Complementary/complementarity

 

Мы говорим, что два подхода к одной и той же задаче дополнительны (или комплементарны), если каждый из них правомерен и логичен сам по себе, но они не могут применяться одновременно, поскольку мешают друг другу. Это распространенная ситуация в квантовой механике. Например, можно выбрать, измерять положение частицы в пространстве или ее импульс – но невозможно измерять обе эти характеристики одновременно, так как эти измерения мешают друг другу. Отчасти вдохновленный подобными примерами, но также и своим обширным жизненным опытом, Нильс Бор предположил, что будет разумно применять понятие дополнительности гораздо более широко в качестве оригинального метода решения трудных задач и преодоления очевидных противоречий. Такое более широкое понятие дополнительности, которое кажется мне полезным и раскрепощающим, лучше всего объяснить на примерах. Вы найдете несколько таких примеров в нашем заключительном постскриптуме «Красивый ответ?».

 

Закон Ампера (Закон Ампера – Максвелла)

Ampère's law/Ampère – Maxwell's law

 

Закон Ампера сейчас считается частью одного из уравнений Максвелла, хотя исторически он был открыт раньше. Закон Ампера в его оригинальной формулировке гласит, что циркуляция магнитного поля по замкнутому контуру равна потоку электрического тока через любую поверхность, ограниченную этим контуром. Чтобы разобраться в этом, ознакомьтесь со статьями Циркуляция, Поток и Ток. Также вам будет полезна цветная вклейка N.

Максвелл, руководствуясь соображениями математической логики и красоты, видоизменил закон Ампера, добавив в него еще один член[100]. Согласно полному закону Ампера – Максвелла циркуляция магнитного поля по замкнутому контуру равна потоку электрического тока через любую поверхность, ограниченную этим контуром, плюс скорость изменения потока электрического поля через эту поверхность.

Новое слагаемое Максвелла в каком-то смысле можно назвать дуальным к закону Фарадея. Закон Фарадея гласит, что изменяющееся магнитное поле может создавать электрическое поле, тогда как поправка Максвелла означает, что изменяющееся электрическое поле может создавать магнитное поле.

 

Закон сохранения, сохраняющаяся величина

Conservation law/conserved quality

 

Мы говорим, что некая величина сохраняется, если ее значение не меняется со временем. Закон сохранения – это утверждение о том, что некоторая величина сохраняется. Многие из наших важнейших озарений об устройстве мира могут быть выражены в виде законов сохранения. Эмми Нётер доказала важную теорему, подробно описанную в тексте книги, которая проводит тесную связь между законами сохранения и наличием симметрии, или инвариантности.

Примеры: cохранение энергии, сохранение импульса, сохранение момента импульса и сохранение электрического заряда – это законы сохранения; энергия, импульс, момент импульса и электрический заряд – это сохраняющиеся величины.

Фраза «сохранение энергии» заслуживает особого внимания, поскольку ее использование в науке отличается от общепринятого. Нам часто советуют сохранять – беречь – энергию, например, выключая электрический свет ночью, или снижая температуру на наших обогревателях, или гуляя пешком вместо того, чтобы использовать машину. Но действительно ли миру нужна наша помощь, чтобы его основные законы соблюдались? Смысл в том, что, когда нас побуждают сохранять энергию, на самом деле нас просят удерживать энергию в таких формах, которые могут быть использованы позже для выполнения полезной работы, и не позволять ей переходить в бесполезные (тепло) или вредные (химические реакции, в которых выделяются токсины) формы. Понятие свободной энергии в термодинамике отражает некоторые из этих различий. Свободная энергия, которая является обобщенно-полезным видом энергии, не сохраняется. Она имеет тенденцию уменьшаться, или, как часто говорят, рассеиваться, со временем.

 

Закон Фарадея

Faraday's law

 

Этот закон утверждает, что циркуляция электрического поля по замкнутому контуру равна скорости изменения потока магнитного поля через любую поверхность, натянутую на этот контур, взятой со знаком минус. Закон Фарадея увековечен в одном из уравнений Максвелла.

 

Измерение и размерность

Dimension

 

Интуитивно, измерение – это возможное направление движения. Так, мы говорим, что прямая или кривая имеет одно измерение. Плоскость или поверхность имеет два измерения, поскольку требует движения в двух независимых направлениях – например, мы можем назвать их «горизонтальное» и «вертикальное», или «север-юг» и «запад-восток», – чтобы достичь любой точки из любой другой. Обычное пространство, в котором мы живем, или твердое тело имеет три измерения.

Более гибкое понятие «пространства» и измерения возникает естественным образом при введении координат. Здесь вам следует обратиться к статье о координатах, где обсуждается это понятие. Размерность[101]пространства, в котором введены координаты, равна необходимому для него числу координат. Это понятие в приложении к простым, гладким геометрическим объектам согласуется с предыдущей интуитивной идеей.

Математики обобщили эти более или менее интуитивные понятия измерений многими способами. Два примечательных обобщения – это комплексные измерения и дробные, или фрактальные, размерности. Комплексные измерения добавляют больше координат, но таких координат, которые являются комплексными числами. Дробные размерности могут возникнуть при рассмотрении объектов, содержащих очень богатую локальную структуру и очень далеких от понятия гладкости (см. Фракталы). В последние годы в связи с суперсимметрией физики ввели понятие квантовых измерений. Координаты квантовых измерений являются грассмановыми числами.

Есть и еще одно, совершенно отличное использование слова «размерность» в науке. В этом употреблении мы говорим о единицах, в которых измеряется какая-либо величина, как о ее размерности. В этом смысле площадь имеет размерность длины в квадрате, тогда как у скорости размерность длины, поделенной на время, у силы – размерность массы, умноженной на длину и поделенной на квадрат времени, и т. д. Чтобы не допустить возможной путаницы, я избегал использования слова «размерность» в этом смысле.

 

Изотоп

Isotope

 

Ядра с одинаковым числом протонов, но с различным числом нейтронов называются изотопами. Ядра, которые являются изотопами, имеют одну и ту же величину электрического заряда, что приводит к практически одинаковому химическому поведению, хотя они значительно отличаются по массе.

 

Импульс

Momentum

 

Импульс вместе с энергией и моментом импульса является одной из выдающихся сохраняющихся величин классической физики. Каждая из них также развилась в основополагающий столп современной физики.

Импульс тела является мерой его количества движения. Количественно он равен массе тела, умноженной на его скорость. (Это нерелятивистская версия, верная для небольших скоростей. Специальная теория относительности приводит к родственной, но более сложной формуле.)

У импульса есть направление, так же как и величина. Таким образом, это векторная величина.

Импульс системы тел равен сумме импульсов тел по отдельности.

Импульс сохраняется в самых разнообразных обстоятельствах. Этот результат лучше всего понятен в рамках общей теоремы Нётер, которая связывает законы сохранения с симметрией. В этой парадигме сохранение импульса отражает симметрию (инвариантность) физических законов относительно трансляции (сдвига) в пространстве – т. е. относительно преобразований, которые перемещают все в рассматриваемой системе на одинаковое расстояние. Другими словами, мы имеем сохранение импульса, если законы, управляющие нашей системой, не зависят ни от какого внешне заданного, фиксированного положения в пространстве.

В квантовом мире импульс остается правомерным понятием и приобретает дополнительные, очень изысканные и красивые свойства.

 

Инвариантность

Invariance

 

Мы называем что-то инвариантным относительно некоторого преобразования, если такое преобразование не изменяет его.

Примеры:

• Расстояние между объектами инвариантно, если вы перемещаете все объекты в одном и том же направлении на одинаковое расстояние (инвариантность расстояния относительно трансляции в пространстве).

• Форма круга является инвариантной, если вы поворачиваете его вокруг его центра (инвариантность круга относительно вращения).

• Скорость, с которой распространяется луч света, является инвариантной, если вы движетесь с любой постоянной скоростью. Таким образом, мы говорим, что скорость света является инвариантной относительно преобразований Галилея или, что эквивалентно, относительно бустов, которые преобразуют координаты между системами отсчета, связанными с платформами, движущимися с различными скоростями.

Третий из этих примеров описывает ключевое положение специальной теории относительности Эйнштейна.

 

Интенсивность (света)

Intensity of light

 

Интенсивность света – точное понятие, которое соответствует воспринимаемой степени яркости. Интенсивность луча света, падающего на поверхность, – это количество энергии, которую луч доставляет на эту поверхность, в единицу времени и на единичную площадь[102]. Это определение позволяет нам обобщить понятие интенсивности на все части электромагнитного спектра, такие как радиоволны, инфракрасное излучение, ультрафиолетовое излучение и рентгеновские лучи.

 

Исчисление

Calculus

 

Русским словом исчисление принято переводить английское calculus, которое, в свою очередь, происходит от латинского слова, обозначающего камень или гальку. Его современное использование в математике восходит к операции счета или учета расходов и доходов с помощью счетных камешков (так же как многие люди делают это, даже в наши дни, с помощью счет). Мы видим след этого происхождения в общем английском термине «calculation», который используется для обозначения множества различных методов и операций для обработки информации, и в русской «калькуляции» с несколько более узким значением.

Математика признает несколько видов исчисления (например, исчисление высказываний, лямбда-исчисление, вариационное исчисление). Но один конкретный метод обработки математических данных настолько важен и произвел такой эффект на ученые умы, что когда люди произносят «calculus» без каких-либо пояснений, то подразумевается именно он – математический анализ.

В этом понимании «calculus» – это метод Анализа и Синтеза в применении к изучению гладко меняющихся процессов, или функций. Две ветви математического анализа, дифференциальное и интегральное исчисление, отражают этот метод. Дифференциальное исчисление снабжает нас методами для анализа поведения на очень малых отрезках, тогда как интегральное исчисление предоставляет методы для синтеза такой локальной информации в глобальное понимание.

Выдающимся приложением математического анализа, которое имел в виду Ньютон, развивая этот предмет, является описание движения. Можно ввести такие понятия, как скорость и ускорение, для того, чтобы охарактеризовать движение на очень коротких отрезках времени (дифференциальное исчисление), или, наоборот, можно использовать информацию о скорости и ускорении, чтобы вычислять орбиты (интегральное исчисление). В классической механике законы о силах предоставляют информацию об ускорении тела. Важной задачей в классической физике является задача о том, как использовать эту информацию: понять, как движется тело в ответ на известное ускорение. Это задача интегрального исчисления: понять что-то большее из знания малого.

 

Калибровочная симметрия

Gauge symmetry

 

Это еще один термин для локальной симметрии.

 

Калибровочная частица

Gauge particle

 

Чтобы обеспечить выполнение локальной (калибровочной) симметрии, необходимо ввести соответствующие флюиды, чьи свойства специально подобраны для этой цели. В Главной теории по этой причине появились гравитационный, сильный, слабый и электромагнитный флюиды. Наименьшие единицы, или кванты, этих флюидов – гравитоны, цветные глюоны, виконы и фотоны – по этой причине называются калибровочными частицами. Этот термин звучит обыденно, однако за ним скрывается глубокий и красивый факт: частицы, с помощью которых передаются фундаментальные взаимодействия Природы, являются воплощениями симметрии.