Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Топ:
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2017-06-26 | 613 |
5.00
из
|
Заказать работу |
2.1. Алгоритмы расчета параметров гамма-распределения методом моментов и его развитие
Классический метод моментов основан, как отмечалось выше, на сопоставлении эмпирических моментов, найденных по статистическим данным эксплуатации, с теоретическими моментами, связанными аналитическими выражениями с параметрами рассматриваемых распределений (см. Приложение 1). При этом используются два первых момента – точечные оценки математического ожидания и дисперсии , являющиеся при правильной обработке информации состоятельными и несмещенными. Так, например, для гамма - распределения с плотностью вероятности имеют место соотношения (уравнения) и , которые легко разрешаются относительно и .
В общем, вычислительных проблем не возникает. Однако имеющаяся важная экспериментальная информация об оценках коэффициентов асимметрии и эксцесса совершенно не используется. И это требует в последующих работах, как отмечено во Введении, развития метода моментов.
.2. Алгоритмы расчета параметров распределения Вейбулла
Для распределения Вейбулла соотношения эмпирических моментов с параметрами распределения (см. Приложение 1) имеют вид:
- для математического ожидания (среднего времени наработки до отказа — T):
;
- для дисперсии D и среднеквадратического отклонения σ:
; ;
- для коэффициента асимметрии Sk («скоса» — skewness):
- для коэффициента эксцесса Ex («островершинности» — excess) :
Для нахождения двух неизвестных параметров a и b достаточно использовать два первых соотношения, заменив теоретические значения моментов их выборочным несмещенным оценкам.
Выражая параметр b из соотношения для первого момента
и подставляя его во второе соотношение, мы получаем алгебраическое уравнение для параметра а:
где величины с «тильдой» означают выборочные моменты.
Для нахождения значения параметра a построим (для конкретных данных) график функции
.
И просто найдём точку пересечения графика с осью абсцисс. Воспользовавшись полученным значением параметра a, вычислим значение параметра b.
Заметим и здесь, что информация об асимметрии и об островершинности опять таки не испльзуется.
АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ МЕТОДОМ
МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ
3.1. Алгоритмы расчета параметров гамма-распределения
Для гамма-распределение с плотностью
функция правдоподобия имеет вид
где — полная выборка наработок до отказа, — Эйлеров интеграл II рода.
Эквивалентная функция правдоподобия, после логарифмирования функции , имеет вид
И в окончательном виде
Необходимое условие экстремума:
Последний член следует, напомним, из известной формулы для производной функции , которая такова
Из первого уравнения следует где - точечная оценка среднего времени наработки до отказа, рассчитанная по полной выборке.
Подставим теперь найденное выражение для во второе уравнение
и преобразуем его к виду (это ).
Далее можно записать Приводя левую часть уравнения к виду , окончательно получим компактное уравнение для получения численной оценки параметра
Или в более развернутом виде
Получив оценку параметра , вычисляем и оценку параметра по формуле
Желательно получить в аналитическом виде и построить график функции . Есть несколько путей получения такой функции. Один из них — в использовании асимптотического разложения Джеймса Стирлинга для гамма-функции.
Асимптотическое разложение для гамма-функции таково
Здесь надо вывести выражение для и получить в явном виде.
Заметим также, что (см. Справочник Корн и Корн по математике) где е- постоянная Эйлера – Маклорена.
Прямой вычислительный алгоритм нахождения оценок и для гамма-распределения приведем ниже. А здесь отметим, что умение использовать в расчетах именно гамма-распределение очень важно для практики, т.к. из гамма-распределения вытекают:
- Экспоненциальное распределение при
- Распределение Эрланга при целом (
- Хи-квадрат распределение ( - распределение) при кратном и при
Получим все необходимые соотношения и расчетные формулы
или
где
Далее
Заметим, что
В итоге получим окончательно аналитическое выражение
3.2. Алгоритмы расчета параметров распределения Вейбулла для полной выборки
Для этого распределения все характеристики представляются в аналитическом виде
Функции правдоподобия:
Необходимые условия экстремума:
Из первого уравнения находим выражение для
и, подставляя его во второе уравнение, приходим к уравнению:
которое надо разрешить относительно параметра При получении последнего уравнения использовано соотношение для коэффициента
.
С вычислительной точки зрения может быть целесообразнее принять следующую запись этого уравнения
Для решения таких уравнений предлагается использовать идею непрерывного градиента и для нахождения решать следующее дифференциальное уравнение:
с начальным условием, например Тогда даёт искомое значение оценки параметра После чего остается вычислить по формуле .
3.3. Алгоритмы расчета параметров распределения Вейбулла для цензурированной выборки
Имеем усеченную выборку объемом , содержащую:
· ряд наработок с отказами ;
· ряд безотказных наработок .
Из первого уравнения: .
Решаем уравнение и находим параметр a.
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!