Интегрирование дифференциального бинома — КиберПедия 

Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...

Интегрирование дифференциального бинома

2017-06-29 359
Интегрирование дифференциального бинома 0.00 из 5.00 0 оценок
Заказать работу

Интегралы типа , называемые интегралами от дифференциального бинома, где a и b – вещественные числа; - рациональные числа, берутся лишь в случае, когда хотя бы одно из чисел является целым числом.

Приведение подынтегральной функции к рациональной осуществляется с помощью следующих подстановок:

1) если p – целое число, то подстановка , где -наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n;

2) если - целое число, то подстановка , где s – знаменатель дроби p;

3) если - целое число, то подстановка , где s - знаменатель дроби p.

Во всех остальных случаях интегралы типа не выражаются через известные элементарные функции.

Пример.

Так как , то делаем подстановку . Таким образом

 

 


ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

 

Пусть функция определена и непрерывна на отрезке [a,b], где -∞< a<b<∞.

1. Разобьем отрезок [a,b] произвольным образом на n частичных отрезков .

2. В каждом частичном отрезке , где , выбираем произвольным образом точку и вычисляем значение функции в этой точке

 

3. Умножим найденное значение функции на длину соответствующего частичного отрезка, получим .

4. Составим сумму всех таких произведений:

,

которая называется интегральной суммой функции на отрезке [a,b].

5. Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка , где . Перейдем в интегральной сумме к пределу при .

Определение. Определенным интегралом функции на отрезке [a,b] называется предел интегральной суммы , если этот предел существует, конечен и не зависит от способа составления интегральной суммы и обозначается

.

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, - подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования, отрезок [a,b]отрезком интегрирования.

Имеет место следующее утверждение:

Если функция непрерывна на отрезке [a,b], то определенный интеграл существует.

 

Перечислим свойства определенного интеграла

 

1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. .

2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю: .

3. Для любого вещественного числа k верно, что .

4. Аддитивность по функции: если функции и интегрируемы на [a,b], тогда интегрируема на [a,b] и их сумма

.

5. Аддитивность по области: если функция интегрируема на [a,b] и a<c<b, то .

(Заметим, что это свойство верно и в случае )

6. «Теорема о среднем». Если функция непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка такая, что

.

Доказательство:

Пусть и m, M - наименьшее и наибольшее значение функции f(x) на промежутке [a,b]. Тогда по свойству 10 (оценка интегралов) имеем

. Обозначим , где

. Так как f(x) непрерывна, следовательно, по свойству непрерывных функций , следовательно,

ч.т.д.

7. Если функция неотрицательна на отрезке [a,b], где a<b, то интеграл имеет тот же знак, что и функция, т.е. .

8. Если при , то

.

9. Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции:

10. Оценка интеграла. Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [a,b], (a<b), то

.

11. При перестановке местами пределов интегрирования знак определенного интеграла меняется на противоположный

.

12. Интеграл по симметричному промежутку от нечетной функции равен нулю, т.е. если , то .

13. Интеграл по симметричному промежутку от четной функции равен удвоенному интегралу от этой функции по половине промежутка, т.е. если , то .


Поделиться с друзьями:

Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...

Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...

История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...

Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...



© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!

0.013 с.