Обработка результатов наблюдений и оценка погрешности измерения

11.7.1 Метод взвешивания

 

При взвешивании будем использовать метод прямого противопоставления с внесением поправок на отклонение массы накладных гирь и на отклонение результата измерений из-за действия выталкивающей силы.

 

11.7.2 Порядок выполнения работы

 

11.7.2.1 Зафиксировать показание ненагруженных весов.

11.7.2.2 Поместить изделие, массу которого необходимо измерить, на левую чашку весов.

11.7.2.3 Помещая накладные гири на правую чашку весов и используя встроенные гири, добиться показания весов в пределах шкалы.

11.7.2.4 Зафиксировать значения массы использованных накладных () и строенных гирь ().

11.7.2.5 Зафиксировать значение погрешности каждой используемой накладной гири (dгi), вычисляя его как разность между номинальным и действительным значением каждой гири. Действительное значение массы гирь должно быть установлено в результате поверки и регламентировано в свидетельстве о поверке.

11.7.2.6 Зафиксировать значение плотности материала (r_х), из которого изготовлено изделие.

11.7.2.7 Результат измерения массы изделия вычислить по формуле (11.1):

, (11.1)

где а – масса взвешиваемого объекта;

а_Нгi – номинальное значение массы i-ой используемой накладной гири, г;

а_Вгi – номинальное значение массы i-ой используемой встроенной гири, г;

n – число использованных гирь;

П_ri- поправка на погрешность i-ой используемой накладной гири, г; (равна значению погрешности i-ой используемой накладной гири d_гi с обратным знаком);

П_η - поправка на погрешность из-за действия выталкивающей силы, г.

11.7.2.8 Границы погрешности измерения масс изделия при вероятности 0,95 оценить по формуле (11.2):

 

, (11.2)

 

где – математическое ожидание погрешности измерения массы изделия из-за действия выталкивающей силы;

σ _дгi – среднее квадратическое отклонение (СКО) погрешности из-за неточности определения действительной массы i-ой используемой накладной гири;

σ_Вг– СКО погрешности, встроенных гирь;

σ_н– СКО погрешности из-за неравноплечести весов;

σ_сл– СКО случайной составляющей погрешности весов;

σ_с– СКО погрешности измерения массы по шкале;

σ_шч– СКО погрешности считывания;

σ_η– СКО погрешности из-за действия выталкивающей силы (методическая погрешность).

 

11.7.3 Оценивание составляющих погрешности

11.7.3.1 Погрешность из-за неточности определения массы накладной гири

Действительное значение массы гирь устанавливается при аттестации сличением образцовой гирей или калибровкой набора по одной исходной образцовой гире. Погрешность аттестации зависит от погрешности образцовых весов, от погрешности образцовой гири и погрешности определения поправки на действие выталкивающей силы. Значение погрешности аттестации используется для вычисления СКО погрешности из-за неточности определения действительной массы накладной гири (формула (11.3)):

 

(11.3)

 

11.7.3.2 Погрешность из-за неравноплечности коромысла

 

Даже при самой тщательной подгонке не удаётся добиться полной равноплечести коромысла. Остаточная неравноплечесть всегда имеет место и влияет на тонность результатов измерения. Допускаемые значения погрешности из-за неравноплечести весов регламентированы в документации на весы. Фактически значения погрешности индивидуальны для каждого вида весов и указываются в свидетельстве о поверке. Но их нельзя принимать в виде поправки, так как они определены при полной нагрузке и зависят от неё, а также из-за влияния ряда других факторов, среди которых основным является температура, значение погрешности будут изменяться, но не выйдут за пределы допускаемого значения. Поэтому СКО погрешности измерения будет вычисляться по формуле (11.4):

 

, (11.4)

 

где δ_н – допустимое значение погрешности из-за неравноплечести регламентированное в документации на весы;

1,2 – коэффициент для Р = 0,95 и антимодального распределения погрешности.

 

11.7.3.3 Погрешность включений встроенных гирь

 

Применение встроенных гирь вызывает погрешность измерения, допускаемое значение которой регламентировано в документе на весы. СКО этой составляющей вычисляется по формуле (11.5):

, (11.5)

где δ_Вг – допустимое значение погрешности включений встроенных гирь, регламентированное в документации на весы.

 

11.7.3.4 Случайная составляющая погрешности

 

Случайная погрешность весов определяется вариацией показаний (размахом). Значение вариации установлено по результатам экспериментальных исследований и регламентировано в документации на весы (Dу). СКО случайной погрешности весов вычисляется по формуле (11.6):

 

, (11.6)

 

где К – коэффициент, зависящий от числа наблюдении при экспериментальном определении размаха. Например, n=3, К=1,67; n=5, К=2,33.

Для уменьшения случайной погрешности весов нужно увеличить число наблюдений (n). СКО случайной составляющей уменьшится при этом в раз.

 

11.7.3.5 Погрешность измерения массы по шкале

 

Наличие шкалы у весов позволяет не производить уравновешивание до средней отметки шкалы и, тем самым, экономить время на выполнении измерений. Однако при этом возникает погрешность измерения массы по шкале, которая является следствием ошибок в расчёте, дефектов изготовления или неправильной установки шкалы. Значение этой погрешности регламентировано в документе на весы (dш). СКО погрешности измерения массы по шкале вычисляется по формуле (11.7):

 

, (11.7)

 

где δ_ш– допустимое значение погрешности измерений по шкале, регламентированное в документации на весы

 

11.7.3.6 Погрешность считывания

При снятии отсчётов по шкале всегда имеет место погрешность считывания, которая зависит от цены деления шкалы. Значение СКО этой погрешности вычисляется по формуле (11.8):

, (11.8)

где е – цена деления шкалы, регламентированная в документации на весы

 

11.7.3.7 Методическая погрешность

 

При измерении массы источниками возникновения методической погрешности могут быть специфические свойства объекта измерения, изменение внешних условий. Обычно наиболее существенной является погрешность из-за действия выталкивающей силы. Её возникновение объясняется законом Архимеда, в соответствии с которым, на всякое тело, погруженное в жидкость или газ, действует выталкивающая сила, обратная по направлению силе тяжести и равная произведению объёма погруженной части тела на плотность окружающей жидкости или газа. Эта сила действует на груз и на гири. Так как груз и гири полностью погружены в воздух, то выталкивающая сила, действующая на груз , а выталкивающая сила, действующая на гири . Таким образом, действие выталкивающей силы определяется разностью объёмов груза и гирь. Это значит, что если сравнить на весах две гири одинаковой массы, но изготовление, например, из латуни и стали, то латунная гиря в воздухе перевесит стальную, то есть действие аэростатической силы зависит от плотности взвешиваемых изделий (rх) и гирь (rг).

Значение поправки вычислить по формуле (11.9):

 

, (11.9)

 

где r_в – плотность воздуха при нормальных условиях (температура 20 °С, давление 101, 8 кПа), rв =1,2*10^-3 г/см³;

r_х – номинальная плотность материала изделия, масса которого измеряется, г/см³ ;

r_г – условная плотность материала гирь, г/см³ .

Погрешность определения поправки из-за влияния выталкивающей силы, которое определяется отклонением плотности груза от её номинального значения, отклонением плотности воздуха в реальных условиях измерений от её значения в нормальных условиях и отличием массы груза от массы гирь. В соответствии с этим характеристики определения поправки на действие выталкивающей силы вычисляются по формулам (11.10),(11.11):

, (11.10)

, (11.11)

где - математическое ожидание погрешности определения поправки;

σ_η – СКО погрешности определения поправки;

σ_ρх – СКО погрешности определения поправки из-за отклонения плотности груза от её номинального значения, г;

а_г – сумма номинальных значений масс использованных накладных и встроенных гирь, г.

Значение СКО вычисляется по формуле (11.12):

 

, (11.12)

 

где δ_ρх – допускаемое отклонение плотности груза, регламентированное в документации на материал груза или указанное в справочной литературе, г

σ_ρв– СКО погрешности определения поправки из-за отклонения воздуха в реальных условиях от её значения в нормальных условиях. Для вычисления рекомендуется использовать значение г/см³

Результат записывается в виде:

 

А= ±σ,

 

где среднее арифметическое находим по формуле (11.13):

 

(11.13)

где n - количество измерений;

х _i - совокупность значений случайной величины;

 

11.7.4 Оценка составляющих погрешности измерений по РМГ 29-99

 

При статистической обработке результатов наблюдений выполняют следующие операции:

- вычисление среднего арифметического исправленных результатов наблюдений, принимаемых за результат измерения;

- оценки среднеквадратического отклонения (СКО) результата измерения доверительных границ случайной составляющей погрешности результата измерений;

- исключение систематические погрешности результата измерений и погрешности результата измерения;

- внесение вычислительных поправок в результат измерений.

Несмещенную оценку для СКО определяют по формуле (11.14):

(11.14)

где - среднее арифметическое результатов наблюдения

x_i - i-ый результат наблюдения.

 

Случайную погрешность считают пренебрежительно малой величиной по сравнению с неисключенным остатком систематической погрешности (НСП), если обеспечивается неравенство (11.15):

 

Θ(Ρ)/S(x)≥8, (11.15)

 

Тогда доверительная граница погрешности вычисляется по формуле (11.16):

 

, (11.16)

 

Неисключенная систематическая погрешность определяется по формуле в соответствии с РМГ 29 – 99 «Рекомендации по межгосударственной стандартизации. Метрология. Основные термины и определения».

 

(11.17)

 

где Θ_i – граница i – ой не исключенной систематической погрешности.

Под границами неисключенной систематической погрешности понимают границы интервала, найденные нестатистическими методами, внутри которого находится неисключенная систематическая погрешность измерения.

Еще до начала расчёта результатов наблюдений систематические погрешности исключаются. После их исключения вводится поправка и включается в состав составляющих систематических погрешностей вместе с остальными неисключительными систематическими погрешностями (НСП). Для обнаружения НСП рекомендуется провести измерение другими методами, сменить оператора измерения, сменить время суток и т.п.

 

Если выполняется неравенство 0,8 ≤ Θ(Ρ)/S(x),, то неисключенной систематической погрешностью пренебрегают и принимают в качестве погрешности результата измерения доверительные границы случайных погрешностей:

 

(Р)= Z (P/2) · S(x) (11.18)

 

где Z(Р/2) - точка нормированной функции Лапласа;

S(х) - оценка средне квадратического отклонения

 

Если 0,8 < Θ(Ρ)/S(x) < 8, то доверительную границу погрешности результата измерений вычисляют по ниже приведенным формулам:

, (11.19)

 

, (11.20)

 

. (11.21)

 

 

Результат записывается в виде:

 

А= х±ΔР

 

Пример отчета по лабораторной работе

11.8.1 Метод обработки результатов по методу противопоставления

Будем взвешивать навеску порошка сульфата меди (CuSO₄) массой 10 г и плотностью 3,603 г/см³; измерение проводим три раза.

Результат измерения массы изделия вычислим по формуле (11.1):

а_Нгi = 10 г;

а_Вгi1 = 0,00040 г;

а_Вгi2 = 0,00020 г;

а_Вгi3 = 0,00055 г;

n = 3

- 0,00007 г;

Рассчитаем значение поправки:

 

г;

 

г;

г;

(r_х=3,603 г/см³; r_г=8,4 г/см³ для гирь из латуни; r_в =1,2*10^-3 г/см3)

 

0,00040 - 0,00007+0,00190206 = 10,00223206 г;

 

0,00020 - 0,00007+0,00190202 = 10,00203202 г;

 

0,00055 - 0,00007+0,00190209= 10,00238209 г;

 

Найдем среднее арифметическое значение:

 

г;

 

Погрешность из-за неточности определения массы накладной гири определим по формуле (11.3):

 

г;

 

Погрешность из-за неравноплечести коромысла определим по формуле (11.4):

 

г;

Погрешность включений встроенных гирь определим по формуле (11.5):

 

г;

 

Случайную составляющую погрешности определим по формуле (11.6):

 

г;

Погрешность измерения массы по шкале определим по формуле (11.7):

 

г;

 

Погрешность считывания определим по формуле (11.8):

 

г;

 

Методическую погрешность определим по формуле (11.11):

 

Из-за малости полученной величины в расчете мы не учитываем

 

где r_в =1,2*10^-3 г/см³

г/см³

СКО погрешности определения поправки из-за отклонения плотности груза от её номинального значения определим по формуле (11.12):

 

г, ( рекомендуется принимать 0,1 г/см³)

 

Математическое ожидание погрешности определения поправки определим по формуле (11.10):

 

г;

Границы погрешности измерения массы изделия при вероятности 0,95 оценим по формуле (11.2):

 

Δ_н.е. = 0,00033306 ± 0,0674689 г;

 

Запишем результат измерения:

9,93508 г; < 10,00222 г; < 10,07002 г;

Вывод по проведенной лабораторной работе:

Вывод студент формулирует самостоятельно, изучив ход взвешивания, рассуждений и результаты погрешностей, исходя из сравнения по методикам обработки результатов наблюдений.

11.8.2 Метод обработки результатов измерений по РМГ 29

Будем взвешивать навеску порошка сульфата меди (CuSO₄) массой 10 г и плотностью 3,603 г/см³; измерение проводим три раза.

Результат измерения массы изделия вычислим по формуле (11.1):

а_Нгi =10 г;

а_Вгi1 = 0,00040 г;

а_Вгi2 = 0,00020 г;

а_Вгi3 = 0,00055 г;

n = 3

- 0,00007 г;

 

Вычисляем значение поправки:

 

г;

 

г;

 

г;

 

(r_х=3,603 г/см³; r_г=8,4 г/см³ для гирь из латуни; r_в =1,2*10^-3 г/см3)

 

0,00040 - 0,00007+0,00190206 = 10,00223206 г

 

0,00020 - 0,00007+0,00190202 = 10,00203202 г

0,00055 - 0,00007+0,00190209= 10,00238209 г

 

Находим среднее арифметическое:

г

 

Найдем СКО:

 

S(X) = 0,00549 г;

 

Определяем неисключенную систематическую погрешность:

 

Θ(Р) = ±|0,00025+0,00012+0,00015| = 0,00052 г;

 

Находим значение Θ(Ρ)/S(x):

 

Θ(Ρ)/S(x) = 0,00052/0,00549 = 0,095

 

0,095 < 0,8 – доверительную границу погрешности результата измерений вычисляют по формуле (11.19):

 

Δ(Р) = 1,414 · 0,00549 = 0,00776

 

Запишем результат измерения:

 

А = ± 0,00776 г

 

Вывод по проведенной лабораторной работе:

Вывод студент формулирует самостоятельно, изучив ход взвешивания, рассуждений и результаты погрешностей, исходя из сравнения по методикам обработки результатов наблюдений.

11.8 Варианты выполнения лабораторной работы:

 

№ по списку гр.	Масса г;	№ по списку гр.	Масса г;
	7,5		14,0
	8,0		14,5
	8,7		15,0
	8,9		15,6
	9,3		15,85
	9,7		16,45
	10,0		16,8
	10,5		17,0
	10,8		17,56
	11,2		17,95
	11,5		18,36
	11,8		18,65
	12,4		19,0
	12,75		19,5
	13,0		20,0
	13,5		20,56

Вопросы для самоконтроля

 

11.9.1 Расскажите, что знаете о классификации методов измерения массы.

11.9.2 Какие Вы знаете средства измерения массы?

11.9.3 Лабораторные весы: классификация по буквенно-цифровой индексации.

11.9.4 Принцип действия весов ВЛР-200.

11.9.5 Поправка на действие выталкивающей силы.

11.9.6 Причина возникновения погрешности считывания, погрешности неравноплечести коромысла.

11.9.7 Перечислите операции, выполняемые при статистической обработке результатов наблюдений.

11.9.8 Как определяется результат неисключенной систематической погрешности?

11.9.9 Причины возникновения случайных погрешностей.

11.9.10 Доверительная граница соотношения погрешностей результата измерений при условии 0,8 < (Ρ)/S(x) < 8.