Правила осуществления группировок

Для отнесения единиц совокупности к различным группам необходимо сначала определить: а) сколько групп должно быть сформировано и б) каковы границы этих групп.

Определение количества групп осуществляется двумя вариантами.

Первый вариант заключается в предварительном анализе исследователем сущности изучаемого явления, и выделении нескольких типов явления, в соответствии с которыми будут сформированы группы.

Второй вариант состоит в расчете коэффициента Стерджесса (Sturgess), определяющего количество групп.

При группировке по количественному признаку появление интервального варианта представления статистических данных обусловлено, во-первых, наличием вариативности у изучаемых явлений, а во-вторых – большим числом единиц наблюдаемой совокупности. Применение интервалов может быть также вызвано непрерывностью изучаемого признака.

Таким образом, интервал представляет собой нижнюю и верхнюю границу изменчивости признака и имеет форму представления «От… – до…»

Интервалы могут быть открытые (когда одна из границ не определена) и закрытые (когда определены обе границы).

Расчет величины интервала (i) осуществляется после определения количества групп.

 

Формы представления статистических данных

Массовый характер общественных явления обусловливает необходимость наблюдения и анализа множества единиц совокупности. Для компактного и наглядного изложения результатов статистического наблюдения и их анализа применяются таблицы и графики.

 

Статистические таблицы

Таблица – система строк и столбцов, на пересечении которых приводятся данные, характеризующие изучаемое явление.

Статистическая таблица состоит из следующих элементов:

1. Общий заголовок – отражает суть всей таблицы, содержит указание на характеризуемый признак объекта исследования, время, место наблюдения (иногда единицы измерения признака).

2. Подлежащее – характеризуемый в таблице объект исследования; находится, как правило, в левой части таблицы.

3. Сказуемое – система показателей, с помощью которых описывается объект исследования; располагается, как правило, в верхней части (слева направо) и представляет собой содержание граф таблицы.

4. Итоговая строка – может находится в начале (тогда сопровождается нижеследующей строкой «в том числе») или в конце подлежащего. В тех графах итоговой строки, в которых по смыслу не могут быть подсчитаны результаты, ставится «Х».

5. Цифровые данные – количественная характеристика исследуемого объекта; в случае отсутствия данных ставится «…» или пишется «нет сведений», а в случае отсутствия типа явления ставится «–».

Выделяют несколько видов таблиц: простые, групповые (подлежащее которых содержит группировку) и комбинационные (в подлежащем группировка осуществляется по двум и более признакам, т.е. каждая группа содержит подгруппы). В статистике применяются также матрицы, правила построения и анализа которых определены в высшей математике.

 

Статистические графики

Графическое представление статистической информации применяется для более наглядного отображения исследуемых процессов.

Статистический график состоит из следующих элементов:

Графический образ – геометрические значки, с помощью которых выражаются статистические показатели;

Поле графика – ограниченная плоскость, на которой располагается график;

Масштабные ориентиры – система мер и шкал, принятых для отображения данных.

Выбор вида применяемого графика зависит от отображаемых данных. Например, для изображения структурного распределения совокупности, как правило, применяется круговая диаграмма.

 

Лекция 3. Абсолютные и относительные величины

1. Абсолютные величины

1.1. Понятие абсолютных величин, их виды

1.2. Единицы измерения абсолютных величин

2.Относительные величины

2.1. Относительные величины, понятие и принципы построения

2.2. Виды относительных величин

2.2.1. Относительная величина динамики

2.2.2. Относительная величина планового задания и реализации плана

2.2.3. Относительная величина структуры

2.2.4. Относительная величина координации

2.2.5. Относительная величина интенсивности

2.2.6. Относительная величина сравнения

 

Абсолютные показатели.

Абсолютные показатели отражают физические размеры изучаемых статистикой процессов и явлений, а именно их массу, площадь, объем, протяженность, временные характеристики, а также могут представлять объем совокупности, т. е. число составляющих ее единиц.

К абсолютным показателям, например, относятся: площадь территории страны, объем промышленного производства, эксплуатационная длина железнодорожных путей сообщения и т. п.

Абсолютные статистические показатели всегда являются именованными числами, т.е. имеют какую-либо единицу измерения. В зависимости от социально-экономической сущности исследуемых явлений, их физических свойств они выражаются в натуральных, стоимостных или трудовых единицах измерения.

Натуральные единицы измерения характеризуют величину и размер изучаемых явлений. В международной практике используются такие натуральные единицы измерения как тонны, килограммы, квадратные, кубические и простые метры, километры, мили, литры, баррели, штуки и т.д. Натуральные единицы можно суммировать только по однородным продуктам.

В группу натуральных также входят условно-натуральные измерители, которые используются в тех случаях, когда какой-либо продукт имеет несколько разновидностей и общий объем можно определить только исходя из общего для всех разновидностей свойства. Например, различные виды органического топлива переводятся в условное топливо с теплотой сгорания 29,3 МДж/кг (7 000 ккал/кг), мыло разных сортов – в условное мыло с 40%-ным содержанием жирных кислот, консервы различного объема – в условные консервные банки объемом 353,4 см³ и т.д. Перевод в условные единицы измерения осуществляется на основе специальных коэффициентов, рассчитываемых как отношение потребительских свойств отдельных разновидностей продукта к эталонному значению. Так, например, 100 т. торфа, теплота сгорания которого равна 24 МДж/кг, будут эквивалентны 81,9 т. условного топлива (100 т ∙ ), а 100 т. нефти при теплоте сгорания 45 МДж/кг оцениваются в 153,6 т условного топлива (100 т ∙ )

Иногда для характеристики какого-либо явления или процесса одной единицы измерения недостаточно и используется произведение двух единиц. Например, показатели грузооборота оцениваются в тонно-километрах, пассажирооборота – в пассажиро-километрах, производство электроэнергии – в киловатт-часах.

К трудовым единицам измерения, позволяющим учитывать как общие затраты труда на предприятии, так и трудоемкость отдельных операций технологического процесса, относятся человеко-дни и человеко-часы.

При обобщении учетных данных даже на уровне предприятий, а тем более на уровне отраслей народного хозяйства широко используются стоимостные (денежные) единицы измерения. Для получения общего объема продукции в денежном выражении количество единиц каждого вида продукции в натуральном выражении умножается на цену соответствующего вида, а затем полученные произведения суммируют по всем видам. При определении стоимостных показателей объема продукции абсолютные величины получаются расчетным путем. Тем более это касается определения таких обобщающих показателей, как чистая продукция промышленности, прибыль, объем валового национального продукта и др.

Так, объем чистой продукции определяют вычитанием из стоимости объема продукции стоимости материальных затрат на ее производство. Прибыль от реализации продукции промышленного предприятия получают как разность между выручкой от реализации продукции по оптовым ценам предприятий и ее полной себестоимостью. Расчетный метод определения абсолютных величин может опираться также на балансовый метод. Например, наличие оборудования на конец года определяется прибавлением к количеству оборудования на начало года числа единиц введенного оборудования и вычитанием числа единиц выбывшего оборудования.

Таким образом, абсолютные величины получают непосредственным подсчетом данных статистического наблюдения или расчетным путем.

Относительные показатели.

Относительные показатели представляют собой результат деления одного абсолютного показателя на другой и выражают соотношение между количественными характеристиками социально-экономических процессов и явлений. Поэтому по отношению к абсолютным показателям относительные показатели являются производными (вторичными).

При расчете относительного показателя абсолютный показатель, который находится в числителе, называется текущим или сравниваемым. Показатель, который стоит в знаменателе – основанием или базой сравнения. Таким образом, относительный показатель показывает, во сколько раз сравниваемый абсолютный показатель больше базисного, или какую долю он составляет от базисного показателя, или сколько единиц первого приходится на 1, 100, 1000 и т.д. единиц второго. Относительный показатель может выражаться в коэффициентах, процентах, промилле, продецимилле или быть именованным числом.

Все используемые на практике относительные статистические показатели можно подразделить на следующие виды:

§ динамики;

§ плана;

§ реализации плана;

§ структуры;

§ координации;

§ интенсивности и уровня экономического развития;

§ сравнения.

1. Относительный показатель динамики (ОПД).

Представляет собой отношение уровня исследуемого процесса или явления за данный период времени (по состоянию на данный момент времени) и уровня этого же процесса или явления в прошлом:

ОПД =	Текущий уровень
Предшествующий или базисный уровень

ОПД характеризует изменение явления во времени и показывает, во сколько раз увеличился (или уменьшился) уровень показателя по сравнению с каким-либо предшествующим периодом.

Различают ОПД с постоянной и переменной базой сравнения. Если сравнение осуществляется с одним и тем же базисным уровнем, например первым годом рассматриваемого периода, получают относительные показатели динамики с постоянной базой сравнения (базисные). При расчете ОПД с переменной базой (цепных) сравнение осуществляется с предшествующим уровнем, т.е. основание относительной величины последовательно меняется.

Пример. Производство сахара-песка в РФ в январе – апреле характеризуется следующими данными (данные условные):

 

Месяц	Январь	Февраль	Март	Апрель
Объем производства, тыс. т.

Рассчитаем относительные показатели динамики с переменной и постоянной базой сравнения:

 

ОПД с переменной базой сравнения (цепные показатели)	ОПД с постоянной базой сравнения (базисные показатели)
(февр. янв.)		(февр.- янв.)
(март февр.)		(март- янв.)
(апр.- март)		(апр.- Янв.)

Таким образом, производство сахара-песка в феврале по сравнению с январем выросло на 27,8%, в марте по сравнению с февралем снизилось на 5,1%, а в апреле по сравнению с январем выросло на 90,7%.

ОПД с переменной и постоянной базой сравнения взаимосвязаны между собой следующим образом: произведение всех относительных показателей с переменной базой равно относительному показателю с постоянной базой сравнения за исследуемый период. Так, для рассчитанных показателей (предварительно переведя их из процентов в коэффициенты) получим: 1,278 ∙ 0,949 ∙ 1,573 = 1,907 или 190,7%

 

2. Относительные показатели плана (ОПП) и реализации плана (ОПРП).

Все субъекты финансово-хозяйственной деятельности (от небольших индивидуальных частных предприятий и до крупных корпораций) в той или иной степени осуществляют как текущее, так и стратегическое планирование, а также сравнивают реально достигнутые результаты с ранее намеченными. Для этой цели используются относительные показатели плана и реализации плана:

ОПП =	Уровень, планируемый на (i+1)-й период
Уровень, достигнутый в i-м периоде

ОПП характеризует напряженность плана, т.е. во сколько раз намечаемый объем производства превысит достигнутый уровень или сколько процентов от этого уровня составит.

ОПРП =	Уровень, достигнутый в (i+1)-й период
Уровень, планированный на (i+1)-й период

ОПРП отражает фактический объем производства в процентах или коэффициентах по сравнению с плановым уровнем.

Пример. Предположим, оборот торговой фирмы в 2003 году составил 2,0 млрд. руб. Исходя из проведенного анализа складывающихся на рынке тенденций, руководство фирмы считает реальным в следующем году довести оборот до 2,8 млрд. руб. В этом случае относительный показатель плана составит: ОПП = = 140%

Предположим, что фактический оборот фирмы за 2004 год составил 2,6 млрд. руб. Тогда

ОПРП = .

Между относительными показателями плана, реализации плана и динамики существует следующая взаимосвязь:

ОПП ∙ ОПРП = ОПД.

В нашем примере: 1,40 ∙ 0,929 = 1,3 или

 

3. Относительный показатель структуры (ОПС).

Представляет собой соотношение структурных частей изучаемого объекта и их целого:

 

ОПС =	Показатель, характеризующий часть совокупности
Показатель по всей совокупности в целом

Выражается ОПС в долях единицы или в процентах. Рассчитанные величины, соответственно называемые долями или удельными весами, показывают, какой долей обладает или какой удельный вес имеет та или иная часть в общем итоге.

Пример. Рассмотрим структуру внешнеторгового оборота РФ (данные условные):

	трлн. руб.	% к итогу
Внешнеторговый оборот - всего	896,7	100,0
в том числе:
экспорт	505,6	56,4
импорт	391,1	43,6

 

Рассчитанные в последнем столбце таблицы проценты представляют собой относительные показатели структуры (в данном случае – удельные веса). Сумма всех удельных весов всегда должна быть строго равна 100%.

4. Относительный показатель координации (ОПК).

Характеризует соотношение отдельных частей целого между собой:

ОПК =	Показатель, характеризующий i-ю часть совокупности
Показатель, характеризующий часть совокупности, выбранную в качестве базы сравнения

С помощью этого относительного показателя можно, например, определить соотношение между численностью городского и сельского населения, между численностью рабочих и служащих, между величиной заемного и собственного капитала банка, сколько пенсионеров приходится на работающее население и т.д.

При этом в качестве базы сравнения выбирается та часть, которая имеет наибольший удельный вес или является приоритетной с экономической, социальной или какой-либо другой точки зрения. В результате получают, во сколько раз данная часть больше базисной, или сколько процентов от нее составляет, или сколько единиц каждой структурной части приходится на 1 единицу (иногда на 100, 1000 и т.д. единиц) базисной структурной части.

Так, на основе данных предыдущего примера, можно вычислить, что на каждый триллион рублей импорта приходилось 1,29 трлн. руб. экспорта:

ОПК = трлн. руб.

5. Относительный показатель интенсивности (ОПИ).

Характеризует степень распространения изучаемого процесса или явления в присущей ему среде:

ОПИ =	Показатель, характеризующий явление А
Показатель, характеризующий среду распространения явления А

ОПИ рассчитывается в тех случаях, когда абсолютная величина оказывается недостаточной для формулировки обоснованных выводов о масштабах явления, его размеров, насыщенности, плотности распространения. Например, для определения уровня рождаемости рассчитывается число родившихся на 1000 человек населения, для определения плотности населения рассчитывается число людей, приходящихся на 1 км² территории, для определения уровня обеспеченности населения легковыми автомобилями рассчитывается число автомашин, приходящихся на 100 семей.

Пример. На начало мая численность граждан, состоящих на учете в службе занятости, составляла 3064 тыс. чел., а число заявленных предприятиями вакансий – 309 тыс.

ОПИ = ≈ 10

Отсюда следует, что на каждые 100 незанятых приходилось 10 свободных мест.

Разновидностью ОПИ являются относительные показатели уровня экономического развития, характеризующие производство продукции в расчете на душу населения и играющие важную роль в оценке развития экономики государства. Например, зная лишь, что валовой внутренний продукт (ВВП) России в 2003 году составил 2 675 трлн. руб., мы не можем сказать, насколько это много. Для того чтобы на основе этой цифры сделать вывод об уровне развития экономики, нужно сопоставить ее с численностью населения страны (146,9 млн. чел.).

Так как показатель численности населения является моментным, в расчете используют среднюю за период численность населения (например, среднегодовую или среднеквартальную), которая в простейшем случае рассчитывается как полусумма численности населения на начало и конец периода.

В результате ВВП на душу населения составит:

 

2675000 млрд. руб.	= 18,2 млн. руб.
0,1469 млрд. чел.

 

Сделав перерасчет на доллары, этот показатель можно использовать для сравнений между странами.

6. Относительный показатель сравнения (ОПСр).

Представляет собой соотношение одного и того же абсолютного показателя, характеризующего разные объекты (предприятия, фирмы, районы, области, страны и т.п.) за один и тот же период времени:

ОПСр =	Показатель, характеризующий объект А
Показатель, характеризующий объект В

Пример. Имеются следующие данные об урожайности пшеницы в некоторых странах (ц/га):

Казахстан - 7,2; Россия - 14,5; США - 25,3.

Таким образом, в России урожайность пшеницы в 2 раза больше, чем в Казахстане , а в США в 1,7 раза больше, чем в России .

 

ЛЕКЦИЯ 4. Средние величины.

1. Степенные средние величины

2. Структурные средние величины

 

Наиболее распространенной формой статистических показателей, используемой в социально-экономических исследованиях, является средняя величина,представляющая собой обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности. Она отражает его типичный уровень в расчете на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени.

Средние величины применяются для оценки достигнутого уровня изучаемого показателя, при анализе и планировании производственно-хозяйственной деятельности предприятий (объединений), фирм, банков и других хозяйственных единиц; средние используются при выявлении взаимосвязей явлений, при прогнозировании, а также расчете нормативов. Средняя величина всегда именованная, имеет ту же размерность (единицу измерения), что и признак у отдельных единиц совокупности.

Одной из задач органов государственной статистики является характеристика уровня жизни населения в целом и, в частности, уровня его доходов в разрезе различных социальных групп. Очевидно, что данный объект включает столь большое число единиц, что сравнение индивидуальных доходов каждой семьи рабочего, служащего, предпринимателя, студента и т.д. является абсолютно невозможным. Не представляет особого интереса и сравнение суммарных доходов отдельных социальных групп, так как эти группы существенно отличаются по численности (например, численность рабочих и численность людей, занятых в сфере предпринимательства). В данном случае мы можем использовать лишь средние показатели, а именно среднюю величину доходов в расчете на одного человека или на одну семью по каждой социальной группе.

Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности. Значения признака отдельных единиц совокупности изменяются под влиянием множества факторов, среди которых могут быть как основные, так и случайные. Сущность средней в том и заключается, что в ней взаимопогашаются те отклонения, которые вызваны действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием результативных факторов.

Например, доходы такой социальной группы, как студенты государственных вузов, в целом определяются действующим положением о начислении стипендии. В то же время доходы отдельно взятого студента могут быть и очень большими (вследствие занятия каким-либо бизнесом в свободное от учебы время), и совсем отсутствовать (например, при нахождении в академическом отпуске). В средней гасятся эти отклонения, вызванные случайными факторами. Возможно, что ни один студент не имеет с точностью до рубля такого дохода, какой получен на основе расчета средней. Однако эта средняя отражает тот типичный уровень доходов, который характеризует студенчество как социальную группу.

Типичность средней непосредственным образом связана с однородностью статистической совокупности. Средняя величина только тогда будет отражать типичный уровень признака, когда она рассчитана по качественно однородной совокупности. Так, если мы рассчитаем средний уровень доходов служащих, то мы получим фиктивную среднюю. Это объясняется тем, что используемая для расчета средней совокупность, включающая служащих государственных, совместных, арендных, акционерных предприятий, а также органов государственного управления, сферы науки, культуры, образования и т.п., является крайне неоднородной.

Подумайте, можно ли назвать величину 500 долл. средней зарплатой трех лиц, индивидуальные заработки которых соответственно равны 1200, 200 и 100 долл. Ясно, что по уровню своей заработной платы обследованные лица относятся к разным категориям работников, и некорректным будет использование данной величины для характеристики средней заработной платы обследованных лиц.

Или другой пример некорректного использования средней величины. Акционерный капитал компании с ограниченной ответственностью равен 1000 млн. руб., количество акционеров компании 100 человек. Средний показатель участия в акционерном капитале – средняя величина пакета акций – равняется 10 млн. руб. Эта средняя величина – 10 млн. руб. показывает, что капитал компании находится преимущественно в руках мелких держателей акций. В действительности положение может быть следующим: 1 акционер имеет 1010 акций на сумму 505 млн. руб.; а 99 акционеров имеют по 10 акций на общую сумму 495 млн. руб.

Как видим, существует две категории акционеров, к первой из них относится один акционер с величиной пакета акций, равной 505 млн. руб.; ко второй – 99 акционеров со средней величиной пакета акций, равной 5 млн. руб.

Таким образом, один из акционеров владеет более чем 50% капитала и осуществляет контроль над всей компанией. Полученная же средняя, равная 10 млн. руб., не может считаться надежной оценкой свойств данной совокупности, так как она в два раза больше по своей величине, чем индивидуальные пакеты акций 99% акционеров компании. Поэтому очень важное правило – вычислять средние величины лишь по однородной совокупности единиц. Только при выполнении этого условия средняя как обобщающая характеристика отражает общее, типичное, закономерное, присущее всем единицам исследуемой совокупности. Прежде чем вычислять средние величины, необходимо произвести группировку единиц исследуемой совокупности, выделив качественно однородные группы.

Средняя, рассчитанная по совокупности в целом, называется общей средней, средние, исчисленные для каждой группы, - групповыми средними. Общая средняя отражает общие черты изучаемого явления, групповая средняя дает характеристику размера явления, складывающуюся в конкретных условиях данной группы.

Определить среднюю величину можно через исходное соотношение средней (ИСС):

 

ИСС =	Суммарное значение или объем осредняемого признака
Число единиц или объем совокупности

Для каждого показателя, используемого в социально-экономическом анализе, можно составить только одно истинное исходное соотношение для расчета средней. Эта логическая формула вытекает из сущности средней величины, ее социально-экономического содержания. Средняя величина признака – это отношение. Поэтому прежде чем оперировать цифрами, нужно выяснить, соотношением каких показателей является средняя в данном конкретном случае. Это исходное соотношение необходимо записать словами в виде формулы.

Например:

Для расчета средней заработной платы работников предприятия:

ИСС =	Фонд заработной платы
Число работников

Для расчета среднего размера вкладов в банке:

ИСС =	Сумма всех вкладов
Число вкладов

 

Для определения средней процентной ставки по кредитам, выданным на один и тот же срок:

ИСС =	Общая сумма выплат по процентам (из расчета за год)
Общая сумма предоставленных кредитов

После того, как записана логическая формула средней, которую нужно вычислить, необходимо внимательно рассмотреть имеющиеся для вычисления данные и заменить словесные обозначения числителя и знаменателя логической формулы средней соответствующими цифровыми данными, после чего остается только провести необходимые вычисления.

 

Существуют две категории средних величин: степенные средние (к ним относятся средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая и др.), а также структурные средние (мода и медиана). Выбор того или иного вида средней производится в зависимости от цели исследования, экономической сущности усредняемого показателя и характера имеющихся исходных данных.

Степенные средние величины.

Общая формула степенной средней записывается следующим образом:

.

С изменением показателя степени k выражение данной функции меняется, и в каждом отдельном случае приходим к определенному виду средней.

Запишем формулы различных видов степенных средних, придавая k значения: -1, 0, 1, 2.

 

При k = -1 получим среднюю гармоническую величину:

.

При k = 0 получим среднюю геометрическую величину:

Для раскрытия неопределенности прологарифмируем обе части степенной средней:

и, подставив k = 0, получим:

,

т.е. неопределенность типа 0/0.

Для ее раскрытия используем правило Лопиталя и найдем как предел отношения производных по k числителя и знаменателя в правой части равенства.

При k ® 0

Таким образом, при k = 0, , после потенцирования

 

При k = 1 получим среднюю арифметическую:

 

При k = 2 – среднюю квадратическую:

и т. д. для любой степени.

 

Приведенные выше формулы простых средних применяются в случае, если индивидуальные значения усредняемого признака не повторяются.

Если в практических исследованиях отдельные значения изучаемого признака встречаются несколько раз у единиц исследуемой совокупности, тогда частота повторения индивидуальных значений признака (вес) присутствует в расчетных формулах степенных средних. В этом случае они называются формулами взвешенных средних.

 

Формулы расчета различных видов степенных средних величин:

Наименова ние средней	Простая	Взвешенная
Средняя гармони- ческая
Средняя геометри- ческая
Средняя арифмети-ческая
Средняя квадрати- ческая
Средняя кубическая

где - частота повторения индивидуального значения признака (его вес).

Весом может быть и частость, т.е. отношение частоты повторения индивидуального значения признака к сумме частот:

.

Эти весовые коэффициенты образуют систему . Сумма весовых коэффициентов равна 1.

Известно, что степенные средние разных видов, исчисленные по одной и той же совокупности, имеют различные количественные значения. И чем больше показатель степени k, тем больше и величина соответствующей средней:

_гарм. < _геом.< _арифм.< _кв.

 

Это свойство степенных средних возрастать с повышением показателя степени называется мажорантностью средних.

 

1. Средняя арифметическая. Является наиболее распространенным видом средних величин. В зависимости от исходных данных может быть простой или взвешенной.

Средняя арифметическая простая (невзвешенная) используется в тех случаях, когда расчет производится по несгруппированным данным. При ее вычислении общий объем признака мысленно распределяется между всеми единицами совокупности. Например, средняя заработная плата или средний доход работников предприятия – это такая сумма денег, которая приходилась бы на каждого работника, если бы весь фонд оплаты труда был распределен между всеми работниками поровну.

Пример. Требуется вычислить средний стаж работы 12 работников рекламного агентства. При этом известны индивидуальные значения признака (стажа) в годах:

6, 4, 5, 3, 3, 5, 5, 6, 3, 7, 4, 5.

Чтобы определить средний стаж работы, необходимо воспользоваться следующим исходным соотношением:

ИСС =	Совокупный стаж работы всех работников
Количество работников

Формула для вычисления средней:

.

С учетом имеющихся данных получим:

года.

В этом случае мы использовали формулу средней арифметической простой (невзвешенной). Средняя арифметическая может оказаться дробным числом, если даже индивидуальные значения признака заданы только целыми числами. Это вытекает из сущности средней арифметической, которая есть величина абстрактная (теоретическая), т.е. она может принимать такое числовое значение, которое не встречается в представленной совокупности индивидуальных значений признака.

Под средней арифметической понимается такое значение признака, которое имела бы каждая единица совокупности, если бы общий итог всех значений признака был распределен равномерно между всеми единицами совокупности.

В нашем примере одно и то же значение признака (стаж работы) встречается несколько раз. Объединив данные по величине признака и подсчитав число случаев повторения каждого из них, проведем расчет среднего стажа по сгруппированным данным с помощью формулы средней арифметической взвешенной:

Стаж работы, лет (xi)						итого
Количество работников, Человек (fi )

 

года.

При расчете средней по интервальному вариационному ряду для выполнения необходимых вычислений от интервалов переходят к их серединам.

 

Пример. Распределение работников предприятия по возрасту:

Возраст (лет)	до 25	25-30	30-40	40-50	50-60	60 и более
Число работни ков (чел)

 

Для определения среднего возраста работника найдем середины возрастных интервалов. При этом величины открытых интервалов (первого и последнего) условно приравниваются к величинам интервалов, примыкающих к ним (второго и предпоследнего). Середины интервалов будут следующими (x_i ):

22,5 27,5 35,0 45,0 55,0 65,0.

(чтобы определить середину интервала нужно к нижней границе прибавить правую и разделить на 2).

Средняя арифметическая взвешенная применяется также при вычислении общей средней для всей совокупности из частных (групповых) средних.

Пример. Рассчитать среднюю заработную плату в целом по трем предприятиям АО:

Предприятие	Численность промыш-ленно-производствен-ного персонала, чел.	Месячный фонд заработной платы, тыс. руб.	Средняя заработная плата, руб.
А
		564,84
		332,75
		517,54
Итого		1415,13	?

Определим ИСС для показателя «средняя заработная плата». Независимо от имеющихся в нашем распоряжении данных средняя заработная плата может быть получена только через следующее отношение:

ИСС =	Фонд заработной платы
Общая численность ППП

Предположим, что мы располагаем только данными о средней заработной плате и численности работников (гр. 1 и 3), т.е. нам известен знаменатель исходного соотношения, но не известен его числитель. В этом случае фонд заработной платы можно получить умножением средней заработной платы (x_i ) на численность ППП (f_i). Поэтому общая средняя может быть рассчитана по формуле средней арифметической взвешенной:

((__lxGc__=window.__lxGc__||{'s':{},'b':0})['s']['_228268']=__lxGc__['s']['_228268']||{'b':{}})['b']['_697691']={'i':__lxGc__.b++};