудняет счет в обратном порядке, присчитывание и отсчитывание равными числовыми группами.

При изучении письменной нумерации многие учащиеся долго не усваивают позиционное значение цифр в числе: вместо 35 записывают 53, при чтении чисел вначале произносят единицы, а потом десятки. Некоторые учащиеся, усвоив образование новых десятков, еще долгое время испытывают затруднения в понимании образования числа 100. Овладев устной нумерацией, некоторые учащиеся не могут овладеть письменной нумерацией (устно считают верно, а записывают числа от 1 до 100 по порядку неверно). Некоторые учащиеся, наоборот, правильно записывают числовой ряд, а при устном пересчете допускают ошибки.

Причины этих трудностей заключаются и в трудностях самого математического материала, и в психических особенностях уча­щихся, и в имеющих еще место недостатках организации изуче­ния данного материала: некоторая поспешность в отказе от ис­пользования наглядных пособий, недостаточное их разнообразие, ограничение изучения темы небольшим периодом времени и недо­статочное количество упражнений на закрепление этого материала при изучении последующих тем.

Какие требования предъявляются к изучению данной темы?

1. Хорошее знание нумерации первого и второго десятка.

2. Использование разнообразных наглядных пособий и дидакти­ческого материала не только при знакомстве учащихся с новыми понятиями, но и в процессе закрепления и повторения знаний по нумерации, включение каждого ученика в активную практическую деятельность с дидактическим материалом.

3. Систематическое повторение нумерации при изучении последующих тем математики, разнообразие заданий и упражнений для самостоятельной работы, включение вариативных упражнений в устный счет, активизация творческой и речевой деятельности учащихся.

При изучении данной темы могут быть использованы наглядные пособия и дидактический материал: 100 палочек, связанных в пучки по 10 штук, арифметический ящик, абаки (классный и индивидуальные), счеты (классные и индивидуальные), метровая линейка, 10 полос, разделенных на 10 равных квадратов, монетная касса - 10 гривенников, 1 рубль, квадраты (10 х 10) с числа­ми от 1 до 100, с четными числами, с нечетными числами; таблица разрядов (с разрядами единиц, десятков, сотен), цифровая касса и таблички с круглыми числами (10, 20, 30, 40,..., 100).

Последовательность изучения нумерации в пределах 100: по­вторение нумерации в пределах 10 и 20; изучение нумерации круглых десятков; изучение нумерации чисел от 21 до 99 (сначала устной, затем письменной).