Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Топ:
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Дисциплины:
2017-06-12 | 341 |
5.00
из
|
Заказать работу |
ГЛАВА 6. ИНТЕГРАЛЫ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Неопределённый интеграл. Определение и свойства
В дальнейшем под промежутком Х будем понимать одноиз следующих множеств (а,b), .
Определение 1. Функция F(x) называется первообразной для f (x) на промежутке Х если выполняются следующие условия:
а) функция f (x) определена на промежутке Х;
б) функция F (x)непрерывна и дифференцируема во всех внутренних точках Х;
в) .
Примеры. 1) является первообразной для функции на промежутке Х =(-1,1).
2) является первообразной для функции на промежутке .
3) является первообразной для функции на промежутке .
Из определения 1 очевидно, что если F (x) является первообразной для f (x), то F (x) + C также является первообразной для этой функции. Как отличаются между собой две первообразные?
Теорема 1. Если (x) и (x) две первообразные для f (x)на промежутке Х, то всюду на этом интервале , где С - произвольная постоянная.
□Положим . Т.к. и дифференцируемы на Х, то Ф (х) дифференцируема на Х следовательно x и , откуда . ■
Следствие. Если F (x) одна из первообразных для f (x) на Х, то любая другая первообразная Ф (х) для f (x) на Х имеет вид , где С – произвольная постоянная.
Определение 2. Множество всех первообразных функций f (x) на промежутке X называется неопределённым интегралом от функции f(x) на Х и обозначается . Функция f(x) называется подынтегральной функцией. Обозначение неопределенного интеграла
.
Под знаком интеграла пишут для удобства не только саму функцию но и дифференциал dx для того, чтобы указать по какой переменной ищется первообразная.
Примеры.
1) на .
2) , -1< x <1
Свойства интегралов
1. или Справедливость следует из определения.
2. или .
□ . ■
3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. если a = const , то
.
□ Пусть F (x) – первообразная для f (x), т.е. . Тогда аF (x)первообразная для af (x), т.к. . Тогда по определению
. ■
4. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы двух функций равен сумме неопределённых интегралов от этих функций, т.е.
.
□ Пусть и , тогда функция - первообразная для , т.к. . По определению имеем:
. ■
В силу определения интеграла и равенства из каждой формулы таблицы производных получится соответствующая формула для вычисления неопределённого интеграла.
Таблица интегралов
1. ;
2. , ;
3. , ;
4. , ;
5. ;
6. ;
7. ;
8. ;
9. ;
10. , ;
11. ;
12. ; - a < x < a.
Справедливость этих формул проверяется непосредственно дифференцированием правой части. Эти интегралы называются табличными. Интегралы от более сложных функций находятся с помощью свойств интегралов и таблицы интегралов.
Замечание. В теории дифференцирования функций было установлено, что производная любой элементарной функции тоже представляет элементарную функцию, т.е. применение операции дифференцирования не выводит из класса элементарных функций. С операцией интегрирования сложнее. Интегралы от некоторых элементарных функций не выражаются через элементарные функции, т.е. не являются элементарными. Например,
- интеграл Пуассона;
- интегралы Френеля;
; ; интегральные синус, косинус, логарифм.
Эти интегралы называют специальными функциями. Они часто используются в различных разделах физики и других дисциплинах. Для них составлены таблицы, графики, компьютерные программы.
Несобственные интегралы
ГЛАВА 6. ИНТЕГРАЛЫ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!