Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Топ:
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Дисциплины:
2017-06-20 | 344 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Заменим уравнение F(x)=0 равносильным уравнением x = f(x). Теорема.
Пусть уравнение x=f(x) имеет единственный корень на отрезке [ a,b ] и выполнены условия:
1) функция f(x) определена и дифференцируема на отрезке [ a,b ];
2) " x Î[ a,b ] f(x) Î[ a,b ]
3) $ q " x Î[ a,b ] | f’(x) |£ q <1
Тогда итерационная последовательность xn=f(xn-1) (n=1,2,...) сходится при любом начальном члене x 0Î[ a,b ].
Таким образом, наша задача: преобразовать уравнение F(x)=0 к виду x = f(x), удовлетворяющему условиям теоремы 1-3 (хотя итерационная последовательность может сходиться и при невыполнении некоторых условий).
В зависимости от вида функции сходимость может происходить ступеньками либо по спирали.
y | y=x | y | y=x | |||||||||||||||||
f(x2) | y=f(x) | y=f(x) | ||||||||||||||||||
f(x1) | ||||||||||||||||||||
f(x0) | f(x1) | |||||||||||||||||||
f(x2) | ||||||||||||||||||||
O | x0 | x1 | x2 x3 | x | f(x0) | |||||||||||||||
O | x0 x | |||||||||||||||||||
x1 x3 | x2 |
Оценка погрешности метода итераций
Пусть xn – приближение к истинному значению x* корня уравнения x=f(x).
Абсолютная ошибка Dxn=|x*-xn|.
Для оценки погрешности n -го приближения используется формула D xn
£ | q n | x - x | . | ||||
1 - q | |||||||
Приняв за нулевое приближение xn-1 и учитывая, что при 0<q<1 будет qn<q, для оценки
погрешности n -го приближения можно использовать формулу D xn | £ | q | xn - xn -1 | . | ||||
- q | ||||||||
Значение q можно получить как верхнюю грань модуля производной |f’(x)| при xÎ[a,b].
Чем q меньше, тем быстрее сходится ряд.
Чтобы | D xn | £ e достаточно потребовать | q | xn | - xn -1 | £ e, откуда получим условие | ||||
- q | ||||||||||
окончания счета xn - xn -1 £ e (1- q )
q
Преобразование к итерационному виду
1) Универсальный способ приведения уравнения F(x)=0 к виду x=f(x).
Уравнение F(x)=0 приводится к равносильному | уравнению x = x – m F(x), | таким | ||||||||||||||||
образом, f(x) = x – m F(x). | ||||||||||||||||||
Исходя из третьего условия теоремы: ($q) | (" x Î[ a,b ]) [ |f’(x)|£q<1 ] следует, что должно | |||||||||||||||||
выполняться неравенство: 0 < |1– mF’(x)| < 1. | ||||||||||||||||||
Достаточно | подобрать | m так,чтобы выполнялось | неравенство 0<mF’(x)<1, | откуда | ||||||||||||||
следует m = | и 0 £ | F ¢(x) | £ 1. | |||||||||||||||
max F ¢(x) | max F ¢(x) | |||||||||||||||||
F ¢(x) | = 1 - | min F ¢(x) | . | |||||||||||||||
Тогда q можно принять q = max | 1 - | |||||||||||||||||
max F ¢(x) | ||||||||||||||||||
max F ¢(x) | ||||||||||||||||||
Примечания: | ||||||||||||||||||
· | Если (" x Î[ a,b ]) | f’(x)<0, | то вместо уравнения F(x)=0 | переходим к | ||||||||||||||
равносильному уравнению: | – F(x)=0. | |||||||||||||||||
· | Если при приведении | уравнения F(x)=0 | к итерационному виду | x=f(x) | ||||||||||||||
получилось, что " x Î[ a,b ] | | f’(x) |>1, то от функции вида y=f(x) переходят к функции | |||||||||||||||||
x=g(y), | обратной для | f(x). | При этом рассматривается уравнение y=g(y) или | x=g(x), | ||||||||||||||
причем по свойству обратных функций g ¢(x) = | < 1. | ||
f ¢(x) | |||
2) Иногда удается преобразовать уравнение F(x)=0 к виду x=f(x) более простым способом, выразив x из уравнения.
6ИЛЕТ.Метод касательных(Ньютона). Сходимость метода, оценка погрешности, геометрическая интерпретация.
Пусть функция y=F(x) определена, непрерывна, монотонна и дифференцируема в некоторой окрестности корня.Требуется найти корень на отрезке с точностью ε.
На k ой итерации проводится касательная к графику функции y=F(x) при x=ck и ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс. При этом достаточно задать начальное приближение c0, а не указывать отрезок [ a,b ].
Уравнение касательной к графику функции y=F(x) в точке x0 имеет вид:
y - F (x 0)= F ¢(x 0)(x - x 0). Пересечение с осью Ox находится из условия y= 0, откуда
x = x 0 | - | F (x 0) | |
F ¢(x 0) | |||
Таким образом, получим формулу для нахождения последовательности c1, c2… точек
пересечения касательных с осью абсцисс: ci +1 = ci | - | F (ci) | |
F ¢(ci | ) | ||
Условие окончания счета: ci +1 - ci < e
Корень уравнения: ci+1.
y
y=F(x)
c1 | c2 | c0 | x | |
O |
var c,e,g: real;
N:integer;
function f(x: real):real;
begin
{записать, функцию в виде f:=[математическое выражение]}
f:=x*x*x-x+4;end;
function df(x: real):real;
begin {записать, производную функции f в виде
df:=[математическое выражение]} df:=3*x*x-1;end; begin
write('Введите начальное приближение - c: ');readln(c); write('Введите требуемую погрешность - e:'); readln(e);
N:=0;
repeat N:=N+1;
g:=c;
c:=c-f(c)/df(c);
until abs(g-c)<e;
writeln('Приближенное значение корня - Х = ',c); writeln('Число итераций - N = ',N); readln end.
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!