Законы индукции Фарадея и уравнения Максвелла

В.Б. Баранов

 

Спецкурс (полугодовой)

«Магнитная гидродинамика»

для студентов V курса механико-математического факультета МГУ.

 

 

Лекция 1 20.09.16

В рамках механики сплошных сред магнитная гидродинамика изучает движение электропроводных жидкостей и газов, помещенных в электромагнитное поле. К таким жидкостям и газам относятся, например, жидкие металлы или сильно ионизованные при высокой температуре газы (так называемая «плазма», которая может быть как частично, так и полностью ионизованной). Магнитная гидродинамика имеет широкое применение как в астрофизике для создания моделей физических явлений, встречающихся в условиях космического пространства (солнечный ветер, взаимодействие с ним межзвездной среды, планет и комет солнечной системы, динамические процессы в галактиках и пр.), так и в практических применениях (магнитогидродинамические генераторы и плазменные ускорители, насосы для перекачки жидких металлов и т.п.).

Часто уравнения механики сплошной среды выводятся из кинетических уравнений Больцмана для функции распределения f(r, v,t), которые устанавливают четкие критерии применимости этих уравнений (здесь r, v и t – координата, скорость и время отдельной частицы, соответственно). В частности, должно выполняться неравенство l << L или Kn = l/L <<1, где l – длина свободного пробега частиц газа, L - характерный размер задачи (например, размер обтекаемого тела), Kn – число Кнудсена. Чтобы понять, как движутся свободные заряженные частицы в электрическом E (вектор напряженности электрического поля) и магнитном B (вектор магнитной индукции)полях, необходимо решить для них уравнение движения, которое для частиц с зарядом и массой будет иметь вид

(1)

Здесь введена скорость света , так как используется гауссовская система единиц измерения, где векторы E и B имеют одинаковую размерность, а их квадрат имеет размерность гидростатического давления .

Рассмотрим частный случай движения частицы в постоянных электрическом и магнитном полях. Для этого проинтегрируем уравнение движения (1) в предположении, что магнитное поле направлено вдоль оси Оz, а векторы электрического и магнитного полей лежат в плоскости Оyz, т. е. B = (0, 0, B ), а Е = . Тогда из (1) в проекциях на оси координат имеем

. (.2)

Умножая второе уравнение (25.2) на мнимую единицу i и складывая с первым, получим

,

где - циклотронная частота или частота вращения заряженных частиц в магнитном поле. Интегрируя это уравнение, получим

или (при вещественном )

(3)

а из последнего уравнения (25.2) будем иметь

.

Здесь - скорость частицы вдоль оси Оz в начальный момент времени, а в уравнениях (25.3) a – постоянная интегрирования,. Отсюда видно, что частица движется вдоль оси О x перпендикулярно направлению электрического и магнитного полей с постоянной скоростью (в среднем по времени), равной

Эта скорость называется «скоростью дрейфа» частицы в электрическом и магнитном полях. Из нее в нерелятивистском приближении следует, что . Кроме того, вдоль оси О у имеем , а вдоль оси О z частица движется с ускорением, если

Интегрирование уравнений (25.3) приводит к уравнениям

При эти уравнения описывают проекцию траектории частицы на плоскость О ху, которая будет трохоидой, а в случае - циклоидой. Если , то частицы движутся по круговым траекториям. Такое движение обычно называют циклотронным или ларморовским вращением заряженных частиц.

Следует заметить, что уравнения классической магнитной гидродинамики (см., например, Куликовский А.Г. и Любимов Г.А., «Магнитная гидродинамика», Физматгиз, 1962) не учитывают эффекты вращения заряженных частиц в магнитном поле, поскольку считается, что , где - частота их столкновений с другими частицами газа, и эффект их вращения пренебрежимо мал.

Чтобы получить электромагнитную силу, действующую на элементарный макроскопический объем , надо уравнение (1) просуммировать по всем частицам в этом объеме. Тогда для электромагнитной силы , действующей на единицу массы этого объема, получим формулу

при

или

, (2)

где - макроскопическая плотность газа, называется плотностью заряда, а есть плотность электрического тока в жидком объеме . Здесь суммирование идет по сортам частиц (индекс k), - концентрация частиц сорта k, а - их средняя скорость. Силу (2) необходимо добавить в макроскопические уравнения движения для электропроводной жидкости или газа.

 

 

Лекция 2

 

Уравнения гидроаэромеханики выводятся либо макроскопическим методом, используя понятие сплошности среды, либо методом моментов, используя уравнение Больцмана для функции распределения частиц. Для получения уравнений магнитной гидродинамики будем использовать первый подход.

Рассмотрим элементарный жидкий объем , ограниченный поверхностью . При своем движении такой объем состоит из одних и тех же частиц, хотя и изменяет свою форму. Очевидно, что для такого объема должны быть выполнены законы сохранения массы, импульса и энергии. Запишем их в интегральной форме, справедливой как для непрерывных, так и для разрывных функций. Закон сохранения массы будет иметь вид

,

где - массовая плотность газа.

Закон сохранения импульса является обобщением второго закона Ньютона применительно к выделенному жидкому объему и имеет вид

,

где - средняя скорость электропроводной жидкости (или газа), а - поверхностная сила, действующая на элемент поверхности жидкого объема с нормалью и может быть представлена, как известно из МСС, в виде суммы нормального и касательного напряжений ( - статическое давление, - тензор вязких напряжений). В качестве объемной силы мы будем в нашем курсе рассматривать только электромагнитную силу (см. формулу (2) Лекции 1).

Закон сохранения энергии запишем в виде

Здесь - внутренняя энергия, первые два члена справа представляют собой работу поверхностных сил, третий член – приток тепла через поверхность , определяемый вектором потока тепла , четвертый член – работа объемных электромагнитных сил, последний член – выделение тепла (так называемое джоулево тепло) за счет протекания электрических токов (штрих означает, что плотность тока и электрическое поле взяты в системе координат, связанной с движущейся жидкостью).

Если воспользоваться формулой для производной по времени от интеграла по движущемуся объему, а, именно, формулой

,

в выписанных выше законах сохранения преобразовать поверхностные интегралы в объемные, то в результате получим уравнения неразрывности, движения и энергии в интегральной форме. Они будут иметь вид

В последнем члене уравнения сохранения энергии использованы преобразования Лоренца в нерелятивистском приближении (принять на веру)

.

Если сплошная среда состоит из частиц только с поступательными степенями свободы, то компоненты тензора вязких напряжений будут иметь вид

,

где µ - коэффициент вязкости. Для тепловых потоков обычно используется закон Фурье

,

где - коэффициент теплопроводности, Т - температура.

В пренебрежении вязкостью и теплопроводностью из интегральных законов сохранения, выписанных выше, для непрерывных подынтегральных функций получим дифференциальные уравнения неразрывности, движения и энергии в виде

. (*)

В гидроаэромеханике известно, что для совершенного газа внутренняя энергия определяется по формуле

,

а температура связана со статическим давлением уравнением состояния

().

Здесь - теплоемкости при постоянном давлении и объеме, соответственно.

Выписанная выше система уравнений была бы замкнутой для величин . Однако, в электропроводных жидкостях и газах протекание электрических токов создает электромагнитное поле, которое, как видно из выписанных выше уравнений, влияет на течение жидкости и газа. В то же время, электрическое и магнитное поля зависят от течения электропроводных сред. Добавляются заранее неизвестные . Для последних трех величин необходимо дописать уравнения Максвелла и добавить к ним закон Ома (он известен из школьной программы), связывающий плотность тока и электрическое поле.

Лекция 3

 

Как было отмечено в прошлой лекции, полученная система уравнений магнитной гидродинамики не является замкнутой, поскольку появились новые неизвестные функции . Необходимо добавить уравнения для этих неизвестных.

Лекция 4

Используя результаты, полученные на Лекциях 2 и 3, выпишем замкнутую систему уравнений МГД в пренебрежении вязкостью и теплопроводностью. Уравнение неразрывности можно записать в виде

(1)

Уравнение движения можно записать в форме, если воспользоваться уравнением неразрывности,

(2)

Уравнение энергии (*) в Лекции 2 запишем в виде, который называется уравнением притока тепла. Для этого необходимо использовать уравнение неразрывности, результат дифференцирования (), выражение внутренней энергии через температуру ε = с _v T и уравнение движения (2), умноженное скалярно на V. В результате получим

. (3)

Вместе с уравнением состояния

(4)

уравнениями Максвелла в форме

(5)

и обобщенным законом Ома (уравнение (3) Лекции 3)

(6)

система уравнений (1) – (6) будет замкнутой для определения неизвестных функций

и является основной системой уравнений магнитной гидродинамики.

Из (1) – (6) легко исключить плотность тока j и электрическое поле Е. Для этого сначала плотность тока выразим через первое уравнение (5). Тогда, вместо уравнения движения (2), будем иметь

, (7)

а обобщенный закон Ома можно записать в виде

.

Для того, чтобы из последнего уравнения исключить электрическое поле Е, надо применить к нему операцию “rot”, использовать и воспользоваться вторым уравнением (5). При постоянной проводимости σ будем тогда иметь

. (8)

Это уравнение является одним из самых важных в магнитной гидродинамике и называется «уравнением индукции магнитного поля». Осталось исключить плотность тока и электрическое поле из уравнения притока тепла (3). Для этого воспользуемся обобщенным законом Ома (6) и первым уравнением (5). В результате, вместо (3), получим уравнение притока тепла в виде

(9)

Таким образом, система уравнений (1), (4), (7) - (9) будет замкнутой системой уравнений для двух векторных (V и B) и трех скалярных (ρ, р и Т) величин.

Рассмотрим уравнение (8), которое определяет влияние скорости электропроводной жидкости или газа на вектор индукции магнитного поля В. Поскольку это уравнение имеет вторые производные, то для упрощения решения различных задач естественно понять, при каких условиях ими можно пренебречь. Как известно из гидроаэромеханики, уравнения Навье Стокса из-за вязкости также являются уравнениями второго порядка. Необходимым (но недостаточным) условием справедливости использования уравнений Эйлера является неравенство (), т.е. число Рейнольдса должно быть велико, или вязкие члены должны быть малы по сравнению с инерционными. Тем не менее, в узких пограничных слоях вязкими членами пренебрегать нельзя даже при больших числах Рейнольдса. Рассмотрим теперь отношение второго члена справа в уравнении (8) (аналог вязкости в уравнении движения) к первому члену (аналог инерционных членов).

, (10)

где V и L – характерные скорость и размер задачи, соответственно. Число называется магнитным числом Рейнольдса, а - магнитной вязкостью (по аналогии с числом Рейнольдса и коэффициентом кинематической вязкости в гидроаэромеханике, соответственно). Как видно из (10), можно различать три возможных случая.

1. При уравнение индукции магнитного поля можно записать в виде

. (11)

Из гидроаэромеханики известна теорема о соленоидальном векторе, на основе которой доказываются теоремы Гельмгольца о вихрях. Если такой вектор удовлетворяет уравнению (11), то поток этого вектора через жидкую поверхность , ограниченную жидким контуром С, остается постоянным в течение всего времени движения, т. е. для магнитного поля будем иметь

,

где n – нормаль к поверхности . Физический смысл этого выражения заключается в том, что магнитное поле оказывается «вмороженным» в жидкость, т.е. ни одна силовая линия магнитного поля не может пересечь жидкий контур С. При неизменном потоке магнитного поля через поверхность магнитное поле будет увеличиваться при уменьшении ее площади. Принцип «вмороженности» в этом случае можно доказать и другим способом. Уравнение (11) можно переписать в виде

, (12)

если воспользоваться уравнением неразрывности в форме (1). Если в жидкости взять какую-нибудь жидкую линию , на одном конце которой скорость равна V, а на другом , то изменение длины этой жидкой линии за время , будет равно или

.

Это уравнение совпадает с уравнением (12), а это означает, что изменение жидкой линии и вектора магнитной индукции изменяются со временем одинаково, т.е. если магнитная силовая линия совпадает в начальный момент времени с жидкой линией, то во все время движения эти линии будут совпадать.

Обычно в научной физической литературе при выводе уравнения (11) используется не оценка безразмерного параметра , а предположение . Тогда из обобщенного закона Ома (6) получаем

,

т.е. электрическое поле всегда перпендикулярно магнитному, а операция ротора, примененная к этому уравнению, приводит к уравнению (11). Очевидно, что при (или Re _m >> 1) можно также пренебречь джоулевым теплом в уравнении притока тепла (9).

 

Следует заметить, что этот случай имеет основные приложения при построении моделей физических явлений в условиях космического пространства, поскольку в этих условиях характерные размеры очень велики (магнитосферы Земли и некоторых планет, размеры солнечной системы и галактик и т.п.) и магнитное число Рейнольдса

с большой степенью точности. Однако даже при выполнении этого неравенства в космических условиях могут быть узкие слои (типа вязкого пограничного слоя), в которых нельзя пренебречь оператором Лапласа в уравнении (8) (граница магнитосферы Земли или граница области, разделяющей солнечный ветер и межзвездную среду и т.д.).

2. При уравнение (8) можно записать в виде

.

Как видно из этого уравнения, распределение магнитного поля может быть произвольным и, в частности, постоянным, а движение жидкости не влияет на магнитное поле. В этом случае электромагнитное поле можно считать заданным. Этот случай реализуется во многих прикладных задачах в земных условиях (магнитогидродинамические генераторы энергии, плазменные ускорители, насосы для перекачки жидких металлов и т.д.).

3. При уравнение индукции магнитного поля необходимо использовать в форме (8), которое замыкает выписанную выше систему уравнений для определения

.

Лекция 5.

 

В дальнейшем будем рассматривать некоторые решения, основанные на уравнениях идеальной магнитной гидродинамики, которые справедливы при пренебрежении вязкостью , «магнитной вязкостью» и джоулевым теплом. В этом случае выписанная на прошлой лекции система уравнений будет иметь вид

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Если еще исключить температуру из (3) при помощи (4) и использовать уравнение неразрывности (1), то легко получить уравнение для адиабатического процесса

 

(6)

 

Тогда система уравнений (1), (2), (5) и (6) будет замкнутой системой уравнений идеальной МГД для определения неизвестных функций

 

Лекция 6.

 

Распространение малых возмущений в МГД.

Рассмотрим волны, которые могут распространяться в сжимаемом, электропроводном газе. Для этого будем использовать уравнения (1), (2), (5) и (6) прошлой лекции, которые запишем в координатной форме. Будем иметь: уравнение неразрывности

уравнение движения в проекциях на оси Ox, Oyи Oz

проекции уравнения индукции магнитного поля (здесь используется это уравнение в форме (12) Лекции 4 при учете уравнения неразрывности)

и адиабатический закон, который запишем в виде

^.

Решение этой системы уравнений будем искать в виде

(1)

где вторые слагаемые представляют собой возмущения, которые распространяются по газу, течение которого известно (индекс «0») и удовлетворяют выше написанным уравнениям. Ниже будем считать возмущения малыми, т.е. их квадратичные члены пренебрежимо малы, газ покоится (V₀= 0), давление и плотность в покоящемся газе постоянны, а систему координат выберем так, чтобы постоянное магнитное поле лежало в плоскости Oxy, т.е.

(2)

Если ввести компоненты возмущенной скорости и магнитного поля по формулам

подставить (1) и (2) в вышенаписанную систему дифференциальных уравнений и пренебречь квадратичными членами, то получим следующую линейную систему уравнений относительно малых возмущений

Решение этой линейной системы дифференциальных уравнений будем искать в виде

, (*)

где под понимается любая из параметров возмущения, - постоянная амплитуда возмущений, – частота, - волновое число. Подставляя для всех неизвестных функций решение в форме (*), получим однородную систему алгебраических уравнений относительно постоянных амплитуд возмущений.

Из уравнения неразрывности

. (3)

Из уравнения движения

, . (4)

Из адиабатического закона

(5)

Из уравнения индукции магнитного поля будем иметь

. (6)

Получили систему восьми однородных алгебраических уравнений для определения восьми постоянных амплитуд возмущений. Для существования нетривиального решения

определитель системы уравнений (3) – (6) должен быть равен нулю. Приравнивая определитель этой системы нулю, получим алгебраическое уравнение для скорости распространения возмущений

Заметим, что последние уравнения из (4) и (6) содержат только неизвестные и . Равенство нулю определителя этой подсистемы из двух уравнений дает один из корней полной системы уравнений (3) – (6), а именно

. (7)

Это есть скорость альфвеновской волны, которая в сжимаемом газе возможна только для волн малой амплитуды. Как мы видели из Лекции 5, в несжимаемой среде такие волны могут быть произвольной амплитуды.

Определитель оставшейся подсистемы легче всего вычислить методом исключения, предположив, при этом, что . Выразив , и через и из (3), второго уравнения (4) и уравнения (5), соответственно, и подставив полученные выражения в первое уравнение (4) и второе уравнение (6), получим уравнения для возмущений плотности и y – компоненты магнитного поля. Равенство нулю определителя этой системы алгебраических уравнеий дает следующее биквадратное уравнение для определения скоростей распространения остальных возмущений.

Корни этого уравнения равны

. (8)

Здесь , определяется формулой (7). Решение (8) определяет скорости распространения быстрой (знак «+») и медленной (знак «-») магнитозвуковых волн. Очевидно, что при B ₀= 0, быстрая магнитозвуковая волна сводится к скорости звука в классической газовой динамике.

 

Лекция 7.

Найдем теперь амплитуды возмущений в различных видах рассмотренных на прошлой лекции волн. Для этого систему уравнений (3) – (6) прошлой лекции разделим на две подсистемы, одна из которых определяет амплитуды альфвеновских волн, а другая - амплитуды быстрых и медленных магнитозвуковых волн. Для альфвеновских волн будем иметь следующие уравнения для амплитуд возмущений

 

(1)

Подсистема для остальных волн будет иметь вид

(2)

Прежде чем рассмотреть вопрос о том, какие амплитуды возмущенных параметров отличны от нуля в различных рассмотренных волнах, исследуем сначала волны, которым соответствует корень алгебраической системы однородных уравнений (1) и (2), равный нулю (а = 0).

Подставляя этот корень в систему уравнений (1) и (2), получим, что все амплитуды возмущенных функций равны нулю, кроме плотности, т.е. Изменение плотности при неизменных остальных параметрах означает изменение энтропии. Поэтому такие волны называются энтропийными, которые не распространяются в газе, т. е.

Альфвеновские волны.

Как мы видели из прошлой лекции, скорость альфвеновской волны определяется из равенства нулю определителя системы уравнений (1) и равна

. (3)

Подстановка величины (3) в систему уравнений (2) дает тривиальное решение для этой подсистемы (эта величина не является корнем определителя этой системы). В результате получим

(4)

Подстановка же (3) в (1) дает

т.е. в альфвеновских волнах флуктуации испытывают только компоненты, нормальные направлению их распространения. Такие волны называются поперечными.

Здесь следует заметить, что альфвеновские волны в несжимаемой жидкости, которые мы рассматривали в Лекции 5, могут быть произвольной амплитуды. Волны же Альфвена в сжимаемом газе, как мы видели выше, могут быть только малой амплитуды.

Быстрые и медленные магнитозвуковые волны.

Скорости быстрых и медленных магнитозвуковых волн определяются из равенства нулю определителя системы уравнений (2). Эти скорости равны (см. Лекцию 6) (5)

Если подставить (5) в систему уравнений (1), то получим, что

т.е. поперечные колебания в этих волнах отсутствуют. Подстановка же (5) в (2) приводит к отличию от нуля всех амплитуд, которые равны нулю в альфвеновских волнах (см. (4)). Из (5) следует, что при В ₀ = 0 скорость медленной магнитозвуковой волны стремится к нулю, а скорость быстрой волны стремится к скорости звука в обычной газовой динамике. Из (5) очевидно, что скорости распространения быстрых и медленных магнитозвуковых волн зависят от направления магнитного поля, поскольку

Рассмотрим сначала два частных случая:

.

Из (5) в этом случае видно, что в перпендикулярном к магнитному полю направлении медленная магнитозвуковая волна не распространяется, а скорость быстрой магнитозвуковой волны равна

.

 

 

Из (5) видно, что при магнитном поле, направленном вдоль распространения волны, возможны два подслучая.

При имеем

(6)

Из (5) видно, что вдоль магнитного поля быстрая магнитозвуковая волна распространяется с обычной скоростью звука в газовой динамике, а скорости медленной магнитозвуковой и альфвеновской совпадают. Можно нарисовать диаграмму распространения малых возмущений в этом подслучае, как функцию угла наклона постоянного магнитного поля к оси абсцисс (угол α).

При из (6) получаем в этом подслучае

(7)

т.е. скорость быстрой магнитозвуковой волны совпадает с альфвеновской, а медленной – со скоростью звука без магнитного поля. Диаграмма распространения малых возмущений в этом случае будет иметь вид, представленный на следующем рисунке.

Легко доказать, что диаграмма для распространения альфвеновской волны является окружностью. При этом всегда имеют место неравенства

 

Слабые разрывы в магнитной гидродинамике.

Поверхностью слабого разрыва некоторых функций будем называть такую поверхность, на которой терпят разрыв производные при непрерывности самих функций. Если сами функции терпят разрыв на некоторой поверхности, то такие поверхности называются поверхностями сильного разрыва и будут нами рассмотрены в следующей лекции.

Поверхности, на которых возможен слабый разрыв решения некоторой системы дифференциальных уравнений, являются характеристическими поверхностями для этой системы дифференциальных уравнений. Пусть плоскость yOz совпадает с поверхностью слабого разрыва, а ось Оx перпендикулярна ей. Если через фигурные скобки обозначить разность производных слева и справа от этой поверхности в какой-либо ее точке, то имеем для производных искомых функций

Действительно, если бы эти производные были отличны от нуля, то в соседних точках этой поверхности сами функции терпели бы разрыв. Запишем теперь замкнутую систему уравнений магнитной гидродинамики в координатной форме (см. начало Лекции 6) слева и справа от поверхности слабого разрыва и вычтем одну систему из другой. Будем иметь

Из уравнения div B= 0также следует

А из проекции уравнения индукции магнитного поля на ось О х следует, что

Поскольку функции на поверхности слабого разрыва непрерывны, то для любой из функций можно записать

или

где dx/dt – скорость поверхности слабого разрыва. Вводя скорость слабого разрыва относительно газа

и подставляя это соотношение в выписанные выше уравнения для слабого разрыва, получим систему однородных уравнений для разрывов производных фун