РАЗДЕЛ I. Теоретическая механика

Силы действующие и проти­водействующие всегда приложены к разным телам, поэтому они не уравновешиваются.

Силы, с которыми два тела дей­ствуют друг на друга, всегда равны по модулю и направлены вдоль одной прямой в разные стороны.

Сила F приложена в точке А. Требуется перенести ее в точку В.

Используя третью аксиому, добавим в точке В уравновешенную систему сил (F'; F"). Образуется уравновешенная по второй аксиоме система сил(F; F"). Убираем ее и получим в точке В силу F", равную заданной F.

Связи и реакции связей

Все законы и теоремы статики справедливы для свободного твердого тела.

Все тела делятся на свободные и связанные.

Свободные тела — тела, перемещение которых не ограничено.

Связанные тела — тела, перемещение которых ограничено другими телами.

Тела_, ограничивающие перемещение других тел, называют свя­зями.

Силы, действующие от связей и препятствующие перемещению, называют реакциями связей.

Жесткий стержень.

На схемах стержни изображают толстой сплош­ной линией (рис. 1.9).

Стер­жень работает на растяжение или сжатие. Точное направление реакции определяют, мысленно убрав стержень и рассмотрев возможные перемещения тела без этой связи.

Возможным перемещением точки называется такое бесконечно малое мысленное перемещение, которое допуска­ется в данный момент наложенными на него связями.

Убираем стержень 1, в этом случае стержень 2 падает вниз. Сле­довательно, сила от стержня 1 (реакция) направлена вверх. Убираем стержень 2. В этом случае точка А опускается вниз, отодвигаясь от стены. Следовательно, реакция стержня 2 направлена к стене.

Шарнирная опора

Шарнир допускает поворот вокруг точки закрепления. Разли­чают два вида шарниров.

Подвижный шарнир. Стержень, закрепленный на шарнире, может поворачивать­ся вокруг шарнира, а точка крепления может перемещаться вдоль направляющей (площадки) (рис. 1.10).

Неподвижный шарнир. Точка крепления переме­щаться не может. Стержень может свободно поворачи­ваться вокруг оси шарнира. Реакция такой опоры прохо­дит через ось шарнира, но неизвестна по направлению. Её принято изображать ввиде двух составляющих: горизонтальной и вертикальной (R_x, Ry) (рис. 1.11).

Защемление или «заделка». Любые перемещения точки крепле­ния невозможны.

Примеры решения задач

Последовательность решения задач:

1. Выбрать тело (точку), равновесие которого следует рассматри­вать.
2. Освободить тело (шарнир) от связей и изобразить действую­щие на него активные силы и реакции отброшенных связей. Причем реакции стержней следует направить от шарнира, так как принято предполагать, что стержни растянуты.
3. Выбрать оси координат и составить уравнения равновесия, ис­пользуя условия равновесия системы сходящихся сил на плоскости ∑Xi = 0; ∑Yi = 0. Выбирая оси координат, следует учитывать, что полученные уравнения будут решаться проще, если одну из осей напра­вить перпендикулярно одной из неизвестных сил.
4. Определить реакции стержней из решения указанной системы уравнений.
5. Проверить правильность полученных результатов, решив уравне­ния равновесия относительно заново выбранных координат х и у.

Пример 1. Груз подвешен на стержнях и канатах и находится в равновесии (рис. 1.13). Изобразить систему сил, действующих на шарнир А.

Решение

1. Реакции стержней направлены вдоль стержней, реакции гибких связей направлены вдоль нитей в сторону натяжения (рис. 1.13, а).

2. Для определения точного направления усилий в стержнях мысленно убираем последовательно стержни 1 и 2. Анализируем воз­можные перемещения точки А.

Неподвижный блок с действующими на него силами не рассмат­риваем.

3. Убираем стержень 1, точка А поднимается и отходит от стены, следовательно, реакция стержня 1 направлена к стене.

4. Убираем стержень 2, точка А поднимается и приближается к стене, следовательно, реакция стержня 2 направлена от стены вниз.

5. Канат тянет вправо.

6. Освобождаемся от связей (рис. 1.13, б).

Пример 2. Шар подвешен на нити и опирается на стену (рис. 1.14а). Определить реакции нити и гладкой опоры (стенки).

Решение

1. Реакция нити — вдоль нити к точке В вверх (рис. 1.14, б).

2. Реакция гладкой опоры (стен­ки) — по нормали от поверхности опоры.

Пример 3. Представим, что на горизонтально расположенный брус АБ, собственной массой которого пренебрегаем, действует вертикальная нагрузка F, приложенная в точке С бруса (рис. 1.14-1, а). Левый конец бруса А прикреплен к опоре шарниром, а правый В опира­ется на гладкую наклонную плоскость.

Изобразим брус схематично отрезком АВ, как на рис. 1.14-1, б, и приложим к нему в точке С вертикальную силу F. В точке В со стороны наклонной плоскости к брусу приложена ее реакция R_B, направленная перпендикулярно плоскости; линии действия сил F и R_B пересекаются в точке О. Кроме этих сил на брус действует еще одна сила — реакция шарнирно-неподвижной опоры. А так как брус находится в равновесии, то линия действия третьей силы также пройдет через точку О, т. е. реакция R шарнир-но-неподвижной опоры направлена вдоль отрезка АО.

Примененный здесь метод рассуждения называется принципом освобождения тела от связей и замены связей их реакциями.

Пример 4. Определить усилие в стержне CD и силу давления груза А на опорную плоскость EF (рис. 1.14-2, а). Массой стержня CD, блока К, каната и трением каната о блок пренебречь.

Решение

Натяжение кана­та во всех его точках одина­ково и равно силе тяжести груза В, так как неподвиж­ный блок изменяет только направление силы, действую­щей на канат.

Рассмотрим равновесие си­стемы: стержень CD и блок К с прилегающим к нему отрезком каната ML. Отбросим связи и заменим их действие соответствующими реакциями (рис. 1.14-2, 6). Для полученной системы сил можно соста­вить только одно уравнение равновесия:

На рис. 1.14-2, в показаны силы, действующие на груз А с прилегающим к нему отрезком каната ОН. R_EF — реак­ция опорной плоскости.

Так как груз А находится в равновесии, то

откуда

R_еf = Pa – Рв = 600 – 400 = 200 Н.

Сила давления груза А на опорную плоскость RA показана на рис, 1.14-2, г. Очевидно, R_A = R_EF = 200 H (сила действия равна силе противодействия).

Пример 5. Определить реакции стержней, удерживающих грузы F₁ = 70 кН и F₂ = 100 кН (рис. а). Массой стержней пренебречь.

Решение

1. Рассматриваем равновесие шарнира В (рис. а).

2. Освобождаем шарнир В от связей и изображаем действующие на него активные силы и реакции связей (рис. б).

3. Выбираем систему координат, совместив ось у по направлению С реакцией R₂ (рис. б) и составляем уравнения равновесия для системы сил, действующих на шарнир В:

3. Определяем реакции стержней R₁ и R₂, решая уравнения.

Подставляя найденное значение R₁ в уравнение (2), получаем

Знак минус перед значением R₂ указывает на то, что первоначально выбранное направление реакции неверное — следует направить реак­цию R₂ в противоположную сторону, т.е. к шарниру В (на рис. б истинное направление реакции R₂ показано штриховым вектором).

5. Проверяем правильность полученных результатов, выбрав новое расположение осей координат х и у (рис. а). Относительно этих осей составляем уравнения равновесия:

Значения реакций R₁ и R₂, полученные при решении уравнений (1) и (2), совпадают по величине и направлению со значениями, найденными из уравнений (3) и (4), следовательно, задача решена правильно.

Контрольные вопросы и задания

1. Какая из приведенных систем сил (рис. 1.15) уравновешена?

2. Какие силы системы (рис. 1.16) можно убрать, не нарушая механического состояния тела:

3. Тела 1 и 2 (рис. 1.17) находятся в равновесии. Можно ли убрать действующие системы сил, если тела абсолютно твердые? Что изменится, если тела реальные, деформируемые?

4. Укажите возможное направление реакций в опорах (рис. 1.18).

ЛЕКЦИЯ 2

ЛЕКЦИЯ 3

Проекция силы на ось

Проекция силы на ось определяется отрезком оси, отсекаемым перпендикулярами, опущенными на ось из начала и конца вектора (рис. 3.1).

Величина проекции силы на ось равна произведению модуля си­лы на косинус угла между вектором силы и положительным направ­лением оси. Таким образом, проекция имеет знак: положительный при одинаковом направлении вектора силы и оси и отрицательный при направлении в сторону отрицательной полуоси (рис. 3.2).

F_1x = F₁ cos α₁ > 0; F_2x = F₂ cos α₂ = - F₂ cos β₂;

cos α₂ = cos (180° — β₂)= — cos β₂

F_3x = F₃ cos90° = 0; F_4x = F₄ cos180° = - F₄.

Проекция силы на две взаимно перпендикулярные оси (рис. 3.3).

Примеры решения задач

Пример 1. Определить величины и знаки проекций представленных на рис. 3.6 сил.

Решение

Пример 2. Определить величину и направление равнодействующей плоской системы сходящихся сил аналитическим способом.

Решение

1.
Определяем проекции всех сил системы на Ох (рис. 3.7, а):

Сложив алгебраически проекции, получим проекцию равнодействующей на ось Ох.

F_∑x = 8,66 – 20 + 10,6 = - 0,735 кН

Знак говорит о том, что равнодействующая направлен влево.

2.
Определяем проекции всех сил на ось Оу значения проекций, получим величину проекции Оу.

Сложив алгебраически значения проек­ций, получим величину проекции равнодей­ствующей на ось Оу.

Знак проекции соответствует на­правлению вниз. Следовательно, равно­действующая направлена влево и вниз (рис. 3.7б).

3. Определяем модуль равнодействую­щей по величинам проекций:

4. Определяем значение угла равнодействующей с осью Ох:

и значение угла с осью Оу:

Пример 3. Система трех сил находится в равновесии. Известны проекции двух сил системы на взаимно перпендикулярные оси Ох и )у:

F_lx = 10 кН; F_2x = 5 кН;

F_1y = - 2 кН; F_2y = 6 кН.

Определить, чему равна и как направлена третья сила системы.

Решение

1. Из уравнений равновесия системы определяем:

2.
По полученным величинам проекций определяем модуль силы:

Направление вектора силы относитель­но оси Ох (рис. 3.8):

Угол с осью Ох будет равен

Пример 4. Определить величину и направление реакций свя­зей для схемы, приведенной на рисунке, а под действием груза G = 30 кН. Проверить правильность определения реакций.

Решение

1. В задаче рассматривается равновесие тела, опи­рающегося на плоскость и подвешенного на нити. Заменим тело точкой 0, совпадающей с центром тяжести.

2. Приложим к точке 0 активную силу, которой является соб­ственный вес тела G. Направим ее вниз (рис. б).

3. Мысленно отбросим связи — плоскость и нить. Заменим их действие на точку 0 реакциями связей. Реакция плоскости (обо­значим ее R) проходит по нормали к плоскости в точке А, а ре­акция или усилие в нити (обозначим ее S) — по нити от точки. Обе реакции и вес тела или линии их действия должны пересе­каться в точке 0.

Изобразим действующие силы в виде системы трех сходя­щихся сил на отдельном чертеже (рис. в).

4. Выберем положение системы координат. Начало координат совмещаем с точкой 0. Ось х совмещаем с направлением линии действия реакции R, а ось у направим перпендикулярно оси х (рис. г). Определим углы между осями координат и реакциями R и S. Обычно рис. б и в не выполняют отдельно, а сразу от рис. а переходят к рис. г. Можно было ось у совместить с усилием S, и ось х направить по углом 90°, тогда решение было бы другим.

5. Составим сумму проекций всех сил на оси координат:

Решим систему уравнений. Из второго уравнения находим

Из первого уравнения находим

6.Проверим решение, для чего расположим оси координат, как показано на рис. д. Составим уравнения равновесия для вновь принятых осей:

Решим систему уравнений способом подстановки.

Из первого уравнения найдем R:

Подставим это выражение во второе уравнение:

Очевидно, что при расположении осей, как показано на рис. д, вычисления оказались более сложными.

Ответ: R = 11,84 кН; S = 22,21 кН.

Пример 5. Определить усилия в нити и стержне кронштейна, показанного на рис. а, если G = 20 кН.

Решение

1. Рассмотрим равновесие точки А (или узла А), в которой сходятся все стержни и нити.

2. Активной силой является вес груза G, направленный вниз (рис. б).

3. Отбросим связи: стержень и нить. Усилие в нити обозна­чим Sx и направим от точки А, так как нить может испытывать только растяжение. Усилие в стержне обозначим S₂ и тоже на­правим от точки А, предполагая что стержень АС растянут (рис. б).

Выполним на отдельном чертеже схему действия сил в точке А (рис. в).

4. Выберем положение системы координат. Начало коорди­нат совмещаем с точкой А (рис. г). Ось х совмещаем с лини­ей действия усилия S, а ось у располагаем перпендикулярно оси х. Укажем углы между осями координат и усилиями S₁. и S₂.

5. Составим уравнения равновесия.

Из второго уравнения находим

Из первого уравнения находим

Знак «минус» перед S₂ свидетельствует о том, что стержень АС не растянут, как предполагалось, а сжат.

6. Проверку решения предлагаем выполнить самостоятельно, расположив оси координат так, как показано на рис. д.

1. Рассматриваемой тонкой остается точка А.

2. Активная сила (вес груза G) действует на точку горизонтально слева направо, так как груз перекинут через блок.

3. Усилия S₁ и S₂ прикладываем к точке А, как в примере 2.

4. Выбираем систему координат, как показано на рис. б.

5. Составляем и решаем уравнения равновесия:

Из первого уравнения находим

Из второго уравнения находим

Ответ: S₁ = 26,94 кН; S₂ = - 10,64 кН при принятом направлении усилий на чертеже. Усилие S₁ увеличилось, S₂ — уменьшилось, а знаки не изменились.

Пример 7. Определить усилия в стержнях (рис. а). Массой стержней пренебречь.

Решение

В соответствии с последовательностью действий, будем рассматривать равновесие узла А к которому приложены заданные нагрузки (Р, 2Р, 3Р) и искомые реакции стержней АВ и АС.

Освободим узел А от связей, заменим их действие искомыми реакциями N_АС, N_AB (рис. в). Получили плоскую систему сходящихся сил.

Выбираем систему координат (рис. г).

Сила N _AB перпендикулярна оси v, сила N _АС — оси и; поэтому в каждое уравнение равновесия войдет лишь одна неизвестная сила:

Силы N_AB и N_АС получились положительными; это значит, что предполагаемые направления сил совпадают с действительными.

На рис. д показаны силы, действующие на узел (реакции стержней), и силы, действующие на стержни (усилия в стержнях или реакции узла).

Решим тот же пример графическим методом.

Полученная система сил (см. рис. в) находится в равновесии, и, следовательно, силовой многоугольник, построенный для этой системы сил, должен быть замкнутым.

Строим силовой многоугольник. Выбираем масштаб (рис. е). От точки О (рис. ж) в выбранном масштабе откладываем сначала силу Р, затем от конца вектора Р — силу 2Р, после чего от конца вектора 2Р — силу ЗР. Масштаб следует выбрать достаточно крупный, с тем чтобы при измерении отрезков (векторов), изображающих искомые силы, можно было получить их значения без большой погрешности. Через точку b проводим линию, параллельную стержню АС, и через точку О — линию, параллельную стержню АВ. Отрезки ОС и CB представляют собой искомые усилия. Направления задан­ных сил известны; стрелки, изображающие направления искомых сил, ставим таким образом, чтобы в векторном многоугольнике было единое на­правление обхода — в данном случае против часовой стрелки. Измерив отрезки к и Ос в со­ответствии с выбранным мас­штабом, находим абсолютные величины реакций; N_Acza\,2P\ N_ab~4,2P.

Решение примера выполнено двумя способами, которые (в пределах точности построений) дали совпадающие результаты. Очевидно, здесь никакой допол­нительной проверки решения не требуется.

Пример 8. Определить предельное значение угла а, при котором груз А (рис. а) будет находиться в по­кое. Плоскость ВС считать абсолютно гладкой.

Решение

Силы, действующие на груз А, представляют собой плоскую систему сходящихся сил. N_BC — реакция наклонной плоскости.

Если груз А находится в покое, то ∑P_to = 0, т.е.

Контрольные вопросы и задания

1. Запишите выражение для расчета проекции силы F на ось Оу (рис. 3.9).

2. Определите сумму проекций сил системы на ось Ох (рис. 3.10).

4. Определите величину силы по известным проекциям:

F_x = 3 кН; F_y = 4 кН.

5.
Груз находится в равновесии (рис. 3.11). Какая система урав­нений равновесия для шарнира А записана верно?

Указания.

1. При ответе на вопросы 1 и 2 необходимо знать, что в выраже­ние для величины проекции силы на ось подставляется угол между вектором силы и положительной полуосью координат. Не забыть, что определяется алгебраическая сумма.

2. При ответе на вопрос 4 сначала следует определить возмож­ные направления реакций в стержнях, мысленно убирая по очереди стержни и рассматривая возможные перемещения (см. лекцию 1).

Затем записать алгебраические суммы проекций сил на оси О_х и О_у. Полученные уравнения сравнить с приведенными.

5. Ответьте на вопросы тестового задания.

Расчетные формулы

Равнодействующая системы сил

где F_∑x, F_{∑ y} — проекции равнодействующей на оси координат; F_kx, F_ky — проекции векторов-сил системы на оси координат.

где — угол равнодействующей с осью Ох.

Условие равновесия

Если плоская система сходящихся сил находится в равновесии, мно­гоугольник сил должен быть замкнут.

Пример 1. Определение равнодействующей системы сил.

Определить равнодействующую плоской системы сходящихся сил аналитическим и геометрическим способами (рис. П1.1). Дано:

Решение

1. Определить равнодействующую аналитическим способом (рис.

2. Определить равнодействующую графическим способом.

С помощью транспортира в масштабе 2 мм = 1 кН строим много­угольник сил (рис. П1.1б). Измерением определяем модуль равно­действующей силы и угол наклона ее к оси Ох.

Результаты расчетов не должны отличаться более чем на 5%:

Расчетно-графическая работа №1. Определение равнодействующей плоской системы схо­дящихся сил аналитическим и геометрическим способами

Задание 1. Используя схему рис. П1.1а, определить равнодей­ствующую системы сил геометрическим способом

Пример 2. Решение задачи на равновесие аналитиче­ским способом.

Грузы подвешены на стержнях и канатах и находятся в равно­весии. Определить реакции стержней АВ и СВ (рис. П1.2).

Решение

1. Определяем вероятные направления реакций (рис. П1.2а). Мысленно убираем стержень АВ, при этом стержень СВ опускается, следовательно, точка В отодвигается от стены: назначение стержня АВ — тянуть точку В к стене.

Если убрать стержень СВ, точка В опустится, следовательно, стержень СВ поддерживает точку В снизу — реакция направлена вверх.

2. Освобождаем точку В от связи (рис. П1.26).

3. Выберем направление осей координат, ось Ох совпадает с ре­акцией R₁.

4. Запишем уравнения равновесия точки В:

5. Из второго уравнения получаем:

Из первого уравнения получаем:

Вывод: стержень АВ растянут силой 28,07 кН, стержень СВ сжат силой 27,87 кН.

Примечание. Если при решении реакция связи окажется отрицательной, значит, вектор силы направлен в противоположную сторону.

В данном случае реакции направлены верно.

Задание 2. Определить реакции стержней АС и AD (рис. П1.3) в аналитической форме.

При защите работ ответить на вопросы карт с тестовыми заданиями.

Задача 1

Задача 2. Определить реакции стержней, удерживающих грузы F₁ и F₂. Массой стержней пренебречь. Схему своего варианта см. на рисунке. Числовые данные своего варианта взять из таблицы.

ЛЕКЦИЯ 4

Пара сил, момент пары сил

Парой сил называется система двух сил, равных по модулю, параллельных и направ­ленных в разные стороны.

Рассмотрим систему сил (F, F ¹), образую­щих пару.

1. Пара сил вызывает вращение тела, и ее действие на тело оценивается моментом.
2. Силы, входящие в пару, не уравновешива­ются, т. к. они приложены к двум точкам (рис. 4.1). Их действие на тело не может быть заменено одной силой (равнодействую­щей).
3. Момент пары сил численно равен произ­ведению модуля силы на расстояние между линиями действия сил (плечо пары).
4. Момент считают положительным, ес­ли пара вращает тело по часовой стрелке (рис. 4.1 б): M ( F; F') = Fa; М > 0.
5. Плоскость, проходящая через линии действия сил пары, называется плоскостью действия пары.