Линейный метод наименьших квадратов — КиберПедия 

История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...

Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...

Линейный метод наименьших квадратов

2017-06-25 864
Линейный метод наименьших квадратов 0.00 из 5.00 0 оценок
Заказать работу

Аналитику часто приходится строить линейные зависимости, например, градуировочные прямые. Для обеспечения правильности результата анализа построение градуировочных зависимостей имеет решающее значение. Однако все результаты измерений характеризуются некоторой неопределенностью и данные, полученные для построения градуировочной зависимости, не составляют исключения. Они неизбежно имеют разброс относительно прямой, и часто прямую в таких случаях проводят интуитивно, на глаз, просто приложив линейку так, чтобы точки были разбросаны относительно прямой равномерно. Использование статистических методов позволяют определить наиболее вероятное расположение прямой.

В качестве основополагающего принципа обычно используют метод наименьших квадратов. Он состоит в следующем:

Экспериментальный набор данных наилучшим образом описывает та прямая, для которой сумма квадратов отклонений экспериментальных значений от рассчитанных минимальна.

Если предполагается, что зависимость между переменными x и y линейна, то данные должны удовлетворять уравнению

y = mx + b

Символом y обозначена зависимая переменная (например, оптическая плотность при спектрофотометрических измерениях), символом х независимая переменная, параметры m и b называются, соответственно, угловым коэффициентом (тангенсом угла наклона) и свободным членом.

Если х – заданная величина (например, концентрация), а y измеряемая величина, то отклонения рассчитывают вдоль вертикальной оси.(В этом случае предполагают, что значения независимой переменной xi не содержат погрешностей).

Тогда величина yi в точности равна

yi = mxi + b.

Сумма квадратов отклонений S равна:

Наилучшей прямой является та, для которой величина S минимальна. Для нахождения соответствующих параметров следует продифференцировать выражение для S по b приравнять производные нулю и решить полученную систему из двух уравнений относительно m и b. Решениями являются

где – среднее из всех значений , а – среднее из всех значений ; n – число точек (пар значений xi, yi).

Выражение для “m” можно преобразовать в форму, более удобную для вычислений:

Пример. В растворе определяли массовую концентрацию железа спектрофотометрическим методом, измеряя оптические плотности растворов, окрашенных в результате реакции взаимодействия иона Fe3+ с сульфосалициловой кислотой. Для построения градуировочной зависимости были измерены оптические плотности растворов с возрастающими (заданными) концентрациями железа, обработанных сульфосалициловой кислотой.

Требуется: по полученным данным (таблица 6) при помощи метода наименьших квадратов рассчитать параметры наилучшей прямолинейной зависимости и построить градуировочный график.

Рис. 3 Прямая, построенная без проведения статистической обработки.

Таблица 6 – Исходные данные

Хi, мг Yi (А) Хi2 Хi·Yi
0,010 0,100 0,0001 0,001
0,020 0,210 0,0004 0,0042
0,030 0,290 0,0009 0,0087
0,040 0,420 0,0016 0,0168
0,050 0,530 0,0025 0,0265
Σ Хi=0,150 Σ Yi =1,550 Σ Х i2 = 0,0055 Σ Хi·Yi = =0,0572

Вычисляем средние значения аргументов и функции () для n = 5:

 

 

Подставив значения m и b в уравнение yi= mxi + b вычисляем соответствующие значения y1…… y5. По вычисленным значениям составляем таблицу 7.

Таблица 7 – Вычисленные значения для построения градуировочного графика

xi 0,010 0,020 0,030 0,040 0,050
yl 0,096 0,203 0,31 0,417 0,524

 

По данным таблицы строим градуировочный график

y=mx+b

xi

Рис. 4 Градуировочный график, построенный при помощи метода наименьших квадратов

 

 

Контрольное задание № 5

Даны оптические плотности А (Y) окрашенных растворов, которые измерены при соответствующих концентрациях железа С (Х). По полученным данным (таблица) при помощи метода наименьших квадратов рассчитать параметры наилучшей прямолинейной зависимости и построить градуировочный график.

Таблица 8 – Исходные данные к заданию № 5

Вариант № Исходные данные для построения градуировочного графика
  С(Х), мг/см3 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25
А(Y) 0,012 0,026 0,033 0,048 0,059
  С(Х), мг/см3 см3 см3 см3см3 0,06 0,12 0,18 0,24 0,30
А(Y) 0,135 0,275 0,405 0,550 0,670
  С(Х), мг/см3 см3 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
А(Y) 0,191 0,380 0,568 0,770 0,960
  С(Х), мг/ см3 0,03 0,06 0,09 0,12 0,15
А(Y) 0,134 0,265 0,400 0,536 0,670
  С(Х), мг/ см3 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10
А(Y) 0,110 0,208 0,330 0,447 0,547
  С(Х), мг/ см3 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
А(Y) 0,135 0,273 0,402 0,550 0,674
  С(Х), мг/ см3 0,03 0,06 0,09 0,12 0,15
А(Y) 0,190 0,375 0,570 0,768 0,959
  С(Х), мг/ см3 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10
А(Y) 0,105 0,214 0,310 0,421 0,525
  С(Х), мг/ см3 0,07 0,14 0,21 0,28 0,35
А(Y) 0,121 0,245 0,367 0,480 0,605
  С(Х), мг/ см3 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
А(Y) 0,140 0,278 0,420 0,555 0,700
  С(Х), мг/ см3 0,09 0,18 0,27 0,36 0,45
А(Y) 0,118 0,237 0,354 0,475 0,597
  С(Х), мг/ см3 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50
А(Y) 0,105 0,214 0,310 0,421 0,525
  С(Х), мг/ см3 0,07 0,14 0,21 0,28 0,35
А(Y) 0,145 0,290 0,430 0,576 0,720
  С(Х), мг/ см3 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25
А(Y) 0,212 0,244 0,366 0,480 0,604
             
  С(Х), мг/ см3 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50
А(Y) 0,118 0,236 0,345 0,475 0,599
  С(Х), мг/ см3 0,09 0,18 0,27 0,36 0,45
А(Y) 0,185 0,370 0,555 0,737 0,930
  С(Х), мг/ см3 0,03 0,06 0,09 0,12 0,15
А(Y) 0,169 0,338 0,507 0,680 0,850
  С(Х), мг/ см3 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
А(Y) 0,157 0,315 0,470 0,630 0,785
  С(Х), мг/ см3 0,04 0,08 0,12 0,16 0,20
А(Y) 0,181 0,362 0,540 0,720 0,905
  С(Х), мг/ см3 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25
А(Y) 0,169 0,338 0,508 0,680 0,850
  С(Х), мг/ см3 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10
А(Y) 0,164 0,330 0,496 0,650 0,820
  С(Х), мг/ см3 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
А(Y) 0,149 0,300 0,448 0,590 0,745
  С(Х), мг/ см3 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25
А(Y) 0,157 0,315 0,470 0,630 0,785
  С(Х), мг/ см3 0,04 0,08 0,12 0,16 0,20
А(Y) 0,198 0,390 0,596 0,798 0,993
  С(Х), мг/ см3 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
А(Y) 0,189 0,378 0,567 0,560 0,947

Поделиться с друзьями:

Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...

Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...

Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...

Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...



© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!

0.012 с.