V. Кривые на поверхности эллипсоида вращения — КиберПедия 

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...

V. Кривые на поверхности эллипсоида вращения

2017-07-01 1040
V. Кривые на поверхности эллипсоида вращения 0.00 из 5.00 0 оценок
Заказать работу

Взаимные нормальные сечения

 
 

 


Рис. 24. Нормальные сечения

В точках А и В поверхности эллипсоида (рис. 24) с широтами В1 и В2 (В21) проведём нормали na и nb к поверхности до их пересечения с осью вращения PP'. Нормальные плоскости AaBna и AbBnb образуют с поверхностью эллипсоида кривые АaВ и ВbА, которые называются взаимно обратными нормальными сечениями.

Видно, что несовпадение прямых и обратных нормальных сечений

 

- 41 -

 

приводит к тому, что измеренные горизонтальные углы на трёх пунктах треугольника не образуют на поверхности эллипсоида замкнутого треугольника; фигура получается "разорванной". Эту неопределённость в образовании треугольников можно устранить, если вершины соединять геодезическими линиями.

 

Расхождение взаимных нормальных сечений

 

 
 


а)

       
 
   
 


б) в)

Рис. 25. Расхождение нормальных сечений:

na, nb -точки пересечения нормалей к поверхности эллипсоида в точках А и В с малой осью; σ - угол между прямыми naA и naB; AaB - прямое нормальное сечение в точке А на точку В; BbA - прямое нормальное сечение в точке В на точку А;

f - угол между плоскостями ABna и ABnb двух взаимно обратных нормальных сечений; d = kk2 - дуга на поверхности эллипсоида, длина которой равна расстоянию между прямым и обратным нормальными сечениями; АВ - хорда, стягивающая дугу AaB.

- 42 -

 

Обозначим угол kna A - через θ. Угол θ может принимать

 

значения от до σ. Тогда получим

       
   
 
 


Угол f вычисляют по формуле

 
 


( 103)

 

 
 


где средняя широта отрезка АВ, А 1,2 = А А,В - азимут

 

прямого нормального сечения.

Из рис. 25, в следует, что

 
 


(104)

 

Из треугольника Akk1 (см. рис. 25- а)

 
 

 


(105)

 
 


Из рис. 25-б имеем

 

или на основании (103) и (105)

 
 


(106)

 

Наибольшее линейное расхождение между сечениями AaB и AbB будет в середине дуги АВ, т. е. при

 

Следовательно, из (106) получаем

 
 


(107)

 

В формуле (107): N1 - радиус кривизны первого вертикала в точке А;

А1 - азимут линии АВ.

 

- 43 -

 

Пользуясь (107), вычислим значения dmax для различных расстояний s между точками А и В. Положим, что широта Вm = 45°,А1 = 45°, тогда, получим

s (км) …… 200 100 50

dmax (м) …… 0,050 0,006 0,0008.

Результаты вычислений показывают, что линейные расхождения между прямым и обратным нормальными сечениями малы.

Геодезическая линия

Между двумя точками на любой поверхности можно провести множество кривых.

В геодезии решение задач по определению взаимного положения точек земной поверхности основано на построении на ней определённых фигур (обычно треугольников) и вычислении числовых значений элементов этих фигур. Поэтому следует решить, какими кривыми соединять точки поверхности земного эллипсоида при вычислении элементов геодезических построений.

В сфероидической геодезии точки на поверхности эллипсоида соединяются г е о д е з и ч е с к и м и л и н и я м и, которые определяются как кратчайшие расстояния между ними.

Геодезическая линия на поверхности - такая кривая, в каждой точке которой соприкасающаяся плоскость проходит через нормаль к поверхности в той же точке. Если на поверхности эллипсоида взять три близкие точки M, N, K, через которые провести плоскость,то предельное положение плоскости при M → N и K → N носит название с о п р и -

к а с а ю щ е й с я п л о с к о с т и; касательная в точке N лежит в соприкасающейся плоскости; главная нормаль в точке N совпадает с нормалью к поверхности.

Из определения геодезической линии и понятия соприкасающейся плоскости можно представить следующий геометрический метод построения геодезической линии на поверхности земного эллипсоида.

Пусть РР1 (рис. 26) - малая ось эллипсоида, An1 - нормаль к поверхности эллипсоида в точке А. Установим в точке А теодолит так, чтобы его ось вращения совпала с нормалью к поверхности эллипсоида в данной точке.

После этого в заданном направлении отметим на поверхности эллипсоида точку а, близкую к точке А. Перенесём теодолит в точку а, совместим ось вращения его с нормалью an2 к поверхности эллипсоида, наведём трубу на точку А, повернём алидаду горизонтального круга точно на 180° и отметим на поверхности эллипсоида к а точку b. Затем перенесём теодолит в точку b, установим его ось вращения по нормали bn3, наведём трубу на точку а, повернём алидаду точно на 180° и в коллимационной плоскости наметим точку с, близкую к точке b.

 

- 44 -

 
 

 

 


- 44 -

 

 

Рис. 26. Пример построения геодезической линии

Поступая таким образом до тех пор, пока расстояние между начальной точкой А и соответствующей точкой i не сделается равным заданному, и предполагая, что указанные выше перестановки теодолита производились через бесконечно малые расстояния, получаем на поверхности эллипсоида

г е о д е з и ч е с к у ю линию (рис. 27).

 
 

 

 


Рис. 27. Вид геодезической линии:

AaB - прямое нормальное сечение в точке А; AbB - обратное нормальное сечение в точке А; BbA - прямое нормальное сечение в точке В; BaA - обратное нормальное сечение в точке В.

 

 

- 45 -

Геодезическая линия на поверхности эллипсоида (при азимутах, не близких к 90 или 270°) делит угол между взаимными нормальными сечениями в отношении 1:2 и располагается в данной точке ближе к прямому нормальному сечению.

Другими словами, угол между геодезической линией, соединяющей точки

А и В, и прямым нормальным сечением в каждой из этих точек равен 1/3 угла между прямым и обратным нормальными сечениями в данной точке. Эта зависимость используется для получения формулы поправки в направления за переход от прямого нормального сечения к геодезической линии.

 


Поделиться с друзьями:

Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначен­ные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...

Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...

История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...

Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...



© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!

0.023 с.