Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Топ:
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Интересное:
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2017-06-12 | 234 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Метод преобразования подынтегрального выражения. Метод основан на преобразовании функции f (x) к такому виду, чтобы интеграл сводился к вычислению нескольких табличных интегралов.
Примеры.
1) .
2) .
3)
.
4)
.
5) .
6) .
7) .
8) .
9)
Одним из эффективных способов нахождения неопределенных интегралов является преобразование подынтегрального выражения с целью выделения дифференциала новой переменной интегрирования (простейшая замена переменной).
10)
.
11) .
12) , .
13) .
14) .
Метод замены переменной (метод подстановки). Имеет место следующая теорема, которая обосновывает метод:
Теорема 2. Пусть выполняются условия:
а) функция f (x) определена на промежутке ;
б) функция x= определена на промежутке Т и ;
в) непрерывна и дифференцируема на Т;
г) f (x) имеет первообразную F (x) на Х.
Тогда справедлива формула
. (1)
□ Функции f (x) и F (x) определены на Х. По условию , тогда имеют смысл сложные функции и . Поскольку F (x) есть первообразная для f (x) на Х, то . Функция по условию непрерывна и дифференцируема на промежутке Т. Поэтому непрерывна и дифференцируема на Т как сложная функция. Дифференцируем ее как сложную функцию:
.
Следовательно, имеет первообразную функцию . Откуда следует формула (1). ■
Запишем левую часть (1) по-другому:
.
Если , то получим формулу:
.
Применение этой формулы удобно, потому что вместо интеграла , обозначив , получаем интеграл ,который вычислять проще, чем исходный.
Используя последнюю формулу, таблицу интегралов можно записать в более общем виде. Так, если некоторая переменная u является функцией переменной x, то есть , то справедливы формулы:
;
, ;
, ;
, ;
;
;
;
;
;
, ;
;
, - a < u < a.
Примеры. 1)
|
.
2)
.
3)
.
4)
Последний интеграл является табличным интегралом типа 8 или 9 в зависимости от знака . Заменой вычисляются также следующие интегралы:
; ; .
5) Вычислить интеграл .
Решение. Положим , тогда . Отсюда . Тогда
.
Возвращаясь к переменной х, окончательно получаем
.
Замечание. При замене переменной в неопределенном интеграле иногда более удобно задавать не х как функцию , а, наоборот, задавать t как функцию от х.
6) Вычислить интеграл .
Решение. Положим , , тогда
,
так что
.
Заметим, что удачный выбор подстановки обычно представляет известные трудности. Для их преодоления необходимо хорошо владеть техникой дифференцирования и знать табличные интегралы.
7) Вычислить интеграл .
Решение. Положим , откуда . Таким образом,
,
так что
.
8) Вычислить интеграл .
Решение. Положим , . Тогда
9) Вычислить интеграл , .
Решение. Положим , , тогда
.
При аналогично получим
.
10) . Положим , тогда , . Имеем
.
11) . Положим , тогда , . Находим
, .
12) .
Положим , откуда . Значит,
, .
При интегрировании некоторых иррациональных функций часто используются тригонометрические подстановки.
13) . Положим , , тогда . Следовательно,
, .
14) . Положим , ; тогда . Поэтому
, .
Интегрирование по частям. Следующая теорема доказывает формулу интегрирования по частям.
Теорема 3. Если функции u (x) и v (x) непрерывны на промежутке Х, дифференцируемы во внутренних точках и существует интеграл , тогда на промежутке существует и интеграл , причём справедлива формула
или . (2)
Эта формула называется формулой интегрирования по частям.
□ На промежутке Х запишем формулу дифференцирования произведения для дифференциалов или . Интеграл от каждого слагаемого в правой части существует, т.к. , а - существует по условию. Тогда существует интеграл , причем , или ■
Практика показывает, что большая часть интегралов, которые вычисляются по формуле интегрирования по частям, может быть разбита на 3 группы:
1) ; , где - многочлен m -й степени. Эти интегралы вычисляются путём m -кратного интегрирования по частям по формуле (2), причём каждый раз за u (x) обозначают многочлен, т.е. , а .
|
2) Интегралы, в которых подынтегральная функция содержит в качестве множителя одну из следующих функций: ln x, arcsin x, arccos x, arctgx, ln и т.д. Для вычисления интеграла за u (x) обозначают одну из указанных функций.
3) Интегралы вида: ; ; ; и т.д. Путём двукратного интегрирования по частям получают уравнение для данного интеграла.
Примеры.
1) .
2) .
3)
.
4)
.
Иногда для вычисления интеграла формулу интегрирования по частям приходится применять несколько раз.
5)
Таким образом, интеграл вычислен двукратным интегрированием по частям.
6) . Положим , . Тогда , . Откуда по формуле интегрирования по частям имеем
.
Таким образом, получилось линейное уравнение относительно , откуда находим .
7) В заключение вычислим интеграл , который понадобится в дальнейшем. При имеем табличный интеграл
Пусть . Представив 1 в числителе как разность , получим
Во втором интеграле применим метод интегрирования по частям:
,
тогда
следовательно,
откуда
Таким образом, интеграл выражен через интеграл :
Такие формулы называются рекуррентными формулами.
Разделы: 6.3. Интегрирование рациональных функций. 6.4. Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций изучаются на практических занятиях и самостоятельно.
|
|
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!