Тема 1. Ковариация, дисперсия и корреляция.

Выборочная ковариация. Несколько основных правил расчета ковариации. Теоретическая ковариация. Правила расчета дисперсии и коэффициента корреляции.

Тема 2. Парный регрессионный анализ.

Модель парной линейной регрессии. Регрессия по методу наименьших квадратов. Детальное рассмотрение остатков. Интерпретация уравнения регрессии. Уравнение парной регрессии.

 

 

Задания к контрольной работе.

 

Каждый студент выполняет контрольную работу по одному из семи вариантов в соответствии с начальной буквой своей фамилии.

 

 

Начальная буква Вариант

А Б ВЧ 1

Г Д ЕШ 2

Ж З ИЩ 3

К ЛЭ 4

М Н ОЮ 5

П Р СЯ 6

Т У Ф Х Ц 7

Список рекомендуемой литературы

Основная литература

1. Валентинов В.А. Эконометрика. Учебник.-М.: Дашков, 2010.

2. http://www.biblion.ru/product/581116/

3. Валентинов В.А. Эконометрика. Практикум.-М.: Дашков, 2009

4. http://www.labirint.ru/books/216763/

Дополнительная литература

1. Практикум по эконометрике: Учебное пособие/ И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордиенко и др.; под ред. И.,И. Елисеевой – М.: финансы и статистика, 2001.

2. Айвазян С.А. Методы эконометрики. Учебник.-М.: Инфра-М, 2010.

Примеры решения некоторых задач

Задача 1. Уравнение парной регрессии.

На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер.

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a + ε

Для оценки параметров α и β - используют МНК (метод наименьших квадратов).

Система нормальных уравнений.

a•n + b∑x = ∑y

a∑x + b∑x² = ∑y•x

Для наших данных система уравнений имеет вид

17a + 172322 b = 127954

172322 a + 5525219972 b = 2987470157

Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение:

Получаем b = 0.45, a = 2991.68

Уравнение регрессии:

y = 0.45 x + 2991.68

Параметры уравнения регрессии.

Выборочные средние.

 

Выборочные дисперсии:

 

 

Среднеквадратическое отклонение

 

 

Коэффициент корреляции

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

 

1.2. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

 

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 0.45 x + 2991.68

1.3. Коэффициент эластичности. Коэффициент эластичности находится по формуле:

 

 

Ошибка аппроксимации.

 

 

Индекс корреляции (эмпирическое корреляционное отношение).

 

где

S_y0 = 1984069151.53 + 1227774335.57 = 3211843487.1

Для любой формы зависимости теснота связи определяется с помощью множественного коэффициента корреляции:

 

1.6. Коэффициент детерминации. Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах. R²= 0.62² = 0.3812

x	y	x 2	y 2	x • y	y(x)	(yi-ycp) 2	(y-y(x))2	(xi-xcp)2	|y - yx|:y
					6962.28	270705.97	1176613.79	1591604.88	0.13
					22333.32	1623.62	218044218.15	1095306279.88	1.95
					2993.02	28930476.97	714062.19	102689610.52	0.39
					2992.13	37108880.56	2424645.19	102730148.88	1.09
					3055.21	47247832.56	5770610.3	99891793.99	3.68
					3571.05	41379704.97	6135787.41	78173682.52	2.26
					3797.43	37757410.38	5834313.64	69482031.23	1.75
					22365.98	1495004969.2	567679229.13	1100143538.99	0.52
					11625.89	6057968.73	2682694.81	83949789.35	0.16
					6061.68	142069572.26	179139965.96	10722928.11	0.69
					3903.46	41921816.26	8130848.3	65587131.4	2.71
					5177.19	3616485.26	200535.07	27579178.99	0.0796
					3178.69	4867733.73	42958984.99	94450957.29	0.67
					3668.58	1778771.38	6372678.34	74366274.05	0.41
					18727.79	2198416.73	160878533.99	626821914.05	2.1
					3139.77	48702335.79	6717253.61	96149560.64	4.73
					4400.52	45154447.15	12913360.72	48826389.35	4.45
						1984069151.53	1227774335.57	3778462814.12	27.78

Оценка параметров уравнения регрессии.

Значимость коэффициента корреляции.

 

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=15 находим t_крит:

t_крит (n-m-1;α/2) = (15;0.025) = 2.131

где m = 1 - количество объясняющих переменных.

Интервальная оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал).

 

r(0.2976;0.9372)

2.3. Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии.

Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:

 

 

S²_y = 81851622.37 - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

 

S_y = 9047.19 - стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).

S_a - стандартное отклонение случайной величины a.

 

 

S_b - стандартное отклонение случайной величины b.

 

 

Доверительные интервалы для зависимой переменной.

(a + bx_p ± ε)

где

 

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и X_p = 11150

 

Индивидуальные доверительные интервалы для Y при данном значении X.

(a + bx_i ± ε)

где

 

 

Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии.

1) t-статистика. Критерий Стьюдента.

t_крит (n-m-1;α/2) = (15;0.025) = 2.131

 

 

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.

(b - t_крит S_b; b + t_крит S_b)

(a - t_крит S_a; a + t_крит S_a)

2) F-статистика. Критерий Фишера.

 

где m – число факторов в модели.

 

 

где m=1 для парной регрессии.

Табличное значение критерия со степенями свободы k₁=1 и k₂=15, F_табл = 4.