Моделирование уравнения Лапласа

Содержание

Введение 3

1. Историческое развитие методов моделирования полей 5

1.1. Метод электрогидродинамической аналогии (метод сплошных сред) 5

1.2. Метод электрических сеток 6

1.2.1. Основа метода электрических сеток 6

1.2.2. Преимущество метода электрических сеток 7

1.2.3. Решение задач, описываемых уравнениями с правой частью 7

1.2.4. Решение задач подземной гидравлики нефтяных месторождений 10

1.3. Метод конечных элементов 11

2. Модели полей тепло и массопереноса на табличном процессоре Excel 12

2.1. Использование табличного процессора Excel 12

2.2. Моделирование процесса теплообмена в трехмерном приближении 12

2.3.1. Особенности 13

2.3.2. Основные этапы методики 13

2.3.3. Исследование температурных полей в медной плоской стенке 14

Заключение 18

Список использованной литературы 19

 

 

Введение

Основная цель изучения пласта — предсказание его состояния и определение путей увеличения конечной нефтеотдачи. В классической теории разработки рассматривают осредненные объекты (балансная модель), для которых невозможно полностью учесть изменения параметров пласта и флюидов во времени и в пространстве. При моделировании с помощью вычислительных машин можно более детально исследовать пласт путем разбиения его на блоки (иногда на несколько тысяч) и применения к каждому из них основных уравнений фильтрации. Программы для цифровых вычислительных машин, с помощью которых выполняют необходимые расчеты при таких исследованиях, называются машинными моделями. Благодаря успехам, достигнутым с начала 50-х годов в области вычислительной техники и математического обеспечения, в настоящее время стало возможным создание проверенных на практике программ для моделирования некоторых очень сложных процессов, протекающих при осуществлении различных проектов разработки. Технология моделирования пластов постоянно совершенствуется, предлагаются новые модели для все более и более сложных процессов разработки. В этой книге рассмотрена наиболее существенная из всех пластовых моделей, известная как модель нелетучей нефти (black-oil model) или бета-модель. С помощью методов, используемых для создания моделей нелетучей нефти, можно разобраться и в более сложных моделях. На прак тике используют следующие равноценные термины: математические модели, численные модели, сеточные модели, конечно-разностные модели и пластовые модели. В действительности же в процессе разработки программы для моделирования пласта применяют три вида моделей.

Математическая модель

Моделируемая физическая система описывается соответствующими математическими уравнениями. При этом почти всегда требуются некоторые допущения, необходимые с практической точки зрения для того, чтобы сделать задачу разрешимой. Например, каждый инженер-нефтяник знает, что теория относительной проницаемости имеет ограничения, но поскольку иной теории нет, используется это понятие. Математические модели составляют (см. гл. 2) на основе системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с соответствующими начальными и граничными условиями.

Численная модель

Уравнения, описывающие математическую модель пласта, почти всегда настолько сложны, что их невозможно решить аналитическими методами. Чтобы представить уравнения в форме, пригодной для решения на цифровых вычислительных машинах, следует их аппроксимировать. Численная модель состоит из полученной системы уравнений.

 

Машинная модель

Машинная модель пласта — это программа или система программ для вычислительной машины, составленная с целью решения уравнений численной модели.

 

 

1. Историческое развитие методов моделирования полей

1.1. Метод электрогидродинамической аналогии (метод сплошных сред)

Рассмотрим вопрос развития методов моделирования полей в историческом плане. Это поможет более глубоко понять сущность проблемы и области применимости тех или иных методов.

В качестве первого, наиболее выдающегося примера мышления по аналогии, следует отметить предложенный в 1911 году Павловским метод электрогидродинамической аналогии (ЭГДА), который известен также как метод сплошных сред (рис.7.7).

Рис. 7.7 Метод электрогидродинамической аналогии

Идея метода, достаточно наглядно иллюстрируемая рисунком на примере исследования фильтрации воды под плотиной, заключается в следующем. Интенсивность фильтрации воды под плотиной (что может привести к ее осадке и разрушению) зависит прежде всего от разности уровней верхнего и нижнего бьефов, свойств грунта и глубины заложения шпунта (рис.7.7, а). Авторы проектов при расчете плотин, стремясь обезопаситься, как правило, завышают глубину заложения шпунта, что выражается в перерасходе десятков и даже сотен тысяч тонн бетона.

Павловский предложил (рис.7.7,б) в качестве аналога грунта использовать лист станиоля (электропроводной бумаги), форма выреза в котором воспроизводит нижний профиль плотины, а разность потенциалов напряжений – аналог перепада высот и . При этом линии равного потенциала становятся аналогами линий равного давления, от расположения которых зависит уровень фильтрации. Естественно, что в первоначальном виде метод имел некоторые недостатки. Например, для каждого варианта нижнего профиля плотины нужно было иметь отдельный лист электропроводящего материала. Возникали также трудности при моделировании грунтов с неоднородными по плотности слоями.

1.2. Метод электрических сеток

1.2.1. Основа метода электрических сеток

Качественно новый уровень этот метод приобрел в 60 – 70 годы, когда на основе этой идеи и нового технического уровня было создано целое семейство, так называемых, сеточных интеграторов. Метод электрических сеток, основанный на математическом описании полей с помощью уравнений в конечных разностях, позволил значительно расширить круг решаемых задач. С известным приближением модели в виде сплошной среды можно заменить электрической сеткой, состоящей из схем замещения элементарных объемов или площадей (рис.7.8), на которые может быть разделена сплошная среда, например, ранее представленная на рис.7.7.

Рис. 7.8 Схема замещения элементов и плоскопараллельного слоя

 

1.2.2. Преимущество метода электрических сеток

Важным преимуществом электрических сеток является возможность моделирования трехмерных полей, в том числе описываемых уравнениями с правой частью. Решение такого рода задач даже на достаточно быстродействующих современных цифровых ЭВМ представляет значительные трудности.

1.2.3. Решение задач, описываемых уравнениями с правой частью

Стоки – конденсаторы

Если для той же сетки сделать стоки в виде конденсаторов (рис.7.11), то будет моделироваться уравнение диффузии (или уравнение теплопроводности Фурье)

Рис. 7.11 Схема замещения элементарного объема с емкостным стоком

(7.20)

 

Заключение

В данном реферате были рассмотрены методы моделирования пластов, особое внимание было уделено сеточному методу моделирования пластов. Также рассмотрены особенности методики расчета и реализации на ЭВМ трехмерных задач теплообмена.

 

Список использованной литературы

1. Научные школы СибГИУ, «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, СОЗДАНИЕ ПРИКЛАДНЫХ ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫХ СИСТЕМ И НОВЫХ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ И АГРЕГАТОВ НА ПРИНЦИПАХ САМООРГАНИЗАЦИИ», Новокузнецк, 2015

2. Х. АЗИЗ, Э. СЕТТАРИ, «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЛАСТОВЫХ СИСТЕМ», Москва Ижевск 2004

Содержание

Введение 3

1. Историческое развитие методов моделирования полей 5

1.1. Метод электрогидродинамической аналогии (метод сплошных сред) 5

1.2. Метод электрических сеток 6

1.2.1. Основа метода электрических сеток 6

1.2.2. Преимущество метода электрических сеток 7

1.2.3. Решение задач, описываемых уравнениями с правой частью 7

1.2.4. Решение задач подземной гидравлики нефтяных месторождений 10

1.3. Метод конечных элементов 11

2. Модели полей тепло и массопереноса на табличном процессоре Excel 12

2.1. Использование табличного процессора Excel 12

2.2. Моделирование процесса теплообмена в трехмерном приближении 12

2.3.1. Особенности 13

2.3.2. Основные этапы методики 13

2.3.3. Исследование температурных полей в медной плоской стенке 14

Заключение 18

Список использованной литературы 19

 

 

Введение

Основная цель изучения пласта — предсказание его состояния и определение путей увеличения конечной нефтеотдачи. В классической теории разработки рассматривают осредненные объекты (балансная модель), для которых невозможно полностью учесть изменения параметров пласта и флюидов во времени и в пространстве. При моделировании с помощью вычислительных машин можно более детально исследовать пласт путем разбиения его на блоки (иногда на несколько тысяч) и применения к каждому из них основных уравнений фильтрации. Программы для цифровых вычислительных машин, с помощью которых выполняют необходимые расчеты при таких исследованиях, называются машинными моделями. Благодаря успехам, достигнутым с начала 50-х годов в области вычислительной техники и математического обеспечения, в настоящее время стало возможным создание проверенных на практике программ для моделирования некоторых очень сложных процессов, протекающих при осуществлении различных проектов разработки. Технология моделирования пластов постоянно совершенствуется, предлагаются новые модели для все более и более сложных процессов разработки. В этой книге рассмотрена наиболее существенная из всех пластовых моделей, известная как модель нелетучей нефти (black-oil model) или бета-модель. С помощью методов, используемых для создания моделей нелетучей нефти, можно разобраться и в более сложных моделях. На прак тике используют следующие равноценные термины: математические модели, численные модели, сеточные модели, конечно-разностные модели и пластовые модели. В действительности же в процессе разработки программы для моделирования пласта применяют три вида моделей.

Математическая модель

Моделируемая физическая система описывается соответствующими математическими уравнениями. При этом почти всегда требуются некоторые допущения, необходимые с практической точки зрения для того, чтобы сделать задачу разрешимой. Например, каждый инженер-нефтяник знает, что теория относительной проницаемости имеет ограничения, но поскольку иной теории нет, используется это понятие. Математические модели составляют (см. гл. 2) на основе системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с соответствующими начальными и граничными условиями.

Численная модель

Уравнения, описывающие математическую модель пласта, почти всегда настолько сложны, что их невозможно решить аналитическими методами. Чтобы представить уравнения в форме, пригодной для решения на цифровых вычислительных машинах, следует их аппроксимировать. Численная модель состоит из полученной системы уравнений.

 

Машинная модель

Машинная модель пласта — это программа или система программ для вычислительной машины, составленная с целью решения уравнений численной модели.

 

 

1. Историческое развитие методов моделирования полей

1.1. Метод электрогидродинамической аналогии (метод сплошных сред)

Рассмотрим вопрос развития методов моделирования полей в историческом плане. Это поможет более глубоко понять сущность проблемы и области применимости тех или иных методов.

В качестве первого, наиболее выдающегося примера мышления по аналогии, следует отметить предложенный в 1911 году Павловским метод электрогидродинамической аналогии (ЭГДА), который известен также как метод сплошных сред (рис.7.7).

Рис. 7.7 Метод электрогидродинамической аналогии

Идея метода, достаточно наглядно иллюстрируемая рисунком на примере исследования фильтрации воды под плотиной, заключается в следующем. Интенсивность фильтрации воды под плотиной (что может привести к ее осадке и разрушению) зависит прежде всего от разности уровней верхнего и нижнего бьефов, свойств грунта и глубины заложения шпунта (рис.7.7, а). Авторы проектов при расчете плотин, стремясь обезопаситься, как правило, завышают глубину заложения шпунта, что выражается в перерасходе десятков и даже сотен тысяч тонн бетона.

Павловский предложил (рис.7.7,б) в качестве аналога грунта использовать лист станиоля (электропроводной бумаги), форма выреза в котором воспроизводит нижний профиль плотины, а разность потенциалов напряжений – аналог перепада высот и . При этом линии равного потенциала становятся аналогами линий равного давления, от расположения которых зависит уровень фильтрации. Естественно, что в первоначальном виде метод имел некоторые недостатки. Например, для каждого варианта нижнего профиля плотины нужно было иметь отдельный лист электропроводящего материала. Возникали также трудности при моделировании грунтов с неоднородными по плотности слоями.

1.2. Метод электрических сеток

1.2.1. Основа метода электрических сеток

Качественно новый уровень этот метод приобрел в 60 – 70 годы, когда на основе этой идеи и нового технического уровня было создано целое семейство, так называемых, сеточных интеграторов. Метод электрических сеток, основанный на математическом описании полей с помощью уравнений в конечных разностях, позволил значительно расширить круг решаемых задач. С известным приближением модели в виде сплошной среды можно заменить электрической сеткой, состоящей из схем замещения элементарных объемов или площадей (рис.7.8), на которые может быть разделена сплошная среда, например, ранее представленная на рис.7.7.

Рис. 7.8 Схема замещения элементов и плоскопараллельного слоя

 

1.2.2. Преимущество метода электрических сеток

Важным преимуществом электрических сеток является возможность моделирования трехмерных полей, в том числе описываемых уравнениями с правой частью. Решение такого рода задач даже на достаточно быстродействующих современных цифровых ЭВМ представляет значительные трудности.

1.2.3. Решение задач, описываемых уравнениями с правой частью

Моделирование уравнения Лапласа

На рис.7.9 представлена схема замещения элементарного объема потенциального поля, описываемого уравнением Лапласа

Рис. 7.9 Схема замещения элементарного объема

(7.15)

где

§ – потенциал поля,

§ – удельная проводимость.

В декартовых координатах при .

Это уравнение принимает следующий вид

, (7.16)

Проводимости между противолежащими гранями этого объема определяются по закону Ома следующим образом

(7.17)

где – удельная проводимость сплошной среды.