Градиентная раскраска единичного куба

На втором этапе решается задача градиентной раскраски куба. Требуется произвести градиентную (непрерывную и направленную) раскраску точек внутри и на границе единичного куба в несколько цветов. Градиентность (направленность) раскраски означает, что цвета точек меняются в заданном направлении вектора-градиента, а непрерывность раскраски означает, что достаточно близко расположенные точки внутри единичного куба окрашены в близкие цвета спектра (по длине световой волны), причем, чем ближе пара точек друг к другу, тем меньше они отличаются длиной волны.

Каждый из оцениваемых объектов организационной сети попадет в область единичного куба определенного цвета. Таким образом, цвет точки будет автоматически присвоен фрагменту сети или предприятию , и будет являться той самой единой интегральной оценкой силы взаимодействия (притяжения или отталкивания), которую призвана давать предложенная методика.

В целях ясности и наглядности получаемой визуализации, для внутренних областей куба установим традиционную словесную (разумеется, приблизительную) интерпретацию цветов интегральных оценок:

красный – фрагмент (предприятие) организационной сети низкого качества, оценка плохая, взаимодействие с предприятием данного цвета неприемлемо, по отношению к этому предприятию действует значительная сила отталкивания;

желтый – фрагмент (предприятие) организационной сети среднего качества, с предприятиями возможно взаимодействовать с определенной осторожностью, силы притяжения и силы отталкивания к этому предприятию примерно равны;

зеленый – фрагмент (предприятие) организационной сети высокого качества, взаимодействие с предприятиями данного цвета приемлемо и перспективно, «зеленый свет» для сотрудничества, силы притяжения к этому предприятию весьма значительны.

Принятая интерпретация цветов точек единичного куба означает, что итоговая интегральная оценка силы притяжения к объекту (цвет точки), получаемая с помощью предложенной методики, должна быть тем выше, чем выше значения каждого из коэффициентов . Следовательно, точка единичного куба , соответствующая набору из самых низких оценок, должна быть окрашена в красный цвет; вершина куба с координатами (1, 1, …,1), как максимально качественная и привлекательная (у объекта максимально высокие значения всех показателей ) – должна быть окрашена в зеленый цвет. Остальные точки -мерного единичного куба должны иметь промежуточные цвета от красного, через желтый, к зеленому. Очевидно, что градиентом-направлением такой раскраски является вектор , идущий из начала координат в «наилучшую» вершину единичного куба .

Пример градиентной раскраски трехмерного единичного куба приведен на рисунке 3.7.

(1,1,1)

(1,1,0)

(0,1,1)

(1,0,1)

Рис. 3. 7. Градиентная раскраска внутренности единичного куба по степени приемлемости точек

Следует отметить, что подобных градиентных раскрасок единичного куба существует бесконечно много. Произвольно варьироваться (в зависимости практических требований к итоговым оценкам сил взаимодействия) могут ширина, форма и объем зоны каждого цвета. Изменение интенсивности цвета вдоль каждой координатной оси соответствует важности и значимости (т.е. весу) показателя в итоговой интегральной оценке. Раскраска куба может проводиться на основании экспертных оценок, обобщения практического опыта, обработки статистической информации. Раскраска куба должна учитывать практические требования, предъявляемые к итоговым оценкам (например, требования к оценке качества экономических партнеров). Раскраска куба может быть изменена в процессе ведения взаимодействия и накопления практического опыта, а также в зависимости от производственной ситуации и потребностей практики.

Следует также подчеркнуть, что раскраска куба и распределение интенсивности цветов оказывает влияние только на получение абсолютных значений сил взаимодействия между элементами экономико-правового пространства. Условие градиентности (направленности) окраски куба обеспечивает возможность получения относительных оценок и проведения сравнительных оценок при любой заранее заданной градиентной раскраске куба – условие монотонности функционала силы взаимодействия (возрастания функционала в направлении градиента раскраски) позволяет упорядочить элементы экономико-правового пространства по степени предпочтения вне зависимости от абсолютных значений величин сил притяжения к ним. Это означает, например, что сравнение и ранжирование группы предприятий возможно, вообще говоря, проводить с помощью оценок, полученных на произвольной градиентной раскраске куба.

На наш взгляд, наиболее естественным и практически приемлемым типом градиентной раскраски единичного куба, является стационарное температурное поле следующего вида. Куб считается теплопроводным, каждая его точка имеет определенную температуру, а каждому значению температуры соответствует длина волны электромагнитного излучения этой точки (то есть цвет). Требуемое стационарное распределение температур (температурное поле) внутри куба возникает, когда в вершине поддерживается постоянная температура , а на гранях куба, примыкающим к координатным плоскостям, поддерживается постоянная температура .

Описанное температурное поле (раскраска куба ) является стационарным решением классического n -мерного уравнения теплопроводности:

,

где: – температура точки куба в момент времени , постоянная – коэффициент теплопроводности материала единичного куба. Начальные условия для такой задачи:

(т.е. в начальный момент времени температура любой точки куба, кроме точки , равна нулю, а температура точки в любой момент времени поддерживается равной 1).

Граничные условия для этой задачи теплопроводности в единичном кубе должны выписываться отдельно для каждого конкретного практического случая проведения оценок в зависимости от поставленной практической задачи, поскольку граничные условия как раз и являются математической формализацией требований к итоговой оценке сил взаимодействия. Задание подходящих граничных условий обеспечивает требуемое для проведения практической оценки расположение и объем цветовых (температурных) областей внутри куба, то есть отражает вес и значимость составляющих показателей в итоговой интегральной оценке.

При температурной раскраске единичного куба полагаем, что итоговой интегральной оценкой силы притяжения к объекту организационной сети является установившаяся температура (цвет) соответствующей точки внутри единичного куба :

.

Исходя из начальных условий задачи теплопроводности, легко понять, что температура любой точки куба (то есть итоговая интегральная оценка силы взаимодействия) всегда удовлетворяет неравенствам , то есть автоматически является нормированной оценкой.