Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Топ:
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Дисциплины:
2017-06-19 | 365 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Основные понятия
1. Общим решением дифференциального уравненияпервого порядка называется дифференцируемая функция y = (х, С), которая при любом значении произвольной постоянной С является решением данного уравнения. Решения, получающиеся из общего решения y = (х, С) при определенном значении произвольной постоянной С, называются частными. Задача нахождения частного решения, удовлетворяющего начальным условиям y= при (другая запись ), называется задачей Коши.
График всякого решения y = (х) данного дифференциального уравнения, построенный на плоскости хОy, называется интегральной кривой этого уравнения.
8.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Наиболее простым дифференциальным уравнением первого порядка является уравнение вида:
, (1)
где P (x) зависит только от х, а Q (y) - от у.
Проинтегрировав почленно это уравнение, получаем:
- его общий интеграл.
8.3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка приводятся к уравнению с разделяющимися переменными.
Функция f (x; y) называется однородной функцией n -го порядка (измерения), если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель вся функция умножится на , то есть: .
Например, - однородная функция второго порядка, так как .
Дифференциальное уравнение
(2)
называется однородным, если функция однородного нулевого порядка.
Если однородная функция нулевого порядка, то по определению . Положив , получаем: .
Дифференциальное уравнение (2) можно записать в виде:
(3)
Однородное дифференциальное уравнение (3) преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи замены переменной (подстановки): или .
Подставив и в уравнение (3) получаем:
|
или ,
то есть уравнение с разделяющимися переменными. Найдя его общее решение (общий интеграл), следует заменить в нем на . Получим общее решение (интеграл) исходного уравнения.
8.4. Линейные дифференциальные уравнения. Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид:
(4)
где и - некоторые (непрерывные) функции переменной х. В случае, когда , уравнение называетсяоднородным; если неоднородным.
Общее решение дифференциального уравнения (4) будем искать в виде: . Так как , то подставив в уравнение (4), получим:
или .
Сначала находят частное решение уравнения , тогда функция - решение уравнения . Учитывая, что , получим общее решение линейного дифференциального уравнения (4).
8.5. Дифференциальное уравнение n – го порядка, разрешенное относительно производной, имеет вид = f (х, у, у′,…, ).
Задача нахождения решения у = (х) данного уравнения, удовлетворяющего начальным условиям ; ; ; …; , называется задачей Коши.
Для нахождения частного решения иногда используют так называемые краевые условия. Эти условия (их число не должно превышать порядка уравнения) задаются не в одной точке, а на концах некоторого промежутка. Краевые условия ставятся лишь для уравнений порядка выше первого.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Если в уравнении = f (х, у, у ′, …, ) функция f (х, у, у ′,…, ):
a) непрерывна по всем своим аргументам х, у, у ′, …, в некоторой области D их изменения;
б) имеет ограниченные в области D частные производные по аргументам у, у ′, … , то найдется интервал h < х < + h (h > 0), на котором существует единственное решение у = (х) данного уравнения, удовлетворяющее условиям у ()= ; у ′()= ; …; , где значения х = ; у = ; у ′= ; …; содержатся в области D.
Проинтегрировать (в конечном виде) уравнение n– го порядка можно только в некоторых частных случаях.
8.6. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид , где числа, причем ≠0. Если f (х) = 0, то уравнение называется однородным, а если f(х)≠ 0 – неоднородным.
|
Квадратное уравнение называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения . Пусть D = дискриминант квадратного уравнения. Возможны следующие случаи:
1) D >0 – общим решением уравнения является функция ( и корни характеристического уравнения);
2) D =0 – общим решением служит функция у = (k –корень характеристического уравнения);
3) D <0–общим решением является функция ( корни характеристического уравнения).
Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами основывается на следующей теореме.
Теорема. Если некоторое частное решение неоднородного уравнения = f (х)и Y –общее решение соответствующего однородного уравнения , то общее решение неоднородного уравнения имеет вид у = Y + у *.
Укажем правило нахождения частного решения неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов.
1) Пусть f (х)= ; тогда:
а) у *= , если нуль не является корнем характеристического уравнения;
б) у *= , если нуль является простым корнем характеристического уравнения;
в) у *= , если нуль является двукратным корнем характеристического уравнения.
2) Пусть f (х)= ; тогда:
а) у *= , если число не является корнем характеристического уравнения;
б) у *= , если число является корнем характеристического уравнения;
в) у *= , если число является двукратным корнем характеристического уравнения.
3) Пусть f (х)= ; тогда:
а) у *= , если число не является корнем характеристического уравнения;
б) у *= , если число является корнем характеристического уравнения.
8.7. Решение типового задания
Пример 1. Найти общее решение уравнения .
Решение. Выносим общий множитель из первой и второй скобки:
.
Получаем уравнение с разделяющимися переменными, разделив его на , получим
.
Интегрируя последнее уравнение, получаем:
или общий интеграл
Пример 2. Найти общее решение уравнения .
Решение. Функции P и Q – однородные функции первого порядка.
или .
Положим , тогда . Подставляя в последнее уравнение, получаем:
или .
Учитывая, что , получаем или . Интегрируя почленно это уравнение, имеем:
.
Возвращаясь к старой переменной, получаем общее решение:
или .
Пример 3. Найти общее решение уравнения .
|
Решение. Разделив левую и правую части на х, приходим к линейному неоднородному уравнению:
.
Пусть , тогда . Подставляя в последнее уравнение, получаем:
или .
Положим или , откуда . Проинтегрировав, найдем какое-либо частное решение этого уравнения, например, при С =0 имеем и .
Найденное значение подставляем в уравнение или .
Решая это уравнение с разделяющимися переменными, получаем . Тогда окончательно имеем .
Пример 4. Найти общее решение уравнения 2 ху ′′′= у ′′ и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям у (1)= ; у ′(1)=0; у ′′(1)=1.
Решение. Пусть у ′′= z. Имеем 2 хz ′ z =0
Но z = у ′′ ′′= Следовательно, у = общее решение дифференциального уравнения.
Чтобы найти частное решение, подставим в выражения для у, у ′ и у ′′ значение х =1:
;
=0;
Из системы уравнений находим ; . Значит, искомое частное решение имеет вид:
Пример 5. Найти общее решение уравнения y ′′ ′+13 у =5sin2 х и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям = при х =0.
Решение. Рассмотрим однородное уравнение y ′′ ′+13 у =0. Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид +4 k +13=0, откуда Следовательно, Y = общее решение однородного уравнения.
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде
у *= . Имеем:
(у *)′= (у *)′′= .
Подставим эти выражения в неоднородное уравнение
(9 А +8 В)cos2 х +( 8 А +9 В)sin2 х =5sin2 х
и получим систему для вычисления коэффициентов А и В:
Итак, частное решение неоднородного уравнения имеет вид:
у *=
а общее решение неоднородного уравнения – вид
у =
Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
y= +
Искомое частное решение таково:
Задачи 361-390:
Найти общее решение дифференциальных уравнений.
361. а) | б) |
362. а) | б) |
363. а) | б) |
364. а) | б) |
365. а) | б) |
366. а) | б) |
367. а) | б) |
368. а) | б) |
369. а) | б) |
370. а) | б) |
371. а) | б) |
372. а) | б) |
373. а) | б) |
374. а) | б) |
375. а) | б) |
376. а) | б) |
377. а) | б) |
378. а) | б) |
379. а) | б) |
380. а) | б) |
381. a) | б) |
382. a) | б) |
383. a) | б) |
384. a) | б) |
385. a) | б) |
386. a) | б) |
387. a) | б) |
388. a) | б) |
389. a) | б) |
390. a) | б) |
Задачи №391-420:
|
Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям.
391.
392.
393.
394.
395.
396.
397.
398.
399.
400.
401.
402.
403.
404.
405.
406.
407.
408.
409.
410.
411. ;
412. ;
413. ;
414. ;
415. ;
416. 23. ;
417. ;
418. ;
419. ;
420. ;
Тема 9. Ряды
Числовой ряд. Основные понятия
Числовой ряд + +…+ а +… = , (1)
называется сходящимися, если существует предел его частичных сумм . Число называется суммой ряда. Если же предел частичных сумм не существует, то ряд (1) называется расходящимися.
Необходимый признак сходимости: если ряд (1) сходится, то его общий член стремится к нулю при : .
К достаточным признакам сходимости рядов с положительными членами () относятся:
9.2. Признак сравнения в предельной форме: если
, (2)
то ряды и одновременно сходится или расходится. В качестве эталонных рядов для сравнения обычно служат:
ряд сходящийся при и расходящийся при ;
ряд , сходящийся при и расходящийся .
9.3. Признак Даламбера: если существует
, (3)
то ряд сходится при и расходится при . Если же , то вопрос о сходимости ряда этим признаком не решается.
Ряд с членами, имеющими разные знаки, называется условно сходящимся, если ряд сходится, а ряд расходится, и абсолютно сходящимся, если ряд сходится.
9.4. Радикальный признак Коши: если для ряда существует
, (4)
то ряд сходится при и расходится при . Если же , то вопрос о сходимости ряда этим признаком не решается.
9.5. Признак Лейбница: если члены ряда удовлетворяют условиям:
1) (т.е. ряд знакочередующийся);
2) ;
3) , то ряд сходится. Погрешность , происходящая от замены суммы сходящегося знакочередующегося ряда суммой его первых n членов, по абсолютной величине меньше первого из отброшенных членов:
. (5)
9.6. Степенной ряд. Ряд вида
(6)
называется степенным рядом [относительно ], точка центром разложения, коэффициентами ряда. Число называется радиусом сходимости степенного ряда, если ряд (6) сходится при и расходится при . При ряд может как сходится, так и расходится. Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда (6). Радиус сходимости R может быть найден по формуле
. (7)
Степенной ряд (6) внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать с сохранением радиуса сходимости.
9.7. Решение типового задания
Пример 1. Исследовать на сходимость числовой ряд .
Решение. Проверяем сходимость ряда по признаку Даламбера (3). Так как общий член ряда , то, заменяя в выражении n- го члена n на n +1, находим . Затем ищем предел отношения последующего члена к предыдущему при :
.
Поскольку полученный предел равен единице, признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда (здесь для вычисления предела было использовано правило Лопиталя). Применим теперь признак сравнения в предельной форме. В качестве эталонного ряда выберем ряд , и в силу формулы (2) получим
|
.
Следовательно, исследуемый ряд является расходящимся, так как эталонный ряд с общим членом расходится (гармонический ряд).
Пример 2. Исследовать на сходимость числовой ряд .
Решение. Проверяем сходимость ряда по радикальному признаку Коши (4).
– ряд сходится.
Пример 3. Исследовать на сходимость числовой ряд .
Решение. Проверяем сходимость ряда по признаку Лейбница (4).
1) (т.е. ряд знакочередующийся);
2) (монотонно убывают);
3) , то ряд сходится.
Ряд из абсолютных величин членов ряда , общий член которого имеет вид . Обобщенный гармонический ряд при p <1 расходится. Таким образом, исследуемый ряд сходится условно.
Пример 4. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда . Исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости.
Решение. Радиус сходимости находим по формуле (7):
,
Интервал сходимости данного ряда определяется интервалом или .
Исследуем концы интервала сходимости. При получаем числовой ряд
,
расходимость которого может быть установлена с помощью предельного признака сравнения (эталонный ряд – гармонический).
При получаем числовой ряд
,
который сходится по признаку Лейбница. Так как ряд, составленный из абсолютных членов данного ряда, т.е. ряд , расходится, то исследуемый ряд сходится условно.
Таким образом, интервал сходимости исследуемого степенного ряда имеет вид .
Задачи №421-450:
Исследовать сходимость рядов:
а) по признаку Даламбера;
б) по радикальному признаку Коши.
421. а) | б) |
422. а) | б) |
423. а) | б) |
424. а) | б) |
425. а) | б) |
426. а) | б) |
427. а) | б) |
428. а) | б) |
429. а) | б) |
430. а) | б) |
431. а) | б) |
432. а) | б) |
433. а) | б) |
434. а) | б) |
435. а) | б) |
436. а) | б) |
437. а) | б) |
438. а) | б) |
439. а) | б) |
440. а) | б) |
441. а) | б) |
442. а) | б) |
443. а) | б) |
444. а) | б) |
445. а) | б) |
446. а) | б) |
447. а) | б) |
448. а) | б) |
449. а) | б) |
450. а) | б) |
Задачи №451-480:
Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующиеся ряды:
451. | |
|
|
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!