![](/img/CyberPedia.jpg)
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Топ:
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Интересное:
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
![]() |
![]() |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Предварительные сведения из алгебры многочленов
а) Если a вещественный корень многочлена, то существует единственное представление многочлена в виде
P(x) = (x – a)a P1(x), a³1, P1(a)¹0.
Число a называется кратностью корня. Другое эквивалентное определение кратности корня дается в терминах производных: a – это порядок первой, не равной нулю производной в точке a: P(a)= P¢(a)=…= P(a-1)(a)=0, P(a)(a)¹0.
б) Если w = u + i v, v¹0 комплексный корень многочлена с действительными коэффициентами, то сопряженное комплексное число = u - i v также является корнем многочлена. Это утверждение следует из свойств операции комплексного сопряжения:
,
, для действительного числа x справедливо равенство
. Поэтому, если w корень многочлена P(x) = a0+…+akxk+…+ anxn, то
=
=
= P(
).
Тогда существует единственное представление многочлена в виде
P(x) = (x2+px+q)b P1(x), b³1, P1(w)¹0,
(x - w)(x - )=(x - u - i v)(x - u + i v)=(x-u)2+v2=x2-2ux+u2+v2= x2+px+q.
в) Любой многочлен можно разложить в произведение по своим корням
,
где A – старший коэффициент многочлена, a1,a2,…, ar -действительные корни кратностей a1,a2,…, ar, а w1,w2,…, ws комплексные корни кратностей b1,b2,…, bs. Связь между комплексными корнями и сомножителями в разложении многочлена следующая x2+pkx+qk=(x - wk)(x - k).
Определение. Рациональная функция (отношение двух многочленов) ) называется правильной дробью, если порядок многочлена числителя строго меньше порядка многочлена в знаменателе.
Утверждение. Любую рациональную функцию можно представить в виде многочлена (целая часть) плюс правильная дробь.
, - R(x) – многочлен, дробь
- правильная.
R(x) – называется целой частью, а дробь P1/Q1 – остатком. Остаток и целую часть можно получить делением «уголком».
Пример:
Метод неопределенных коэффициентов
|
Для нахождения коэффициентов разложения (*) выписывают это разложение с неопределенными коэффициентами, приводят правую и левую часть к общему знаменателю. В полученном равенстве для числителей приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях x. В результате получают систему уравнений для определения коэффициентов разложения.
Пример.
1 = A(x2+4x+4)+B(x2+x-2)+C(x-1)
A+B=0
4A+B+C=0
4A-2B-C=1,
A=-B, 3A+C=0,6A-C=1, A=1/9, B=-1/9, C=-1/3.
Интегрирование выражений
Пусть k – наименьший общий знаменатель дробей m/n, …,r/s. Осуществляя замену
мы сведём интеграл от этого иррационального выражения к интегралу от
рационального выражения по t.
Пример. Вычислить интеграл
Положим
– интеграл от
–
– рациональной. функции.
Разлагаем подинтегральную функцию на простейшие рациональные дроби по методу неопределённых коэффициентов:
Затем проинтегрируем их и перейдём в результате к первоначальному аргументу x.
14. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определение определенного интеграла, необходимые условия его существования.
Задача о пройденном пути.
Пусть известен закон изменения мгновенной скорости v = v(t). Определим путь, пройденный при движении точки за промежуток времени от t = б до t = в. Движение в общем случае предполагается неравномерным.
Поступим следующим образом.
1). Разобьем весь промежуток времени на n произвольных интервалов
t0 = б < t1< t2 < … < ti-1 < ti < … tn-1 < tn = в,
где ti – ti-1 = Дti. На произвольном участке [ti-1, ti] будем считать движение близким к равномерному с постоянной скоростью v = v(фi), ti-1 ≤ фi ≤ ti. Тогда за время Дti пройденный путь приближенно равен si = v(фi)Дti. Результат справедлив для каждого интервала (i = 1, 2, …, n).
2). Если указанные интервалы достаточно малы, то весь путь приближенно равен сумме:
Эта формула тем точнее, чем мельче разбиение данного промежутка времени.
3). Для получения точной формулы пути перейдем к пределу, увеличивая число дроблений (n→∞) и бесконечно измельчая сами интервалы. Обозначим л = Дti, тогда
|
Задача о количестве вещества, вступившего в реакцию.
Пусть скорость химического превращения некоторого вещества, участвующего в химической реакции, есть функция времени v = v(t). Найти количество m вступившего в реакцию вещества за промежуток времени от t0 до T. Проделаем последовательно те же операции, что и при решении предыдущей задачи. В результате получим:
Работа переменной силы.
Пусть материальная точка под действием постоянной силы F перемещается по направлению этой силы. Если пройденный путь равен s, то, как известно из курса физики, работа Р этой силы F вычисляется по формуле: Р = FS.
Пусть теперь материальная точка движется по оси Ох от точки А(а) до точки B(b) (b>a) под действием переменной силы, направленной по Ох и являющейся функцией от х: F = f(x).
Для нахождения работы Р в этом случае разобьем отрезок [a; b] точками a = x0<x1<…<xn = b на n частичных отрезков и положим: Дxi = xi – xi-1, i = 1, 2,..., n. Наибольшую из этих разностей обозначим через л = maxДxi. Если эти отрезки достаточно малы, то без большой ошибки на каждом из них силу F можно считать постоянной (равной f(фi)), что дает приближенное выражение для работы
,
где фi – одна из точек сегмента [xi-1, xi]. Отсюда:
Задачи о площади криволинейной трапеции.
Пусть на промежутке [a; b] задана функция f(x)≥0. Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная указанной кривой y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью Оx. (рис. 1). Для вычисления ее площади проделаем несколько операций.
Рис. 1.
1). Разобьем промежуток [a; b] произвольными точками x0=a<x1<x2<…<xi-1<xi<…<xn=b на n частей. Положим Дxi = xi – xi-1, то есть Дxi есть длина i-го частичного отрезка, а наибольшую из этих длин обозначим л, (л=max Дxi).
2). На каждом отрезке [xi-1, xi] возьмем по произвольной точке ci,
xi-1<ci< xi и вычислим f(ci). Построим прямоугольник с основанием [xi-1, xi] и высотой f(ci). Его площадь равна Si=f(ci)(xi – xi-1). Проделаем это для каждого i = 1, 2, …, n.
3). Площадь всей заштрихованной ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников, равна сумме
Площадь S криволинейной трапеции будет приближенно равна площади ступенчатой фигуры:
Чем мельче отрезки деления, тем точнее полученная фигура “отображает” криволинейную трапецию.
|
4). За площадь криволинейной трапеции принимают предел, к которому стремятся площади ступенчатых фигур, когда длины отрезков деления стремятся к нулю, а их число неограниченно увеличивается (n→∞). Таким образом,
15. Критерий интегрируемости функции (без доказательств). Достаточные условия существования определенного интеграла
Условия интегрируемости функции на отрезке – это условия существования определенного интеграла
. При определении его как предела интегральной суммы предполагалось, что функция
ограничена на отрезке
.
Необходимое условие интегрируемости функции
Покажем, что условие ограниченности функций на отрезке является необходимым условием интегрируемости функций, т.е. справедлива следующая теорема.
Т. Если существует, то функция
ограничена на отрезке
.
Ограниченность является необходимым, но не достаточным условием интегрируемости функции на отрезке , Существуют ограниченные функции, не являющиеся интегрируемыми.
Достаточные условия интегрируемости функции
Т. Если функция непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке, т.е. существует
Т. Если функция ограничена на отрезке [a, b] и непрерывна на нем всюду, кроме конечного числа точек разрыва первого рода, то она интегрируема на этом отрезке.
Т. Если функция монотонна и ограничена на отрезке [a, b], то она интегрируема на [a, b].
Свойства определенного интеграла, выражаемые равенствами
1. Если нижний и верхний пределы интегрирования равны , то интеграл равен нулю:
.
2. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:
3.
4. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], то и функция , где k – постоянная, также интегрируема на [a, b], причем
,
т.е. постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.
5. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a, b], то также интегрируема на [a, b], причем
.
6. Аддитивность определенного интеграла. Если существуют интегралы и
, то существует также интеграл
(и обратно) и для любых чисел a, b, c
.
7. Если функция f(x) не меняет знак на , то определенный интеграл
сохраняет ее знак, т.е. если
, то
,
,
.
|
8. Монотонность определенного интеграла. Если интегрируемые функции и
удовлетворяют неравенству
, то
,
.
9. Оценка интеграла. Если f(x) интегрируема на
и
, то
,
.
10. (о среднем значении для непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то существует такая точка
, что
,
т.е. определенный интеграл от непрерывной функции равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке отрезка интегрирования
и длины b–a этого отрезка.
Число , определяемое по формуле
, называется интегральным средним значением функции f(x) на отрезке
.
16. Основные свойства определенного интеграла
Доопределим понятие определенного интеграла при a ≥ b следующими равенствами:
Сформулируем некоторые свойства определенного интеграла в предположении, что подынтегральная функция ограничена на отрезке, по которому она интегрируется.
1). Если функция интегрируема на [a; b], то она интегрируема на
любом отрезке [x1; x2] [a; b].
2). Для любых a, b и c
3). Интеграл обладает свойством линейности: для любых функций f(x) и g(x) и любой постоянной A
4). Если f(x) и g(x) интегрируемы на [a; b], то f(x) · g(x) также интегрируема на этом отрезке.
5). Если f(x) – периодическая функция с периодом T, то для любого a
Для определенных интегралов верны также следующие оценки (предполагается, что функции f и g интегрируемы на [a; b]).
1). Если f(x) ≥ g(x), то
2). В частности, если f(x) ≥ 0, то
3). Если f(x) ≥ 0 для любого х [a; b] и существует х0
[a; b] такое, что f(x0)>0, причем f(x) непрерывна в х0 то
4). |f(x)| интегрируема на [a; b], причем
5). Если на отрезке [a; b] m ≤ f(x) ≤ M, то
17. Теорема о среднем и ее геометрический смысл
Метод замены переменной
Пусть функция у = f(х) непрерывна на отрезке [a, b], а функция x=φ(t), определена на отрезке [α, β] и имеют на нем непрерывную производную, причем φ (α) = а, φ (β) = b и для всех . Тогда
Метод интегрирования по частям
Если функции u = u(x), v = v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a, b], то справедлива формула
Доказательство.
Поскольку функция u(x)v(x) – первообразная для функции u’(x)v(x) + u(x)v’(x), то
откуда и следует формула которую можно записать в виде
Формула интегрирования по частям для определённого интеграла. Если u(x), v(x) - непрерывно дифференцируемые функции, то .
Необходимое условие интегрируемости.
Если функция интегрируема на отрезке, то она ограничена на нем.
Необходимое и дост. усл. интегрируемости.
Для того, чтобы ограниченная на некотором отрезке функция была интегрируема на нем необходимо и достаточно, чтобы lim∣τ∣→0(Sτ−sτ)=0
|
20. Понятие площади плоской фигуры, объем тела. Вычисление объема площади плоских фигур и объемов тел вращения
площадь S криволинейной трапеции abAB, ограниченной кривой y=f(x), f(x) 0
y |
x |
b |
а |
y=f(x) |
B |
A |
y |
x |
A |
B |
y=φ(x) |
C |
y=f(x) |
D |
Объем тела, образованного вращением кривой y = f(x), ограниченной прямыми х = а, x = b при a<x<b вокруг оси Ох, вычисляется по формуле:
Объем тела, образованного вашей кривой у = φ(у), ограниченной прямымиy = c, y = d при c<y<d вокруг оси Oy, вычисляется по формуле:
Центральный угол — это угол, образованный двумя радиусами. Длина дуги, описываемой концом радиуса, пропорциональна величине соответствующего центрального угла. Центральный угол дуги измеряется градусами. Для измерения градусами - целая окружность имеет 360°. Длина дуги
p=2π r n\360=π r n\180
Определение 3. Тело вращения – это тело, полученное вращением плоской фигуры вокруг оси, не пересекающей фигуру и лежащей с ней в одной плоскости.
Ось вращения может и пересекать фигуру, если это ось симметрии фигуры.
Теорема 2. Пусть криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной функции , осью
и отрезками прямых
и
вращается вокруг оси
. Тогда объём получающегося тела вращения можно вычислить по формуле
(2)
Доказательство. Для такого тела сечение с абсциссой – это круг радиуса
, значит
и формула (1) даёт требуемый результат.
Если фигура ограничена графиками двух непрерывных функций и
, и отрезками прямых
и
, причём
и
, то при вращении вокруг оси абсцисс получим тело, объём которого
Определение 1. Поверхность вращения – это поверхность, которая получается при вращении плоской линии вокруг оси, лежащей в её плоскости и не пересекающей её.
Ось вращения может и пересекать линию, если это ось симметрии линии. В этом случае рассматривают лишь «половину» линии.
Впишем в кривую произвольную ломанную и обозначим
длину наибольшего её звена. При вращении этой ломанной вокруг оси мы получим поверхность
, составленную из боковых поверхностей усеченных конусов. Обозначим площадь этой поверхности
.
Определение 2. Конечный предел называют площадью поверхности вращения.
Можно показать, что если линия имеет длину, то поверхность, полученная её вращением, имеет площадь.
II Общая формула
Линия , вращением которой вокруг оси абсцисс получена поверхность, может быть задана одним из следующих способов:
1) 2)
3)
Теорема. Если функции, определяющие линию, непрерывны вместе со своими производными, то площадь поверхности вращения (вокруг оси ) определяется формулой:
(1)
где – подынтегральное выражение, фигурирующее в соответствующей формуле для длины дуги.
Идея доказательства. Пусть концы -го звена ломанной имеют координаты
и
. Это звено при вращении вокруг оси
опишет боковую поверхность усеченного конуса с радиусами оснований
и
и образующей
(длина
-го звена). Для площади такой поверхности известна формула
Вся ломанная даст поверхность с площадью
Если, например, имеющаяся кривая – это график функции , тогда
(см. §3, II). Также, заменяя
на
получим
В этой сумме нетрудно увидеть интегральную сумму, которая в пределе даст интеграл из (1).
21. Спрямляемые дуги. Достаточное условие справляемости дуг, вывод формулы для исчисления ее длины
. В приложениях математики возникает потребность в вычислении длин дуг произвольных кривых. Но, чтобы вычислить длину произвольной кривой, надо быть уверенным в том, что рассматриваемая кривая имеет конечную длину.
В средней школе длиной окружности называют предел последовательности периметров вписанных в окружность правильных многоугольников (при неограниченном удвоении числа сторон). Однако это определение неприменимо к произвольным кривым.
Дадим общее определение понятия длины кривой. Пусть задана жорданова кривая Г1:
(1)
a t
в.
Напомним, что функции и
непрерывны на отрезке. Разобьём отрезок [ а;в ] на части числами
t0, t1,…, tn: a = t0 < t1 < … < tn = в.
Каждому числу t соответствует точка Мк (,
) кривой Г. Проводя отрезки М0М1, …, Mn-1Mn, получим ломаную линию ɣ, вписанную в кривую Г. Обозначим её длину через l (ɣ).
Определение. Жорданова кривая (1) называется спрямляемой (имеющей длину), если множество длин вписанных в эту кривую ломаных γ ограничено сверху. Точная верхняя граница множества
называется длиной кривой Γ и обозначается
:
. (2)
Докажем, что длина спрямляемой кривой обладает свойством аддитивности.
Пусть жорданова кривая Γ разбита на кривые и
. Если эти кривые спрямляемы, то кривая Γ спрямляема, причем
.
В самом деле, пусть γ – любая ломаная, вписанная в кривую Γ, и пусть М – точка, разбивающая Γ на и
. Добавляя эту точку к вершинам ломаной γ, получим ломаную
, длина которой не меньше длины ломаной γ,
. Но ломаная
состоит из двух частей
и
, вписанных соответственно в кривые
и
, причем
и
.
Поэтому
.
Это неравенство показывает, что число является одной из верхних границ для множества
длин ломаных, вписанных в кривую Γ. Но для любого
найдутся ломаные
и
, вписанные в
и
, такие, что
и
.
Объединяя и
, получаем ломаную γ, вписанную в Γ и такую, что
.
А это и значит, что - точная верхняя граница множества
, т.е.
.
А) Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
Первая теорема сравнения. Пусть и
определены на
, интегрируемы на любом отрезке
, где
и
, причем
. Тогда:
1. если сходится , то сходится и
;
2. если расходится , то расходится и
.
Вторая теорема сравнения. Пусть функции и
определены на
, и пусть существует
. Тогда
1) Если , то
и
сходятся или расходятся одновременно.
2) Если , то из сходимости
следует сходимость
, а из расходимости
следует расходимость
.
3) Если , то из сходимости
следует сходимость
, а из расходимости
следует расходимость
.
Б) Несобственные интегралы от неограниченных функций.
Первая теорема сравнения. Пусть на отрезке функции
и
разрывны в точке
, и для каждого
выполняется неравенство
. Тогда если сходится
, то сходится и
; если расходится
, то расходится и
.
Вторая теорема сравнения. Пусть на отрезке функции
и
разрывны в точке
, и пусть существует
. Тогда:
1) Если , то
и
сходятся или расходятся одновременно.
2) Если , то из сходимости
следует сходимость
, а из расходимости
следует расходимость
.
3) Если , то из сходимости
следует сходимость
, а из расходимости
следует расходимость
.
25. Собственные интегралы зависящие от параметра, их непрерывности и дифференцируемости.
Для того чтобы дать определение интеграла, зависящего от параметра, введем функцию . Пусть эта функция
будет определена на некотором множестве, где
и
, то есть в результате получится множество
. Если функция
непрерывна в D, то тогда имеет смысл интеграл
, где x принадлежит некоторому конечному или бесконечному промежутку
, значит, интеграл может быть несобственным.
На основании этого можно дать определение интеграла, зависящего от параметра.
Определение.
Интеграл называется интегралом, зависящим от параметра, если
интегрируема на промежутке
при любом фиксированным
, где.
Следовательно, представляет собой функцию переменной (параметра)
, определенную в промежутке
. Возможно также существование интеграла при фиксированном
, тогда он будет представлять собой функцию переменной (параметра)
, определенную в промежутке
. Обозначается она так
, так что
.
Основная задача будет состоять в том, чтобы, зная свойства функции , получить информацию о свойствах функции
. Эти свойства имеют многообразные применения, особенно при вычислении несобственных интегралов.
Пример. Найти интеграл от функции
,
Функция непрерывна на отрезке
при любом фиксированном
, а значит, она интегрируема. Тогда
.
Масса тела.
Масса тела при заданной объемной плотности μ вычисляется с помощью тройного интеграла .
Статические моменты.
Моменты тела относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz вычисляются по формулам
.
Центр тяжести тела.
Координаты центра тяжести тела V находятся по формулам
.
32 Вычисление криволинейных и поверхностных интегралов 1-го рода
Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f, определенную в каждой точке этой кривой. Разобьем кривую на части Δ si длиной Δ si и выберем на каждой из частей точку Mi. Назовем d длину наибольшего отрезка кривой: .
Криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой L называется предел интегральной суммы , не зависящий ни от способа разбиения кривой на отрезки, ни от выбора точек Mi:
(24)
Если кривую
|
|
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!