Режима возбуждения скважины с использованием полых погружных отражателей-фильтров

где с₀ - фазовая скорость звука в безграничной жидкости; ц - модуль сдвига породы; Е - модуль Юнга для материала обсадной трубы с толщиной стенок h и радиусом R_c.

Из уравнения (5.1.7) можно найти вещественную и мнимую часть kL, а по вещественной части для заданной частоты - определить резонансные длины L_p. В общем случае это уравнение можно решать только численно, но если ввести упрощающие предположения, то его можно решить и аналитически.

Будем считать, что пространственное поглощение в среде мало влияет на распределение давлений и скоростей вне резонанса, но амплитуда колебаний при резонансе существенно зависит от поглощения. Тогда в частотном уравнении (5.1.7) можно брать действительную часть выражения (5.1.8). Далее, считаем, что наличие "пропускания" отражателей вносит лишь малую поправку в величину L_p, а ниже определим допустимое условие для выполнения этого предположения.

Положим kL = k₀L + /а + |3, где k₀L - решение частотного уравнения в отсутствие поглощения и

"пропускания" отражателей, причем |/а + |3| «1. Разлагая котангенс в ряд, разделяя вещественные и мнимые части и ограничиваясь членами не выше второго порядка малости относительно а, найдем:

^РА^ (5.1.9)

² +1

а=

l+(p_an_ax)²]²

Условие применимости подобного разложения -если третий член намного меньше второго по модулю, или

(5.1.10)

Х1+(_рАх)²

Теперь для определения резонансных длин при заданной частоте получаем:

со

(5.1.12)

где

.(5.1.13)

Определим далее добротность рассмотренного резонансного устройства. Комплексную проводимость для определения X и R полого отражателя, заполненного слоем газа с толщиной h_n можно представить как

Y~ —

Л² +1

В²+А²+1

(5.1.14)

где А = tg(coAj_r/c_r); В = р_гс_г/р_вс_в; р_г, с_г - соответственно плотность газа и фазовая скорость звука в нем.

Тогда добротность, связанная с излучением через отражатели (пропусканием отражателей), определится в виде

2(£>L_p (A² + 1) ² ~ q(B²A² +1)

(5.1.15)

Коэффициент 8_С в выражении (5.1.4), связанный с фильтрацией, можно выразить из мнимой части выражения для комплексного числа трубной волны:

величина У_с - комплексная проводимость стенки скважины с перфорационными отверстиями. Для ее определения воспользуемся следующим способом [178].

Пусть на стенке скважины действует давление р'е 'J. В цилиндрической системе координат считаем, что все величины не зависят от z и 9. Запишем закон Дарси в пористой среде:

др г\

дг %

(5.1.17)

где ц - динамическая вязкость жидкости; % -проницаемость пористой среды, вмещающей скважину. Если выделить объем жидкости, втекающей в перфорационное отверстие, то ввиду малости отверстия по сравнению с диаметром скважины можно считать, что давление и скорость частиц в этом выделенном объеме зависят только от переменной (одномерная задача). Тогда условие неразрывности дает

ди _ т др дг В' dt'

(5.1.18)

где т - коэффициент пористости; В' - модуль всестороннего сжатия жидкости в поровом пространстве. Из (5.1.17) и (5.1.18), учитывая, что р = р'еЛ/ и р' - функция только г, получаем

^=1^-шр. (5.1.19)

дг %в'

Решение уравнения (5.1.19) имеет вид:

Р' =--- А^ех^-хг), (5.1.20)

Для колебательной скорости, учитывая (5.1.17), находим

^^f-~ f°l,exi-%r). (5.1.21) Л ех^- %R_c)

Проводимость пористой площади отверстия определяем как отношение колебательной скорости к давлению:

р у г\В)

Чтобы получить величину У_с, нужно умножить

последнее выражение на отношение площади

перфорационных отверстий к площади

цилиндрической поверхности участка скважины,
приходящейся на единицу длины:

где г₀ - радиус перфорационного отверстия; п -плотность перфорации.

Окончательно можно записать

Q₃ =

(5.1.23)

где

8„ = Im

со

■ +

Eh 2R

,2р_а<вУ_с

(5.1.24)

Выражения (5.1.1)-(5.1.24) использовались при оценке резонансных длин и добротности резонансного режима в зависимости от вынуждающей частоты генератора, толщины слоя газа в отражателях, радиусов перфорационных отверстий и их плотности для различных значений проницаемости вмещающей скважину пористой среды. Они позволяют для конкретных параметров скважины, таких как ее радиус, глубина продуктивного интервала, упругие константы колонны и вмещающей породы, свойства скважинной жидкости, параметры перфорации, проницаемость и по­ристость коллектора, рассчитывать оптимальные (с точки зрения достижения максимальной добротности при резонансах) режимы обработки призабойных зон.

Меняя расстояние между отражателями и генератором в пределах продуктивного интервала скважины, можно подбирать резонансные частоты возбуждения и добиваться согласования возбуждающей частоты с резонансными свойствами продуктивного пласта.

&Q-

Рис. 5.1.2. Добротность резонансного режима возбуждения упругих