Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Дисциплины:
2017-06-29 | 359 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Интегралы типа , называемые интегралами от дифференциального бинома, где a и b – вещественные числа; - рациональные числа, берутся лишь в случае, когда хотя бы одно из чисел является целым числом.
Приведение подынтегральной функции к рациональной осуществляется с помощью следующих подстановок:
1) если p – целое число, то подстановка , где -наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n;
2) если - целое число, то подстановка , где s – знаменатель дроби p;
3) если - целое число, то подстановка , где s - знаменатель дроби p.
Во всех остальных случаях интегралы типа не выражаются через известные элементарные функции.
Пример.
Так как , то делаем подстановку . Таким образом
ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
Пусть функция определена и непрерывна на отрезке [a,b], где -∞< a<b<∞.
1. Разобьем отрезок [a,b] произвольным образом на n частичных отрезков .
2. В каждом частичном отрезке , где , выбираем произвольным образом точку и вычисляем значение функции в этой точке
3. Умножим найденное значение функции на длину соответствующего частичного отрезка, получим .
4. Составим сумму всех таких произведений:
,
которая называется интегральной суммой функции на отрезке [a,b].
5. Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка , где . Перейдем в интегральной сумме к пределу при .
Определение. Определенным интегралом функции на отрезке [a,b] называется предел интегральной суммы , если этот предел существует, конечен и не зависит от способа составления интегральной суммы и обозначается
.
Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, - подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования, отрезок [a,b] – отрезком интегрирования.
|
Имеет место следующее утверждение:
Если функция непрерывна на отрезке [a,b], то определенный интеграл существует.
Перечислим свойства определенного интеграла
1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. .
2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю: .
3. Для любого вещественного числа k верно, что .
4. Аддитивность по функции: если функции и интегрируемы на [a,b], тогда интегрируема на [a,b] и их сумма
.
5. Аддитивность по области: если функция интегрируема на [a,b] и a<c<b, то .
(Заметим, что это свойство верно и в случае )
6. «Теорема о среднем». Если функция непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка такая, что
.
Доказательство:
Пусть и m, M - наименьшее и наибольшее значение функции f(x) на промежутке [a,b]. Тогда по свойству 10 (оценка интегралов) имеем
. Обозначим , где
. Так как f(x) непрерывна, следовательно, по свойству непрерывных функций , следовательно,
ч.т.д.
7. Если функция неотрицательна на отрезке [a,b], где a<b, то интеграл имеет тот же знак, что и функция, т.е. .
8. Если при , то
.
9. Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции:
10. Оценка интеграла. Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [a,b], (a<b), то
.
11. При перестановке местами пределов интегрирования знак определенного интеграла меняется на противоположный
.
12. Интеграл по симметричному промежутку от нечетной функции равен нулю, т.е. если , то .
13. Интеграл по симметричному промежутку от четной функции равен удвоенному интегралу от этой функции по половине промежутка, т.е. если , то .
|
|
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!