Напряженное и деформированное состояние

В точке

 

Совокупность нормальных и касательных напряжений, действующих по различным площадкам, проходящим через рассматриваемую точку, называют напряженным состоянием в точке.

Необходимо уяснить характер изменения нормальных и касательных напряжений в наклонных сечениях в зависимости от угла наклона при линейном (одноосном) и плоском (двухосном) напряженном состоянии и понятия о главных напряжениях. Пространственный (трехосный) случай напряженного состояния - общий случай напряженного состояния, при котором относительные деформации определяют на основании обобщенного закона Гука. В теории упругости доказывается, что при пространственном напряженном состоянии через каждую точку всегда можно провести три площадки, по которым касательные напряжения равны нулю. Такие площадки называют главными, а нормальные напряжения, действующие на них, - главными напряжениями s₁, s₂, s₃ (рис.11). Все три главные площадки взаимно перпендикулярны. Сумма нормальных напряжений, действующих по любым трем взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через рассматриваемую точку, есть величина постоянная. Принято следующее обозначение соотношений между главными напряжениями: s₁>s₂>s₃.

 

Рис.11

 

Касательные напряжения по двум взаимно перпендикулярным площадкам равны по величине и противоположны по знаку. Это свойство обычно называют ” законом парности касательных напряжений ”.Наибольшие касательные напряжения равны полуразности главных напряжений и действуют по площадкам,наклоненным к главным площадкам на угол 45 и перпендикулярным плоскости чертежа.

Предельное напряженное состояние в общем случае зависит от соотношения между тремя главными напряжениями. Поэтому в случае сложного напряженного состояния следует найти эквивалентное напряжение, при котором возникает опасность разрушения и сравнить его с допустимым, полученным при опыте на растяжение – сжатие.

Таким образом, задача теории (гипотез) прочности состоит в оценке возможности разрушения материала при сложном напряженном состоянии на основании характеристик материала, полученных при простом растяжении – сжатии.

При рассмотрении гипотез предельных состояний (гипотез прочности) надо иметь в виду, что они основываются на том, что два каких-либо напряженных состояния считаются равноопасными, если они при увеличении главных напряжений в одно и то же число раз одновременно становятся предельными. В этом случае коэффициент запаса прочности для обоих напряженных состояний в указанных условиях будет одинаковым. Гипотез прочности существует несколько, так как одни дают удовлетворительные результаты для хрупких материалов, а другие – для пластичных. Первая гипотеза прочности – гипотеза наибольших нормальных напряжений, вторая гипотеза прочности – гипотеза наибольших линейных деформаций, третья – гипотеза наибольших касательных напряжений и четвертая – энергетическая гипотеза прочности.

 

Вопросы для самопроверки

 

1.Что называют напряженным состоянием в точке? 2. Какие виды напряженного состояния встречаются? 3. Какие площадки называются главными? 4. Какие напряжения называют главными? 5. Сущность закона парности касательных напряжений. 6. Чему равны наибольшие касательные напряжения и где они действуют? 7. Что называется обобщенным законом Гука? 8. В чем задача теорий прочности? 9. Какие теории прочности существуют? 10. Как в случае плоского напряженного состояния найти эквивалентные напряжения по третьей и четвертой теориям прочности? 11. Почему существует несколько теорий прочности? 12. Чему равна удельная работа деформаций при объемном напряженном состоянии?

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

 

1. Биргер И.А., Мавлютов Р.Р. Сопротивление материалов: Учебное пособие. - М.: Наука, 1986. - 580с.

2. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела: Учебное пособие для вузов. - 2-е изд., испр. - М.: Наука, 1988.-712 с.

3. Степин П.Л. Сопротивление материалов: Учебник. - М.: Высш. шк., 1988.- 180с.

4. Филатов Ю.Е. Эпюры внутренних усилий. Методические указания по курсам "Прикладная механика" и "Сопротивление материалов". Иван. энерг. ин-т им. В.И. Лен. - Иваново, 1984. - 32 с.

5. Филатов Ю.Е. Перемещения при изгибе. Методические указания. Иван. энерг. ин-т им. В.И. Лен. - Иваново, 1989. - 23 с.

6 Шапин В.И. Некоторые прикладные задачи механики в расчетах теплоэнер-гетического оборудования ТЭС и АЭС: Учебное пособие. - Иваново: ИвГУ, 1992. - 110с.

6. Добронравов В.В., Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. М.: Высш. шк., 1983. - 575 с.

7 Рудицин М.Н., Артемов П.Я., Любошиц М.Н. Справочное пособие по сопро-тивлению материалов. – Минск: Высш. шк., 1970. – 628с.

8. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. - 2-е изд., перераб. и доп. – Киев: Наук. думка, 1988.-734 с.

 

 

Приложение 1

ЗАДАЧИ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

 

Задача 1

Стальной ступенчатый брус переменного сечения находится под действием продольных сил P.

Расчетные схемы указаны на рис. 12, I – X, а числовые данные приведены в табл. 1.

При расчете можно принимать модуль упругости при растяжении для стали Е=2·10⁵ МПа.

Требуется:

1.Построить эпюру нормальных сил.

2.Для заданной расчётной схемы оценить прочность конструкции и построить эпюру нормальных напряжений.

3.Определить абсолютное изменение бруса с построением эпюры продольных перемещений.

 

Таблица 1

Числовые значения

Величина	Варианты
А, см2 a, м b, м c, м P, кН

 

 

Рис.12. Расчетные схемы

 

Задача 2

К стальному ступенчатому валу, имеющему сплошное поперечное сечение, приложены четыре момента (рис. 13, I – X). Левый конец вала жестко закреплен в опоре, а правый конец свободен и его торец имеет угловые перемещения относительно левого конца. Требуется:

1. Построить эпюру крутящих моментов по длине вала.

2. При заданном значении допускаемого напряжения на кручение определить диаметры d₁ и d₂ вала из расчета на прочность; полученные значения округлить.

3. Построить эпюру действительных напряжений кручения по длине вала.

4. Построить эпюру углов закручивания, приняв G=8·10⁴ МПа

5. Данные взять из табл. 2.

 

 

Таблица 2.

Числовые значения

Вариант	Расстояния, м	Моменты, кН·м	[t], Мпа
a	b	c	М1	М2	М3	М4
	1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9	1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9	1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9	5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 6,0	2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0	1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0	0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

 

Рис.13. Расчетные схемы

Задача 3

Для заданной схемы балки (рис. 14, I – X) требуется:

1.Написать выражения Q и M для каждого участка в общем виде.

2.Построить эпюры Q и M.

3.Найти M_макс и подобрать стальную балку двутаврового поперечного сечения при [s]=160 Мпа.

4.Написать уравнение перемещения балки и построить эпюру прогибов балки.Расчёты значений прогибов привести в табличной форме.

 

Таблица 3.

Числовые значения

Варианты	Данные величины
а, м	b, м	c, м	l, м	Изгибаю-щий мо- мент M, кН·м	Сосредо- точенная сила F, кН	Равномерно распределен-ная нагрузка q, кН/м
	2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8	3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0	1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7	1,0 1,0 1,1 1,1 1,2 1,2 1,3 1,3 1,4 1,4

Рис. 14. Расчетные схемы

 

Приложение 2

ТАБЛИЦЫ СОРТАМЕНТОВ

 

ДВУТАВРЫ ГОСТ 8239-89 СТАЛЬНЫЕ ГОРЯЧЕКАТАНЫЕ (СТ СЭВ 2209-89)
	Сортамент	Введен с 01.07.1990
h – высота профиля;	J – момент инерции осевой;
b – ширина полки;	W – момент сопротивления;
s – толщина стенки;	S x – статический момент
t – толщина полки	полусечения;
средняя;	i – радиус инерции
№ двутавра	Размеры, мм	Пло-щадь сече-ния A	Мас-са 1м,	Справочные величины для осей
X-X	У-У
h	b	s	t	Jx	Wx	i x	S x	J y	W y	iy
см2	кг	см4	см3	см	см3	cм4	см3	cм
			4,5	7,2	12,0	9,46		39,7	4,06		17,9	6,49	1,22
			4,8	7,3	14,7	11,5		58,4	4,88	33,7	27,9	8,72	1,38
			4,9	7,5	17,4	13,7		81,7	5,73	46,8	41,9	11,5	1,55
			5,0	7,8	20,2	15,9			6,57	62,3	58,6	14,5	1,70
			5,1	8,1	23,4	18,4			7,42	81,4	82,6	18,4	1,88
			5,2	8,4	26,8	21,0			8,28			23,1	2,07
			5,4	8,7	30,6	24,0			9,13			28,6	2,27
			5,6	9,5	34,8	27,3			9,97			34.5	2,37
			6,0	9,8	40,2	31,5			11,2			41,5	2,54
			6,5	10,2	46,5	36,5			12,3			49,9	2,69
			7,0	11,2	53,8	42,2			13,5			59,9	2,79
			7,5	12,3	61,9	48,6			14,7			71,1	2,89
			8,3		72,6	57,0			16,2			86,1	3,03
			9,0	14,2	84,7	66,5			18,1				3,09
				15,2		78,5			19,9				3,23
				16.5		92,6			21,8				3.39
				17,8					23,6				3,54
	ШВЕЛЛЕРЫ ГОСТ 8240-89 СТАЛЬНЫЕ ГОРЯЧЕКАТАНЫЕ (СТ СЭВ 2210-80)
		Сортамент	Введен с 01.07.1990
	h – высота сечения;	J – момент инерции осевой;
	b – ширина полки;	W – момент сопротивления;
	s – толщина стенки;	S x– статический момент
	t - толщина полки средняя;	полусечения;
	Z o– расстояние от оси	i - радиус инерции.
	y-y до наружной грани стенки
	№ швеллера	Размеры, мм	Площадь сечения A	Масса 1 м	Справочные величины для осей	Z o
	X- X	У-У
	h	b	s	t	J x	W x	i x`	S x	Jy	Wy	i y
	см2	кг	см4	см3	см	см3	см4	см3	см	см
				4,4	7,0	6,16	4,84	22,8	9.1	1,92	5,59	5,61	2,75	0,95	1,16
	6,5			4,4	7,2	7.51	5,90	48,6	15,0	2,54	9.00	8,70	3,68	1,08	1,24
				4,5	7,4	8,98	7,05	89,4	22,4	3.16	13,3	12,8	4,75	1,19	1,31
				4,5	7,6	10,9	8,59		34,8	3,99	20.4	20,4	6,46	1,37	1,44
				4,8	7,8	13.3	10,4		50,6	4,78	29,6	31,2	8.52	1,53	1.54
				4.9	8,1	15,6	12.3		70,2	5,60	40,8	45,4	11.0	1,70	1,67
				5,0	8,4	18,1	14,2		93,4	6,42	54,1	63.3	13,8	1,87	1,80
	16a			5.0	9.0	19,5	15.3			6.49	59,4	78.8	16,4	2,01	2.00
				5,1	8.7	20,7	16.3			7,24	69,8	86,0	17,0	2,04	1,94
	18а			5,1	9,3	22,2	17,4			7,32	76,1		20,0	2,18	2.13
				5,2	9,0	23,4	18,4			8,07	87,8		20,5	2,20	2.07
				5,4	9,5	26,7	21,0			8,89			25,1	2,37	2,21
				5,6	10,0	30,6	24,0			9,73			31,6	2,60	2,42
				6,0	10,5	35,2	27,7			10,9			37,3	2,73	2,47
				6,5	11,0	40,5	31,8			12,0			43,6	2,84	2,52
				7.0	11,7	46,5	36,5			13,1			51,8	2,97	2,59
				7,5	12,6	53.4	41,9			14,2			61,7	3,10	2,68
				8,0	13,5	61,5	48,3			15,7			73,4	3,23	2,75

 

Малинина Наталия Валентиновна

Ноздрин Михаил Александрович

Шапин Вадим Иванович

 

Прикладная механика. Часть первая

Методические указания для студентов заочного обучения

Редактор

 

Лицензия ИД №0528 от 4 июня 2001г.

 

Подписано в печать. Формат 60x84 1/16

Печать плоская. Усл. 2 печ.л.. Тираж 350 экз. Заказ №

Ивановский государственный энергетический университет

153003, г. Иваново, ул. Рабфаковская, 34