Симметрия III: Эмми Нётер – время, энергия и здравомыслие

 

Симметрия вообще – это Изменение без изменения. Но именно удивительная Эмми Нётер (1882–1935) установила тесную связь между математической симметрией физических законов и существованием определенных физических величин, которые не меняются. Фраза «X не изменяется со временем» довольно труднопроизносима и к тому же содержит отрицание, поэтому вместо нее мы обычно говорим «X сохраняется». В этой терминологии теорема Нётер гласит, что симметрии физических законов приводят к сохраняющимся величинам.

Таким образом, в работе Эмми Нётер придуманное нами соответствие

 

 

Идеальное ↔ Реальное

 

становится математической теоремой.

Без сомнения, конкретный пример нётеровой пары

 

 

симметрия ⇒ закон сохранения

 

был бы сейчас как нельзя кстати. И здесь мы можем продемонстрировать настоящую драгоценность. Я думаю, это действительно самый глубокий результат во всей физике.

В нашем примере симметрия – это то, что называется симметрией относительно трансляции (сдвига) времени. Это непонятное выражение может показаться пугающим, но его значение просто: те же самые законы физики, которые применимы сегодня, были применимы в прошлом и будут применимы в будущем.

Допущение о том, что одни и те же законы применимы всегда, возможно, сначала не покажется похожим на допущение симметрии, но на самом деле это одно и то же. Ведь оно говорит, что вы можете изменить значение времени, которое появляется в законах физики, добавляя или вычитая константу, без изменения содержания законов. (На математическом и физическом жаргоне смещение нa постоянную величину в пространстве или во времени называют «трансляцией», или сдвигом.)

 

Симметрия относительно трансляции времени – это мудрость Екклезиаста:

 

Что было, то и будет;

И что делалось, то и будет делаться,

И нет ничего нового под солнцем.

 

И то, что Шекспир оплакивал здесь:

 

Уж если нет на свете новизны,

А есть лишь повторение былого

И понапрасну мы страдать должны

Давно рожденное рождая снова[77].

 

это немного другое. Симметрия относительно трансляции времени применима к законам, связывающим события, а не к событиям самим по себе. Если говорить формально, то симметрия относительно трансляции времени – свойство наших динамических уравнений, но она не говорит нам ничего о начальных условиях.

К концу этой интерлюдии я критически рассмотрю предположение о симметрии относительно трансляции времени, но пока позволим себе принять его на веру.

 

Время и энергия

 

Согласно теореме Нётер, любая симметрия физических законов подразумевает сохранение некоторой физической величины. Для симметрии относительно трансляции времени сохраняющаяся величина – это энергия!

Энергия как физическое понятие имеет странную историю. Я бы хотел кратко изложить некоторые основные факты из этой истории, во-первых, потому, что они интересны, и особенно интересны здесь, потому что это подчеркнет значимость идеи Эмми Нётер.

 

Краткая история энергии

 

Сегодня мы понимаем, что энергия заставляет мир работать. Мы ищем ее источники, запасаем ее, обсуждаем ее цену, взвешиваем компромиссные решения, связанные с тем, чтобы получать ее разными способами, и т. д. Однако ее привычность не должна вводить нас в заблуждение относительно присущей энергии странности.

Идея о том, что сохранение энергии – это фундаментальный закон, появилась только в середине XIX в. Даже тогда вопрос, почему это должно быть так, был довольно таинственным и оставался таковым до озарения Нётер. И даже сегодня, как я объясню, мне кажется, что мы постигли это еще не до конца.

В борьбе концепций, предшествовавшей ньютоновской ясности, ученые, которые пытались постичь движение, неоднократно обнаруживали в разных видах задач, что квадрат скорости тела постоянно оказывается особенно полезной мерой движения тела. Галилей, например, обнаружил, что для тел, движущихся под действием околоземной гравитации, – таких как брошенные камни, пушечные ядра или (он точно это измерил) шары, катящиеся по наклонной плоскости, и маятники – одно и то же изменение в высоте всегда приводит к одинаковому изменению квадрата скорости, независимо от всего остального.

Оглядываясь назад, мы понимаем этот странный результат как пример сохранения энергии. Есть два слагаемых в полной энергии тела – кинетическое и потенциальное. Кинетическая энергия (энергия движения) пропорциональна квадрату скорости тела, тогда как потенциальная энергия (энергия положения) – для гравитации вблизи земной поверхности – пропорциональна высоте, на которой находится тело. Закон сохранения энергии говорит, что изменения кинетической энергии должны компенсироваться изменениями потенциальной энергии, и это другой способ сформулировать открытие Галилея.

Для нашего рассказа важно, что результат Галилея был не прямым наблюдением, а скорее идеализацией. Он доказал это в виде теоремы, математической модели, пренебрегая сопротивлением воздуха, трением и другими усложнениями, которые всегда присутствуют в реальности. Используя тяжелые шары вместо, скажем, перьев и соблюдая другие предосторожности, Галилей смог провести эксперименты с малым влиянием осложняющих факторов, когда его модель сохранения энергии достаточно точна. Но строго говоря, галилеева версия закона сохранения энергии (вернее, того, что в конце концов стало этим законом) не бывает в точности верна ни для какой реальной системы, и он об этом прекрасно знал. Для Галилея это был всего лишь любопытный факт об идеализированной модели.

В классической механике Ньютона закон сохранения энергии стал более общей теоремой. И все же он оставался скорее идеализацией, чем описанием действительности. Ньютонова теорема о сохранении энергии применима к системам частиц, взаимодействующих между собой посредством сил, величина которых зависит только от расстояний между частицами. В рамках этой модели теорема объясняет, что такое энергия – а именно: это величина, которая появляется в теореме и сохраняется во времени! Опять же оказывается, что полная энергия состоит из кинетической и потенциальной частей. Кинетическая энергия всегда имеет одну и ту же форму. Ее можно вычислить, сложив произведения масс на квадраты скорости для всех частиц и разделив сумму пополам. Потенциальная энергия – это функция взаимного положения частиц, точная форма которой зависит от природы сил. Пока всё в порядке. Но силы трения в ньютоновской механике нарушают сохранение энергии! И хотя этот факт не противоречит теореме Ньютона, так как силы трения не удовлетворяют допущениям теоремы – трение не является силой, зависящей от расстояния между частицами, – он ограничивает применимость теоремы в реальной жизни.

Если мы добавим электродинамику Максвелла, все еще больше усложнится, но основной вывод остается сходным. В расширенной модели мы все еще можем, сделав некоторые допущения, математически вывести теорему о сохранении энергии. Но – прежде всего – меняется смысл энергии! А именно: мы должны ввести третью форму энергии, помимо кинетической и потенциальной. Появляется также энергия поля, которая – в соответствии с ее названием – зависит от напряженности полей. И только полная энергия – кинетическая плюс потенциальная плюс энергия поля – сохраняется. Хуже того, даже эта более сложная версия закона сохранения энергии выполняется лишь в том случае, если пренебречь трением и электрическим сопротивлением.

Я помню, что, когда впервые изучал все это, я отчетливо почувствовал разочарование и скептицизм. Мне казалось, что так называемый «закон» сохранения энергии был уродливой, громоздкой конструкцией. Каждый раз, когда обнаруживалась какая-нибудь новая сила или эффект, они нарушали существующий «закон», так что приходилось придумывать новый вид энергии, чтобы как можно лучше залатать дыры, и даже после этого могли появиться новые течи. Ни в ньютоновской механике, ни в максвелловской электродинамике сохранение энергии не является точным и общим законом. Кажется, что это скорее полезный, но приблизительный результат, применимый в ограниченном числе случаев. Так как он не был, насколько я мог видеть, глубокой концептуальной основой и в любом случае оставался только приблизительным, я не видел причин ожидать, что закон сохранения энергии мог быть верным проводником к чему-либо существенно новому.

Идея о том, что сохранение энергии может быть фундаментальным принципом, который выполняется в точности, возникла постепенно в середине и в конце XIX в. Это было открытие, вдохновленное потребностями техники.

На протяжении истории человечество испробовало множество способов, чтобы заставить предметы двигаться, желая преуспеть в полезных задачах, таких как транспортировка людей и товаров, осада крепостей, изготовление муки, и в массе других приложений. Во время Промышленной революции машины стали основой экономической жизни, и их оптимизация стала важным делом, поэтому задача о том, как приводить их в действие, интенсивно изучалась как экспериментально, так и теоретически. Размышление об энергии и ее преобразованиях оказалось самым плодовитым подходом. А именно: выяснилось, что на практике (мнимые) нарушения закона сохранения энергии в результате таких явлений, как трение и электрическое сопротивление, всегда приводят к потере энергии. (Практический вывод состоит в том, что нужно сосредоточиться на цене энергии в любой ее форме и на уменьшении ее потерь.) Эта тенденция терять, но никогда не приобретать энергию объяснила неудачи инженеров в создании автономных самодвижущихся машин – так называемых вечных двигателей, – а также помогла понять, почему вообще машинам нужны источники энергии. Также было замечено, что потеря энергии всегда сопровождается выработкой теплоты. Несколько ученых с разной степенью доходчивости трактовали эту ситуацию в позитивном ключе. Они предположили, что сохранение энергии – это действительно общая истина, но, чтобы понять это, нужно осознать, что тепло – это еще одна форма энергии. Вдохновленный этой точкой зрения, Джеймс Прескотт Джоуль провел серию изящных опытов, в которых использовал падающие грузы, чтобы приводить в движение гребные колеса, нагревающие воду, чтобы численно продемонстрировать основную идею: известное количество энергии (от падающего тела) производит пропорциональное ему количество тепла.

После этого триумфа научный мир принял сохранение энергии в качестве рабочего принципа. Природа заговорила, и она ясно дала понять, что есть что-то очень правильное в этой идее.

Но в отсутствие более глубокого доказательства, чем факт, что «это работает», закон оставался одновременно таинственным и сомнительным. «Это работает» в действительности означает, что «это работало до сих пор». Нельзя было быть уверенным, что какое-нибудь новое открытие не обнаружит каких-нибудь червоточин. Такое уже случалось. Сохранение массы было краеугольным камнем ньютоновской механики, и оно действительно очень хорошо служило в качестве рабочего принципа больше двух столетий как в небесной механике, так и во всех видах инженерных приложений. Сохранение массы тщательно проверил и начал использовать Антуан Лавуазье в экспериментах, отметивших начало современной количественной химии. Однако в XX в. грубое нарушение сохранения массы является обычным явлением в экстремальной физике. На электрон-позитронном коллайдере высоких энергий при столкновении двух очень легких частиц (электрона и позитрона) зачастую образуются десятки частиц, полная масса которых в целом во много тысяч раз превышает полную массу начальных частиц!

Пока энергия выглядела мешаниной многих разных ее видов – кинетической (мера движения), потенциальной (мера положения), энергии поля (вообще говоря, мера сил, действующих на заряды и токи), тепловой (мера изменений температуры) и других, которые я не упомянул, – она казалась открытой для дальнейших видоизменений или, возможно, даже для исключения каких-то видов.

Эмми Нётер рассмотрела понятие энергии самым внимательным образом. Обосновав сохранение энергии однородностью физических законов во времени, она показала ее истинную сущность и обнажила ее скрытую красоту. С помощью математического волшебства Эмми Нётер превратила неуклюжую лягушку в прекрасную принцессу. Появление благодаря технике современного понятия сохранения энергии, достигающего наивысшей точки в объяснении Нётер его происхождения из симметрии, – это изумительный пример того, как

 

 

Реальное → Идеальное.

 

Могло ли сохранение энергии пойти тем же путем, что и сохранение массы? В науке священна только реальность, и реальность может преподносить сюрпризы, готовы мы к ним или нет. Но теорема Нётер повышает ставки: если вдруг окажется, что энергия не сохраняется, мы будем должны пересмотреть фундаментальные понятия, которые используем для формулировки законов физики, или наши идеи об однородности времени, или и то и другое. Большинство из нас считает такой результат предупреждением, которое говорит нам, что размышления о нарушении сохранения энергии, если Природа не дает для них поводов, вряд ли будут плодотворны. Зачем напрашиваться на неприятности?

 

Больше уроков от Нётер

 

Однородность физических законов в пространстве, подобно их однородности во времени, представляет некий род симметрии, который называется пространственной трансляционной симметрией. Согласно теореме Нётер, должна существовать соответствующая сохраняющаяся величина. И это импульс. Физические законы должны также выглядеть одинаково, если смотреть с различных направлений. Это еще один закон симметрии, названный вращательной симметрией. Согласно теореме Нётер, должна быть соответствующая сохраняющаяся величина, и она есть: это момент импульса. Как и сохранение энергии, эти великие законы сохранения имеют долгую и выдающуюся историю. Они были выведены для особых случаев и при более строгих предположениях до Нётер. Действительно, один из законов Кеплера – о планетах, заметающих равные площади в равные промежутки времени, – отражает сохранение момента импульса, поскольку скорость этого заметания пропорциональна величине момента импульса. Но теорема Нётер, связывая их с простыми качественными аспектами физической реальности, дает нам глубокое понимание того, почему эти законы существуют.

На переднем крае современной физики, как мы скоро обсудим, теорема Нётер стала важнейшим инструментом для совершения открытий. С ее помощью мы связываем теоретическую эстетику возможной симметрии и вопрос

 

Красивы ли мои уравнения?

 

с суровой действительностью физического измерения и вопросом

 

Верны ли мои уравнения?

 

Все это было очень успешным и вдохновляющим, и все же я чувствую, что не хватает еще чего-то важного. И я такой не один: сам Нильс Бор, когда он столкнулся в 1920-е гг. с экспериментами с радиоактивностью, вызвавшими его недоумение, недолгое время рассматривал идею о том, что энергия не сохраняется. Лев Ландау, еще одна уважаемая среди физиков фигура, позже предположил, что звезды нарушают сохранение энергии. (Источник энергии для звезд – термоядерные реакции – не был ясен до середины XX в.)

Все выводы основываются на предположениях, и теорема Нётер не исключение. На самом деле предположения, заложенные в теореме Нётер, довольно абстрактны, специальны, и их трудно точно определить. (Для экспертов: теорема доказана для систем, уравнения которых получены путем вариации лагранжиана. Есть достаточные основания восхищаться системами, которые могут быть описаны таким образом, но причины эти сложны, и неясно, по крайней мере мне, почему они обязательны – и обязательны ли) Мне кажется, что такой важный, просто сформулированный результат должен иметь более прямое, интуитивное объяснение. Если бы оно у меня было, то я был бы счастлив им поделиться. В данный момент все, что я могу сказать, – это то, что я все еще в поиске!